positive definitheit und gerschgorin

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Miriam1986 Auf diesen Beitrag antworten »
positive definitheit und gerschgorin
hallo zusammen,

habe hier eine Aufgabe, bei der eine positiv definite Matrix (die auch symmetrisch ist), bei der man mit Hilfe des Kreissatzes von Gerschgorin zeigen soll, dass sie tatsächlich positiv definit ist.

Die Kreise von gerschgorin habe ich bereits; ich weiß ja auch, dass eine positiv definite Matrix nur reelle EW hat.
Aber wie kann ich das an den Kreisen ablesen?

Schonmal Danke smile
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Kreise von gerschgorin habe ich bereits; ich weiß ja auch, dass eine positiv definite Matrix nur reelle EW hat


Du müsstest auch wissen das symmetrische Matrizen genau dann ausschließlich positive Eigenwerte haben wenn sie positiv definit sind. Nun liegen die Eigenwerte in den Kreisen (genauer das Spektrum liegt in der Vereinigung der Kreise), da sie reell sind kannst Du dich auf die Teilmenge der reellen Zahlen von den Kreisen beschränken. Wenn jetzt jedes Intervall die untere Grenze > 0 hat wärste ja schon fertig, da dann alle EW positiv sind. Aber ich würd gern mal die Kreise sehen Augenzwinkern
 
 
Miriam1986 Auf diesen Beitrag antworten »

okay, die Kreise, die ich habe, sind folgende

K={z : lz-3l kleiner gleich 2}

K={z : lz-2l kleiner gleich 1,5}

K={z : lz-4l kleiner gleich 3}

K={z : lz-3l kleiner gleich 2,5}
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, kannst Du mal die komplette Matrix aufschreiben?
mathemaduenn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ,
Die eigenwerte müssen innerhalb von liegen. Wenn dieses Gebiet nicht auf der negativen Achse liegt bist Du fertig.
viele Grüße
mathemaduenn
Edit:Ach so das mit den reellen Eigenwerten waren die symmetrischen Matrizen.
Miriam1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Da die Kreise alle rechts vom Ursprung liegen, sind die EW ja alle positiv. Und somit ist die Matrix positiv definit, oder?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist das was ich Dir oben schon gesagt habe. Richtig!
Miriam1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, dann hat sich das alles schon erledigt =)
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