Teilbarkeit durch 2

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03.03.2010, 14:12

mathinitus

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Teilbarkeit durch 2

Wie kann man zeigen, dass 2 kein Teiler von 1 ist?

03.03.2010, 14:18

Cel

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Mit der Definition.

03.03.2010, 14:25

mathinitus

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Klar.

Eine ganze Zahl a!=0 teilt eine ganze Zahl b genau dann, wenn es eine ganze Zahl n gibt, für die gilt: a*n=b

Nur wie kann ich zeigen, dass es keine solche Zahl gibt, also das 1/2 keine ganze Zahl ist. Wenn ich sage, 1/2 ist keine ganze Zahl, weil sich der Bruch nicht auf n/1 kürzen lässt, habe ich ja schon genau das ausgenutzt, was ich beweisen will.

03.03.2010, 14:30

mathinitus

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Ich habe noch eine Idee:

Sind a und b natürliche Zahlen, dann gilt a/b<=a. Also muss 1/2<=1 sein. Da es nicht 1 ist, weil 1*2!=1, muss es kleiner als 1 sein, dennoch aber positiv. Da es keine ganze Zahl zwischen 0 und 1 gibt, ist 2 kein Teiler von 1.

Dafür müsste ich nur das hier beweisen: "Sind a und b natürliche Zahlen, dann gilt a/b<=a"

03.03.2010, 14:33

Airblader

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1/2 ist zumindest mal offensichtlich positiv. Zeige also, dass 1/2 nicht natürlich ist, das genügt.

Nun ist 1 < 2, da 1+1=2 ist. Dann ist aber 1/2 < 1.

Ergo muss 1/2 zwischen 0 und 1 liegen. Da 1 aber Nachfolger von 0 (weil 0+1=1) ist, kann 1/2 nicht der Nachfolger von 0 sein (der Nachfolger ist eindeutig) und kann daher auch nicht natürlich sein.

Meinst du sowas?

Edit: Da war ich ein bisschen langsam.

air

03.03.2010, 14:36

Cel

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Oder so?

0,5 besitzt ein multiplikatives Inverses, aber $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}, \cdot) \end{eqnarray*}$ bildet keine Gruppe. Hinzu kommt $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^{*} = \{1, -1\} \end{eqnarray*}$ . Somit liegt 0,5 nicht in den ganzen Zahlen.

Edit: Für Schulmathe wohl zu viel, sorry.