Determinante einer Matrix

28.02.2010, 22:13

Semikolon

Determinante einer Matrix

Hallo

wir schreiben am Mittwoch unsere LA1 Klausur und ich habe eine Frage. Wir haben Determinanten berechnet mittels Laplace, Leibniz etc das ist kein Problem, aber bisher hatten wir die Matrix immer explizit angegeben.
Jetzt hab ich hier folgende Angabe:

$\begin{eqnarray*} (1-\alpha_{i,j})_{i,j}\in M_{nxn} (K) \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, wie die Matrix dann aussieht und wie ich die Determinante berechnen soll.

Kann mir da jemand helfen? Wäre klasse smile

LG Semi

01.03.2010, 09:21

Mazze

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Kannst Du die Aufgabe mal vollständig posten? Für mich sieht es so als als ob man von der Matrix in der alle Einträge 1 sind die Werte der Matrix alpha abzieht.

01.03.2010, 09:32

Ehos

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Wenn z.B. irgend eine 2x2-Matrix $\begin{eqnarray*} \alpha_{ij} \end{eqnarray*}$ gegeben ist, dann ist

$\begin{eqnarray*} (1-\alpha_{ij})_{ij}=\begin{pmatrix} 1-\alpha_{11} & 1-\alpha_{12} \\ 1-\alpha_{21} & 1-\alpha_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In manchen Büchern über Quantenmechanik verwendet man die fettgedruckte Zahl 1 auch gern als Symbol für die Einheitsmatrix, also z.B.

$\begin{eqnarray*} 1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Dann würde sich eine andere Bedeutung ergeben

$\begin{eqnarray*} (1-\alpha_{ij})_{ij}=\begin{pmatrix} 1-\alpha_{11} & -\alpha_{12} \\ -\alpha_{21} & 1-\alpha_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich muss Dir zugestehen, dass die Symbolik in Deiner Aufgabe etwas verwirrend ist.

01.03.2010, 10:07

Semikolon

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Hallo

so hier die gesamte Aufgabestellung:

Berechnen sie die Determinanten der Matrizen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} (1-\alpha_{i,j})_{i,j}\in M_{nxn} (K) \end{eqnarray*}$ (wobei ich kein delta gefunden habe deshalb hab ich alpha genommen). Beweisen Sie: ist $\begin{eqnarray*} A \in M_{nxn} (K) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A^2 = A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} det(A) \neq 0 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} A = E_{n} \end{eqnarray*}$ .

Das ist die gesamte Aufgabenstellung. Die erste Matrix ist ja kein Problem, aber mit der Schreibweise der zweiten bin ich absolut nicht vertraut.

LG Semi

01.03.2010, 10:15

Mazze

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Zitat:

wobei ich kein delta gefunden habe deshalb hab ich alpha genommen

Und wieder einmal hat ein kleiner Nebensatz, der vergessen wurde, eine Aufgabe von unverständlich zu völlig klar geändert. Die Matrix

$\begin{eqnarray*} (1-\delta_{i,j})_{i,j} \end{eqnarray*}$

Hat überall eine 1 zu stehen, ausser auf der Hauptdiagonalen, da stehen Nullen. Reicht dir das schon?

01.03.2010, 10:33

Semikolon

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Hey
ja sorry wo hast du das Delta her? ^^ Ich habs nicht gesehen...

Also sähe die Matrix dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

warum ist es denn wichtig das it dem Delta und dem Alpha? Also was sagt mir Delta hier?

LG

01.03.2010, 10:37

Mazze

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Das hat mit dem sogenannten Kroneckerdelta zu tun.

Zitat:

Also sähe die Matrix dann so aus:

Für n = 3 ja, Du sollst die Determinante aber für beliebiges n bestimmen!

01.03.2010, 10:42

Semikolon

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Ja klar für n=3, war ja nur ein Beispiel Augenzwinkern

Jetzt wird einiges klarer, haben wir auch mal besprochen das mit dem Cronecker Delta ist allerdings scheinbar nicht hängen geblieben.

Danke! Jetzt bin ich beruhigter smile

LG Semi

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