Stochastik allgmein - 4. Semester

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harrods Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastik allgmein - 4. Semester
Abend Leute!

Erst einmal hallo an alle, bin ja noch neu hier ^^ Wie ihr lesen könnt, bin ich wohl bald aus der Schule, aber noch habe ich eine Huerde vor mir: morgen schreiben wir die allerletzte Matheklausur. Wie's danach muendlich aussieht, ist fast schnuppe, da unser Lehrer sich besonders nach den Klausurnoten richtet.


Ich komm' mal gleich zur Sache, aber wenn ihr irgendwelche Fragen habt, tut euch kein Zwang an.

Thema: Stochastik
Bemerkung: unser Lehrer war krankheitsbedingt eher selten da --> relativ wenig Stoff + wenig gelernt :/

Um es gleich vorweg zu sagen: keine Sorge, ich will mit euch lernen und nicht nur die Ergebnisse haben. Bringt ja sonst nichts.

Werde wahrscheinlich mehrmals posten und nicht alle Aufgaben aufeinmal. Spams werden nicht entstehen Augenzwinkern

Beginnen wir mal..


Ein Banktresor ist durch eine vierstellige Geheimzahl geschuetzt. Als Ziffern sind jeweils 0 bis 9 erlaubt.
a) Wie wahrscheinlich sind folgende Ergebnisse?
A: Alle Ziffern der Geheimzahl sind ungerade
B: Die Geheimzahl enthaelt nur die Ziffern 8 bis 9.
C: Die Geheimzahl ist spiegelsymmetrisch (z.B. 2772)

Hatte in 'nem anderen Forum, kein Matheforum, schon paar Aufgaben gerechnet. Nun sind's hier Aufgaben, bei denen ich GAR keine Ahnung habe. Sind zudem auch die schwersten.. weiter sind wir noch nicht.

Achja, wir rechnen ohne diese Bernoulli-Kette.. also so weit sind wir noch nicht.

Bisher weiß ich hoechstens:
|©| = 10^4
In meinen Notizen steht was von 625/10000 aber ich komm nicht drauf, wie's soweit kommt. Ok.. In jeweils jedem Zug gibt es 5 Moeglichkeiten eine ungerede Ziffer zu bekommen. 5*5*5*5 = 625

Sonst weiß ich nicht so. Vor allem bei den naechsten Aufgaben steh ich wirklich ahnungslos da :/
ObiWanKenobi Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Banktresor ist durch eine vierstellige Geheimzahl geschuetzt. Als Ziffern sind jeweils 0 bis 9 erlaubt.
a) Wie wahrscheinlich sind folgende Ergebnisse?

Für alle Teilaufgaben:
Immer Anzahl günstige durch Anzahl Mögliche
Anzahl Mögliche = 10^4 = 10000

A: Alle Ziffern der Geheimzahl sind ungerade
(5*5*5*5)/10000 = 625/10000 = 0,0625 = 6,25%

B: Die Geheimzahl enthaelt nur die Ziffern 8 bis 9.
8888;
8889; 8898; 8988; 9888;
8899; 8989; 8998; 9889; 9898; 9988;
8999; 9899; 9989; 9998;
9999

Sind die Möglichkeiten für Zusammensetzungen aus 8 und 9 (16 Stück)

16/10000 = 0,0016 = =0,16 %

C: Die Geheimzahl ist spiegelsymmetrisch (z.B. 2772)

Die ersten beiden Positionen sind frei zu besetzen, die letzten beiden sind dann invariant.
(10*10*1*1)/10000 = 0,01 = 1%

Dabei werden dann 4 gleiche Zahlen auch als spiegelsymetrisch betrachtet.

Sollte das nicht gewünscht sein dann:

(100 -10) /10000 = 0,009 = 0,9 %
harrods Auf diesen Beitrag antworten »

Erst mal vielen Dank!
A und B sind gut nachvollziehbar beschrieben. Bei B kommt man dann nicht wohl drum rum, alle Kombenationsmoeglichkeiten durchzugehen.

Allerdings versteh ich C gar nicht.

Also "(10*10*1*1)"
10*10 sind die Moeglichkeiten fuer die ersten zwei Ziffern -> da sind naemlich alle Kombinationen moeglich. Und 1*1 is automatisch wenn's einfach 'ne bestimmte Zahl sein muss (mit bestimmten Zahl meine ich 'ne Zahl mit zwei Ziffern.

Den allerletzten Teil versteh ich jetzt auch nicht, wie man auf die Rechnung kommt. Is aber hoffe auch nicht so wichtig, da alle Zahlen gleich, wie du schriebst, letztendlich auch spiegelsymmetrisch ist.

Danke sonst nochmal!
ObiWanKenobi Auf diesen Beitrag antworten »

A und B sind gut nachvollziehbar beschrieben.

Danke!

Bei B kommt man dann nicht wohl drum rum, alle Kombenationsmoeglichkeiten durchzugehen.

Doch Eigentlich eine Frage aus der Kombinatorik:
wieviele Möglichkeiten gibt es 1 Ellement auf 4 Plätze zu verteilen? 4
Das gilt für eine 8 oder eine 9 ==> 8 Möglichkeiten
wieviele Möglichkeiten gibt es 2 gleiche Ellemente auf 4 Plätze zu verteilen? 6
Dazu noch die 2 Möglichkeiten bei denen alle Ellemente gleich sind: 2

8+6+2 = 16



Allerdings versteh ich C gar nicht.

Also "(10*10*1*1)"
10*10 sind die Moeglichkeiten fuer die ersten zwei Ziffern -> da sind naemlich alle Kombinationen moeglich.

Richtig!

Und 1*1 is automatisch wenn's einfach 'ne bestimmte Zahl sein muss (mit bestimmten Zahl meine ich 'ne Zahl mit zwei Ziffern.

Nö!
Die erste 1 steht da, weil es an der dritten Stelle genau eine Möglichkeit gibt, denn sie muß ja identisch mit der zweiten Stelle sein!
Die zweite1 steht da, weil es an der vierten Stelle genau eine Möglichkeit gibt, denn sie muß ja identisch mit der ersten Stelle sein!


Den allerletzten Teil versteh ich jetzt auch nicht, wie man auf die Rechnung kommt. Is aber hoffe auch nicht so wichtig, da alle Zahlen gleich, wie du schriebst, letztendlich auch spiegelsymmetrisch ist.

Wenn alle gleich nicht gilt, dann mußt du doch nur die genau 10 Möglichkeiten für "alle gleich" von der Anzahl günstige abziehen!!!

Danke sonst nochmal!

Immer gerne!
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man ALLE Geheimzahlen zählt sind es, wie oben richtig erwähnt 10^4.
Wenn man für B (mit nur 8 und 9) zählt, sind es ANALOG 2^4.
harrods Auf diesen Beitrag antworten »

@ObiWanKenobi:
Danke fuer die Muehe! Hast mir echt geholfen und gleichzeitig Hoffnung fuer morgen gemacht^^
Zitat:
Original von wisili
Wenn man ALLE Geheimzahlen zählt sind es, wie oben richtig erwähnt 10^4.
Wenn man für B (mit nur 8 und 9) zählt, sind es ANALOG 2^4.

Uii.. perfekt. Obwohl's mit Nachdenken zu erkennen gewesen waere, waere ich heute Abend wohl nicht mehr drauf gekommen. Thx!

Bin mittlerweile woanders jetzt steckengeblieben.

b) In einer Stadt gibt es 5000 Telefonanschluesse. Wie viele Gesprächspaarungen gibt es?
Selbst die Frage ist mir irgendwie nicht ganz klar??


e) Aus den 26 Buchstaben des Alphabets werden 5 zufaellig ausgewaehlt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Konsonant dabei ist?

1/26 = ein Buchstabe; 5/26 = alle Vokale

26^5 (5x ziehen)
|©| = 11881376

P= ..? :S
 
 
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

b) Man wählt aus 5000 zwei aus: 5000 «tief» 2 (man hört auch «5000 über 2»).

e) Auswählen mit oder ohne Wiederholungen?
ObiWanKenobi Auf diesen Beitrag antworten »

b) In einer Stadt gibt es 5000 Telefonanschluesse. Wie viele Gesprächspaarungen gibt es?

Tipp:

Wenn Du keine lust hat den Taschenrechner zu quälen:

4999 * 2500

Erstaunt1

Erklärung:

Wenn du (wie Wisili natürlich völlig richtig bemerkt) 5000 über 2 lösen willst, dann

ist der Zähler: 1*2*......*4998*4999*5000
Und der Nenner: 1*2*......*4998 *1*2

Dann kannst du alles kürzen bis auf:

4999*5000 / 2

Also bei "über 2" immer zunächst alles bis auf die letzten 2 Zahlen des Zählers.
Der Nenner ist dann 2.

Da einer der beiden Faktoren im Zähler immer gerade ist, kannst du den dann noch mit der 2 aus dem Nenner Kürzen.

allgemein gilt also für "n über2" bei geradem n:

n/2 * (n-1)

und für ungerades n:

n * (n-1)/2

Irgendwie cool oder! Freude
harrods Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wisili
b) Man wählt aus 5000 zwei aus: 5000 «tief» 2 (man hört auch «5000 über 2»).

Ahh k, thx. Hab's zwar inhaltlich immer noch nicht richtig verstanden (denke in der Richtung "Wieviele Gespräche/Kontakte insgesamt koennen entstehen.." ), aber hauptsache ich kenn die Rechnung ^^
Zitat:
Original von wisilie) Auswählen mit oder ohne Wiederholungen?

Steht da leider nicht. Das Themengebiet aber heißt "Ungeordnete Stichprobe". kP ob sich da was automatisch ergibt?

//edit:
@Obiwan: versteh ich gerade nicht. Wobei ich doch gerne zum Taschenrechner greife^^

@wisili:
danke schonmal, wenn du mir evtl. deinen 1000. Beitrag spendierst!
ObiWanKenobi Auf diesen Beitrag antworten »

Also man kann das natürlich herleiten und beweisen, aber das dürfte wohl ziemlich uninteressant für Dich sein!?

Merke die einfach wenn ich k Ellemente aus einer Menge mit n Ellementen Frei wählen kann, dann ist die Anzahl der Möglichkeiten: n über k

Und du weist doch wie du auf dem Rechner n über k rechnest oder?
ObiWanKenobi Auf diesen Beitrag antworten »

e) Aus den 26 Buchstaben des Alphabets werden 5 zufaellig ausgewaehlt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Konsonant dabei ist?

Wenn Du nach dem ziehen zurücklegst ist P(Konsonant) bei jedem Zug 21/26

Gesamt also (21/26)^5 = 0,3437 = 34%

wenn Du nicht zurücklegst, dann wird natürlich die Wahrscheinlichkeit keinen Konsonanten zu ziehen mit jedem Zug geringer, weil ja der gezogene Konsonant nicht mehr zur verfügung steht.

Wenn deine Grundmenge absolut mega moster über riesig groß ist, dann wäre das vernachlässigbar, weil der Unterschied gegen Null geht!

Bei nur 21 Konsonanten ist der Unterschied aber schon merklich:

21/26 * 20/25 * 19/24 * 18/23 * 17/22 = 0,3093 = 31%
harrods Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ObiWanKenobi
Also man kann das natürlich herleiten und beweisen, aber das dürfte wohl ziemlich uninteressant für Dich sein!?

Merke die einfach wenn ich k Ellemente aus einer Menge mit n Ellementen Frei wählen kann, dann ist die Anzahl der Möglichkeiten: n über k

Und du weist doch wie du auf dem Rechner n über k rechnest oder?

Jap, wie's auf dem Rechner geht, weiß ich. Aber ist gut, dass du mir das eine nochmal erklaert hast, weil ich eben entdeckt habe, dass wir doch viel schriftlich gerechnet hatten und auch mit dieser Verkuerzung, wie du es eben auch gemacht hast. Also dass man dann nicht alle Faktoren nochmal niederschrieben.
Eben auch paar Aufgaben geloest und mit den Ergebnissen auf den Rechner verglichen ^^


@Alphabet:
Was hast du denn jetzt ausgerechnet? Die Wahrscheinlichkeit ist es nicht, oder? Weil die waere ja irgendwie viel zu hoch. Dabei kann ich die Rechnung nachvollziehen.

Hat das:

26^5 (5x ziehen)
|©| = 11881376

gar nichts mit der Aufgabe zutun bzw. braucht man's nicht?
ObiWanKenobi Auf diesen Beitrag antworten »

@Alphabet:
Was hast du denn jetzt ausgerechnet? Die Wahrscheinlichkeit ist es nicht, oder? Weil die waere ja irgendwie viel zu hoch. Dabei kann ich die Rechnung nachvollziehen.


Mist! Es ist schon spät!!! Ich habe genau das Gegenteil ausgerechnet also keinen Vokal zu ziehen!!!!

Richtig sollte es also für "kein Konsonat! heißen:

Mit Rurücklegen

(5/26)^5 = 0,00026 = 0,026 %

Ohne zurücklegen:

5/26 * 4/25 * 3/24 * 2/23 * 1/22 = ....


Hat das:

26^5 (5x ziehen)
|©| = 11881376

Das ist die Anzahl der Möglichen Ergebnisse bei 5 mal ziehen aus 26 mit zurücklegen.
Hat also irgendwie scion was mit dem Experiment zu tun, wird aber hier nicht unbedingt benötigt!

wenn du Anzahl günstige = 5^5 durch diese Zahl teilst, dann erhälst du ebenfalls die Lösung für "mit zurücklegen":

3125/11881376 = 0,00026 = 0,026 % (siehe oben!!!)
harrods Auf diesen Beitrag antworten »

Joa, ist schon spaet. Aber der Fehler war jetzt auch nur halb so wild, so lange die Loesungswege sonst richtig sind ^^ Danke nochmal. Waehrend ich mich freue diese Aufgaben zu verstehen, blick ich gerade (vll. weil's so spaet ist) bei den einfacheren Aufgaben nicht durch.

"Ein Lehrer wirft dreimal einen Spielwuerfel.Die niedrigste Augenzahl verwendet er als Note"
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit fuer die Note 1?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafuer, dass die Note schlechter als vier ausfaellt?

Irgendwie klappts nicht so, dabei gehoerts zu den einfacheren Aufgaben. Und kommt man auch ohne Baumdiagramm aus?
ObiWanKenobi Auf diesen Beitrag antworten »

"Ein Lehrer wirft dreimal einen Spielwuerfel.Die niedrigste Augenzahl verwendet er als Note"
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit fuer die Note 1?

Nur dann einfach, wenn man bedenkt:

Totale Wahrscheinlichkeit bedeutet P(A) + P(nicht A) =1
oder daraus folgend P(A) = 1 - P(nicht A)

P von keine 1 in 3 Würfen ist: (5/6)^3 = 0,5787 = 58 %

==> P(Note 1) = 1 - 0,58 = 0,42 = 42%

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafuer, dass die Note schlechter als vier ausfaellt?

gibt sicher viele mögliche Lösungswege! mit fällt gerade folgender ein:

Schlechter als 4 heißt er würfelt 3* die 5 oder die 6.

555; 556; 565; 655; 566; 656; 665; 666 ==> Anzahl günstige = 8
Anzahl mögliche: 6^3 = 216

P(Note 5 oder 6) = 8/216 = 0,037 = 3,7 %


Irgendwie klappts nicht so, dabei gehoerts zu den einfacheren Aufgaben. Und kommt man auch ohne Baumdiagramm aus?

Ja ! Siehe oben!
harrods Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ObiWanKenobi
"Ein Lehrer wirft dreimal einen Spielwuerfel.Die niedrigste Augenzahl verwendet er als Note"
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit fuer die Note 1?

Nur dann einfach, wenn man bedenkt:

Totale Wahrscheinlichkeit bedeutet P(A) + P(nicht A) =1
oder daraus folgend P(A) = 1 - P(nicht A)

P von keine 1 in 3 Würfen ist: (5/6)^3 = 0,5787 = 58 %

==> P(Note 1) = 1 - 0,58 = 0,42 = 42%

Jo, hast ja mit dem Gegenereignis gerechnet. Kann die Rechenschritte auch nachvollziehen. Ist es aber dann nicht so, dass man bei (1/6)^3 = 42% rauskriegen muesste? Eigtl. nicht, find da gerade mein Logikfehler nicht, weil ich es nicht rausbekomme.
Zitat:
Original von ObiWanKenobi
gibt sicher viele mögliche Lösungswege! mit fällt gerade folgender ein:

Schlechter als 4 heißt er würfelt 3* die 5 oder die 6.

555; 556; 565; 655; 566; 656; 665; 666 ==> Anzahl günstige = 8
Anzahl mögliche: 6^3 = 216

P(Note 5 oder 6) = 8/216 = 0,037 = 3,7 %


Irgendwie klappts nicht so, dabei gehoerts zu den einfacheren Aufgaben. Und kommt man auch ohne Baumdiagramm aus?

Ja ! Siehe oben!

Die Loesung gefaellt mir. Anschaulich und leicht nachzuvollziehen ^^


Habe eben zwei andere Aufgaben schnell gerechnet und war mir zumindest bei der einen Aufgabe einigermaßen sicher:

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuer genau drei Richtige im Lotto 6 aus 49.
Da habe ich einfach:
6 ueber 3 * 43 ueber 3 / 49 ueber 6

Bei einer weiteren Aufgabe heißt es MIND. fuenf Richtige. Was denn bitte der Unterschied? verwirrt


'ne andere Uebung:
Eine Zehnerpackung Gluehlampen enthaelt vier Lampen mit verminderter Leistung. Jemand kauft fuenf Lampen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind darunter
a) zwei defekte Lampen
b) mind. zwei defekte Lampen


a) evtl..

Omega = 10 ueber 4

5 ueber 2 * 5 ueber 2 / 10 ueber 4
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Wurf mit 3 Würfeln und ihrer minimalen Augenzahl:

Wenn das Minimum mindestens 1, 2, 3, 4, 5, 6 ist, gibt es 6^3, 5^3, 4^3, 3^3, 2^3, 1^3 solche Würfe, also 216, 125, 64, 27, 8, 1.
Wenn das Minimum genau 1, 2, 3, 4, 5, 6 ist, gibt es (die Differenzen) 91, 61, 37, 19, 7 und 1 solcher Würfe.
Insgesamt sind es 216 Würfe, also stehen die gesuchten W'keiten fest.
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