[Didaktik Gymnasium] Einführung des Vektorprodukts

03.03.2010, 19:58

Zellerli

[Didaktik Gymnasium] Einführung des Vektorprodukts

Das Vektorprodukt fällt vom Himmel, oder?

Ich sehe momentan eine direkte Einführung über stupide Definition unausweichlich.
(Klar, vorher evtl. ein Beispiel, dass man einen zu zwei Vektoren orthogonalen Vektor sucht o.ä.)

Also: Plong. Das ist das Vektorprodukt.
Das kann viele coole Sachen: Orthogonaler Vektor, Parallelität feststellen, Winkel, Spatprodukt, etc.

Mir widerstrebt das aber, denn Herleitungen sollten, wenn sie auch gerne von Schülern ignoriert werden, nicht fehlen.

Die einzige Erklärung, die ich gefunden habe und die halbwegs unterrichtstauglich wäre, ist, dass der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec c:=\vec a \times \vec b \end{eqnarray*}$ das System $\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec c = 0 \quad ; \quad \vec b \cdot \vec c=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt ( $\begin{eqnarray*} \vec a, \vec b, \vec c \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ).

Das ist aber auch nicht wenig Herumgerechne und dabei fällt auch einiges vom Himmel (z.B. ist er ja nicht die einzige Lösung). Ich fürchte das würde mehr Verwirrung als Klarheit stiften.

Hat sonst jemand Vorschläge?

05.03.2010, 01:10

Abakus

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RE: [Didaktik Gymnasium] Einführung des Vektorprodukts
Hallo!

Vielleicht (betragsmäßig) als Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms? Oder physikalisch irgendwie als Drehmoment?

Grüße Abakus smile

05.03.2010, 02:05

WebFritzi

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RE: [Didaktik Gymnasium] Einführung des Vektorprodukts

Zitat:

Original von Zellerli
Die einzige Erklärung, die ich gefunden habe und die halbwegs unterrichtstauglich wäre, ist, dass der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec c:=\vec a \times \vec b \end{eqnarray*}$ das System $\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec c = 0 \quad ; \quad \vec b \cdot \vec c=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt ( $\begin{eqnarray*} \vec a, \vec b, \vec c \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ).

Das ist aber auch nicht wenig Herumgerechne und dabei fällt auch einiges vom Himmel

Lös doch einfach das obige System. Dabei sollte dann auffallen, dass jede Lösung ein Vielfaches des Vektorproduktes ist, das man dann - auf diese Weise motiviert - definieren kann.

05.03.2010, 10:12

Ehos

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@Zellerli
Gut, dass du anstrebst, eine Sache anschaulich und schülergerecht zu motivieren. Zu meinen Vorrednern möchte ich noch ergänzen, dass die Orientierung des Vektorproduktes erwähnt werden muss. Insgesamt könnte man also das Vektorprodukt $\begin{eqnarray*} \vec c=\vec a \times \vec b \end{eqnarray*}$ durch folgende 3 Eigenschaften anschaulich definieren:

Definition:
(1) Die Richtung ist senkrecht zu $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ .
(2) Der Betragist $\begin{eqnarray*} |\vec a|\cdot |\vec b| \cdot \sin(\alpha) \end{eqnarray*}$
(3) Die Orientierung geschieht gemäß der Rechte-Hand-Regel

Wie Abakus sagte, sollte man zur Motivation unbedingt Anwendungen erwähnen (z.B. Parallelogrammfläche, Drehmoment, ...). Beides ist sehr einfach und anschaulich. Man sollte auch auf den Unterschied zum Skalarprodukt hinweisen, dessen Betrag im Unterschied zum Punkt (2) der obigen Definition gerade den Wert $\begin{eqnarray*} |\vec a|\cdot |\vec b| \cdot \cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ hat. Das Vektorprodukt ist also ein Maß für die "Senkrechthaftigkeit" zweier Vektoren. Dagegen ist das Skalarprodukt ein Maß für deren "Parallelhaftigkeit" (Sorry!).

Nachdem die Definition und die Anwendung klar ist, würde ich einen Satz formulieren und beweisen, der angibt, wie man das Vektorprodukt explizit berechnet.

Satz:
Das Vektorprodukt hat die Gestalt $\begin{eqnarray*} \vec a \times \vec b=(a_2b_3-a_3b_2|a_3b_1-a_1b_3|a_1b_2-a_2b_1) \end{eqnarray*}$

Beim Beweis dieses Satzes muss man wie gesagt das Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec x=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec b \cdot \vec x=0 \end{eqnarray*}$ lösen. Leider ist dabei etwas "Herumgerechne" nicht zu vermeiden - wie Zellerli es ausgedrückt hat.

05.03.2010, 17:55

Zellerli

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Ich danke euch für eure Beiträge, konnte sie aber nicht berücksichtigen, da ich gestern nichtmehr spät abends online war und die Stunde heute gehalten habe.

Ich bin so vorgegangen:
Aus den gegeben Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ sollten die Schüler (Skalarprodukt war bekannt) einen auf beide senkrecht stehenden Vektor berechnen.
Das ist natürlich etwas aufwändig wegen (Chuck Norris hat es erwähnt) der ätzenden Lösung des unterbestimmten LGS.
Von dieser Lösung auf das Vektorprodukt zu schließen ist alles andere als übersichtlich und schülergerecht (die haben mich Ach und Krach und viel Hilfe das LGS lösen können).
Ich habe also dann festgehalten: Die Tafel und die Hefte sind voll und soviel Zeit hat man in Klausur und Abitur nicht, um einen senkrechten Vektor zu bestimmen.
Also sprach Zarathustra: Ich lehre euch das Kreuzprodukt.
Definition (über die Festlegung der Rechenoperation), Eigenschaften (Maßzahl des Parallelogramms, sowie Sinus-Interpretation zunächst unerwähnt gelassen).
Bei der Eigenschaft, dass ein Rechtssystem aufgespannt wird hab ich natürlich eine Leiterschaukel im Magnetfeld gespielt (Proton durchs B-Feld wissen nur die wenigen, die Physik nicht abgewählt haben).
Da kommen die Schüler dann schon zur Rechten-Hand-Regel.
Zum Schluss haben wir dann das Eingangsbeispiel in einem Einzeiler gelöst (statt der vollen Tafel... Aber selber Schuld, wenn die keine Gleichungen addieren können).

Unterschied zum Skalarprodukt (Skalar contra Vektor, Sinus contra Cosinus), Maßzahl des Parallelogramms, Anwendung in der Physik, Merkregel zur Berechnung, parallele Vektoren, Rechengesetze, etc. kam dann alles auch dran.

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