Abstand zweier paralleler Geraden

21.10.2006, 10:11

Spiggie

Abstand zweier paralleler Geraden

Hey,

ich habe mal wieder ein Problem. Wir haben folgende Aufgabe bekommen: Beschreiben Sie ein Verfahren, wie der Abstand zweier paralleler Geraden bestimmt werden kann.

Ich habe mir überlegt, dass man vllt etwas mit dem Normalenvektor machen kann. Da dieser ja auf einer Gerade senkrecht steht, ist der Betrag des Normalenvektors - wenn er denn genau bis zur anderen Geraden reicht - der Abstand. Aber wie stell ich an, dass er genau bis zur anderen Geraden reicht?

21.10.2006, 10:39

Lazarus

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Also du hast zwei Möglichkeiten.

Entweder wie üblich über Punkt-Gerade den Abstand berechnen. (solltet ihr schon mehrmals gemacht haben) Welchen Punkt du dabei nimmst is ja wurscht da die Geraden ja parallel sind.

Andere Möglichkeit is, mithilfe des Pythagoras den Abstand aus dem Dreieck abc, wobei a der Abstand der Geraden ist b der Verbindungsvektor der beiden Geradenfußpunkte und c eine Strecke längs einer Geraden.

Achja: das mit dem Normalvektor: eine Gerade hat im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ keinen eindeutig bestimmten Normalvektor!

21.10.2006, 11:15

Spiggie

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wenn ich die punkt-gerade-abstandsformel benutze:

$\begin{eqnarray*} g:~~\vec{x} ~ = ~ \vec{a} +r\cdot \vec{u} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h:~~\vec{x} ~ = ~ \vec{b} +s\cdot \vec{v} \end{eqnarray*}$

Kann ich dann einfach den Abstand von g zum Punkt B bzw. von h zum Punkt A berechnen?

21.10.2006, 11:25

Abakus

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Zitat:

Original von Spiggie
Kann ich dann einfach den Abstand von g zum Punkt B bzw. von h zum Punkt A berechnen?

Ja. Der Abstand paralleler Geraden ist überall gleich.

Grüße Abakus smile

21.10.2006, 11:58

Lazarus

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Ich weiss nicht ob ich da so zustimmen kann. Evtl. hab ich aber auch diese Frage falsch verstanden.

Ich häng mal ne Skizze an.

Die Differenz der Ortsvektoren der Fußpunkte muss nicht zwingend den Abstand liefern.
Oder hast du das anders gemeint ?

21.10.2006, 12:01

Spiggie

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genau das hat mich eigentlich auch verunsichert...

edit:

wegen dem Abstand eines Punktes zu einer Geraden... Ich hab da mal ne Formel hergeleitet und wollte kurz wissen, ob die so stimmen kann. Bei einem Beispiel, dass wir in der Schule schon durch gerechnet haben (ohne Formel) stimmt das Ergebnis, das kann aber auch reiner Zufall sein.

$\begin{eqnarray*} A(a_1|a_2|a_3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g:~~\vec{x} ~ = \vec{b} +t\cdot \vec{u} ~=~ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bisschen umformen hier, bisschen umformen da und ich bekomm als Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} t=\frac{a_1u_1+a_2u_2+a_3u_3-b_1u_1-b_2u_2-b_3u_3}{u_1^2+u_2^2+u_3^2} \end{eqnarray*}$

Also, kann die Formel stimmen?

Danach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ einsetzen. Somit erhält man den Punkt - sagen wir - $\begin{eqnarray*} F(f_1|f_2|f_3) \end{eqnarray*}$ . Dieser ist der Punkt, der am nähesten an dem Punkt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist. Der Abstand ist dann:

$\begin{eqnarray*} d=\mid \vec{AF} \mid =\sqrt{(f_1-a_1)^2+(f_2-a_2)^2+(f_3-a_3)^2} \end{eqnarray*}$

21.10.2006, 15:52

marci_

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lege einfach durch einen punkt eine hilfsebene die die andere gerade orthogonal schneidet...
dann bildest du einen vektor, von deinem punkt der ebene zum schnittpunkt und kannst dann die länge berechnen...

21.10.2006, 17:39

Poff

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@ Spiggie,

deine Formel ist richtig, allerdings müssen dazu beim t die
Absolutstriche weg.

21.10.2006, 18:34

Spiggie

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k, danke

15.11.2009, 19:24

dermannderskann

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@ spiggie

ich hab das auch durchgerechnet... und ich hab noch den faktor 2 vorm zähler bei der berechnung des gewünschten "t" (von der binomischen formel).

Ist das mein Fehler und fällt der irgendwo weg??

15.11.2009, 22:33

mYthos

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Er wird dir nach 3 (!) Jahren kaum mehr antworten.

mY+

16.11.2009, 11:02

dermannderskann

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Fehler gefunden. Hab immer wieder den selben Ableitungsfehler gemacht unglücklich

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