"Einfaches" lineares Ausgleichsproblem mit quadratischer Nebenbedingung

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Timo1305 Auf diesen Beitrag antworten »
"Einfaches" lineares Ausgleichsproblem mit quadratischer Nebenbedingung
Seit einigen Wochen versuche ich folgendes lineares Ausgleichsproblem mit einer quadratischen Nebenbedingung in einer geschlossenen Form zu lösen. Es ist aber wohl schwerer als es scheint. Ich glaube dennoch weiterhin dass eine einfache Lösung existiert. :-)

Die Funktion f soll minimiert werden:

mit

NB 1: (quadratisch)
NB 2:
NB 3:

Anschaulich: Ich habe mit einem Rotationssensor 2 Mengen von gemessenen Vektoren und im Raum, wobei die Vektoren einer Menge jeweils in eine ähnliche Richtung schauen und die Vektoren der ersten Menge sind senkrecht mit einem gewissen Fehler zu den Vektoren der zweiten Menge. Nun Suche ich zwei Vektoren und welche jeweils einen minimalen Abstand zu den Vektoren der jeweiligen Menge haben und selber orthogonal sind (deswegen die Nebenbedingung).

Mein Lösungsansatz war bisher, dass ich eine Funktion H mittels Lagrange Multiplikatoren aufstelle und diese nach den Variablen partiell ableite. D.h. es gibt für jede Nebenbedingung eine weitere Unbekannte . Wenn man die partiellen Ableitungen 0 setzt, erhält man ein quadratisches Gleichungssystem mit 9 Unbekannten und 9 Gleichungen, welches ich bisher nicht lösen konnte.

Mir ist bekannt dass ich das Problem mit diversen Approximationsverfahren lösen kann, jedoch bin ich auf der Suche nach einer schönen, kurzen und eleganten geschlossenen Form, die es doch geben müsste. verwirrt
Formelmonster Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, wenn ich dich richtig verstehe, hast Du kein echtes Ausgleichsproblem vorliegen.

Bei einem Ausgleichsproblem misst Du für gewöhnlich für verschiedene Eingangsgrößen (nennen wir diese ) immer dieselben Ausgangsgrößen () und nimmst an, das es einen zusammenhang der Form



gibt. Dabei sind die die zu bestimmenden Parameter. Das Ausgleichsproblem lautet dann



Wobei die Zeilen von A für die verschiedenen die f_1(t_i), f_2(t_i), … enthalten und b die zugehörigen Messungen.

In deinem Fall scheint es aber keine Abhängigkeit von einem zu geben. Deine und sind ja gerade Deine Messungen, die jedoch scheinbar immer nahezu gleich sind. In deinem Fall hätte die Matrix A also keinen echten Informationsgehalt. Theoretisch kannst Du das Problem natürlich immer noch als Ausgleichsproblem auffassen, aber Du suchst ja eher eine Art Durschnitt als einen funktionalen Zusammenhang.

Durch die Nebenbedingungen wird dein Problem nichtlinear. Nichtlineare Probleme lassen sich so gut wie nie analytisch lösen :-) Der Ansatz mit den Lagrangefunktionen klingt gut, mir persönlich würde da auch nichts anderes einfallen – was aber nicht viel heißen muss. Wenn du das entsprechende Gleichungssystem nicht von Hand lösen kannst bleibt Dir wohl nichts anderes übrig als zu versuchen es mit dem Newton-Verfahren (o.ä.) numerisch zu lösen.

Viele Grüße...
Timo1305 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stimm dir zu, dass es sich eigentlich nicht um ein klassisches Ausgleichsproblem handelt, aber als Optimierungsproblem kann man es auf jedenfall ansehen. :-)

Letztendlich ist das Problem ein quadratische Gleichungssystem. Gibt es dazu allgemeine Lösungsverfahren, z.b. ähnlich wie Gauss-Elimination bei linearen Gleichungssystemen?
Formelmonster Auf diesen Beitrag antworten »

Ich befürchte Dich da enttäuschen zu müssen. So weit ich weiß – was wiederum nicht heißt, dass es unbedingt so ist – gibt es nichts dergleichen.

Du kannst natürlich versuchen Eliminationstechniken anzuwenden. Dann hast du allerdings schon nach der ersten Elimination ein Gleichungssystem, dass nicht mehr quadratisch ist. (Wegen der Wurzelausdrücke) Das wird sich mit weiteren Eliminationen immer weiter verschlimmern.

Selbst wenn es ein solches Verfahren gäbe: bei einem quadratischen Gleichungssystem mit neun Gleichungen und Unbekannten dürften die Lösungen abartig komplexe Ausdrücke sein.

Da die Lagrange-Bedingungen notwendig sind, sieht es nicht danach aus, als hätte dein Problem eine einfache geschlossene Lösung.
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