Grenzwert gegen unendlich nach l'Hospital

01.03.2010, 18:58

MatheKG

Auf diesen Beitrag antworten »

Grenzwert gegen unendlich nach l'Hospital

Hallo zusammen,

ich habe folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{0 \to \infty} \frac{1- cos x}{sin^2 x} \end{eqnarray*}$

Nun bin ich mit meiner Rechnung bis zu folgendem Punkt gekommen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{0 \to \infty} \frac{2 + 2t^2}{1 + 2t2} \end{eqnarray*}$

In meiner Lösung lautet der nächste Rechenschritt nun:

$\begin{eqnarray*} \lim_{0 \to \infty} \frac{2 + 2t^2}{1 + 2t2} = \lim_{0 \to \infty} \frac{\frac{2}{t^2} + 2}{\frac{1}{t^2} + 2} = \frac 2 2 = 1 \end{eqnarray*}$

Irgendwie fehlt mir hier das Verständnis. Leider sind in meinen Unterlagen keine entsprechende Beispiele mit x gegen unendlich enthalten. Kann mir das Jemand erklären? Wo kommt denn auf einmal der Bruch im Zähler und Nenner her?

01.03.2010, 19:01

Franziska

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert gegen unendlich nach l'Hospital
$\begin{eqnarray*} \frac{2 + 2t^2}{1 + 2t^2} \end{eqnarray*}$

Kürze diesen Bruch mal mit $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$

01.03.2010, 19:20

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert gegen unendlich nach l'Hospital

Zitat:

Original von MatheKG
ich habe folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{0 \to \infty} \frac{1- cos x}{sin^2 x} \end{eqnarray*}$

Tun wir mal so, als würde da x gegen unendlich stehen. Oder vielleicht doch eher x gegen Null? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von MatheKG
Nun bin ich mit meiner Rechnung bis zu folgendem Punkt gekommen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{0 \to \infty} \frac{2 + 2t^2}{1 + 2t2} \end{eqnarray*}$

Wie kommt man darauf? verwirrt

verwirrt

Nebenbei soll es jetzt wohl t gegen unendlich heißen.

01.03.2010, 19:20

MatheKG

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Franziska,

vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ich bin schon länger aus dem Thema raus, daher fallen mir manche Dinge einfach nicht sofort ins Auge. Wie kann ich denn hier noch kürzen?

01.03.2010, 19:28

MatheKG

Auf diesen Beitrag antworten »

@klarsoweit:

Du hast natürlich Recht. Irgendwie habe ich mich da verdusselt: Es muss natürlich t gegen unendlich heißen. Zum Rechenweg: Ich habe jeweils Zähler und Nenner abgeleitet und dann immer weiter vereinfacht. Laut Lösung passt mein Rechenweg auch, allerdings hakt es dann bei den letzten Schritten. Soll ich den gesamten Rechenweg doch noch mal posten?

01.03.2010, 19:58

Felix

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist nun deine Variable t oder x ? Ich denke der gesamte Rechenweg wäre von Vorteil ...

Anzeige

01.03.2010, 20:29

MatheKG

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier nun der komplette Lösungsweg mit t gegen unendlich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \frac{ln(1+2t^2)}{ln(1 + t^2)} = \lim_{t \to \infty} \frac{(ln(1+2t^2))'}{(ln(1 + t^2))'} = \lim_{t \to \infty} \frac{\frac{4t}{1+2t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}} = \lim_{t \to \infty} \frac{4t(1+t^2)}{2t(1+2t^2)} = \lim_{t \to \infty} \frac{2 + 2t^2}{1 + 2t2} = \lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2}{t^2} + 2}{\frac{1}{t^2} + 2} = \frac 2 2 = 1 \end{eqnarray*}$

01.03.2010, 22:18

Kühlkiste

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert gegen unendlich nach l'Hospital

Zitat:

Original von MatheKG
Hallo zusammen,

ich habe folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1- cos x}{sin^2 x} \end{eqnarray*}$

Hier geht's (wie so oft) auch ganz ohne L'Hospital:

$\begin{eqnarray*} \frac{1- \cos x}{\sin^2 x}=\frac{1- \cos^2 x}{\sin^2 x}\cdot\frac 1{1+\cos x} \end{eqnarray*}$

02.03.2010, 07:01

MatheKG

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Kühlkiste,

vielen Dank für deine Antwort. Ich würde trotzdem gerne wissen, wie es zu dem Bruchstrich kommt - Immerhin ist das in der Lösung so angegeben.

02.03.2010, 09:09

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Um welchen Bruchstrich? Meinst du die Umformung $\begin{eqnarray*} \frac{2 + 2t^2}{1 + 2t^2} = \frac{\frac{2}{t^2} + 2}{\frac{1}{t^2} + 2} \end{eqnarray*}$ ?

Siehe dazu den Beitrag von Franziska.

02.03.2010, 09:20

MatheKG

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo klarsoweit,

genau darum geht es, allerdings fehlt mir weiterhin der Blick für die Lösung. Vielleicht kannst du auf das Kürzen genauer eingehen?

02.03.2010, 09:27

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Güte. unglücklich

unglücklich

Das lernt man doch an der Schule. Klammere in Zähler und Nenner t² aus.

02.03.2010, 09:37

MatheKG

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo klarsoweit,

vielen Dank für deine Antwort und Hilfestellung. Nur weil ich einen Lösungsweg nicht sofort blicke oder Probleme mit gewissen Dinge habe, fühle ich mich nicht doof. Ich versuche mir selbst die Lösung zu erarbeiten und stelle, wenn ich nicht zum Ergebnis komme, auch Fragen dazu. Deshalb fühle ich mich nicht schlecht und unter keinen Umständen ist mir das peinlich.

Umso mehr erstaunt es mich, dass Du dich über die Unwissenheit anderer lustig machst, insbesondere in Deinem Alter.

02.03.2010, 09:48

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt gewisse Methoden, die sollte man an der Schule gelernt und zu Beginn eines Studiums nicht vergessen haben. Und dazu gehört meines Erachtens auch die Behandlung gebrochen-rationaler Funktionen. Ich mache mich über Wissenslücken keinswegs lustig, muß mich aber schon wundern, zumal Franziska ja schon einen entsprechenden Hinweis gegeben hat. Oder was würdest du sagen, wenn jemand im Hochschulbereich das schriftliche Multiplizieren erklärt haben möchte?

02.03.2010, 09:54

MatheKG

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo klarsoweit,

ich würde nun sehr gerne weiter darauf eingehen, verkneife es mir aber. Zum Einen passt es nicht in den Thread und zum Anderen würden wir vermutlich nicht überein kommen.

Wir sind im gleichen Alter und ich habe somit seit vielen Jahren keine Berührung mit Mathematik gehabt. Meine Wissenslücken sind mir nicht peinlich.

02.03.2010, 10:01

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht nicht darum, ob dir etwas peinlich ist oder nicht. Es geht darum, daß wir hier im Hochschulbereich sind und da wird erstmal die Kenntnis des Schulstoffs (hier hat ja jeder Teilnehmer Abitur oder einen vergleichbaren Abschluß) vorausgesetzt. Wenn das bei jemandem mal nicht der Fall ist bzw. wenn dieses länger zurückliegt, sollte er es gleich sagen, dann erfährt er auch eine adäquate Behandlung.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »