Lipschitz-stetigkeit

06.03.2010, 16:19

ebichu

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Lipschitz-stetigkeit

Hallo zusammen smile

smile

Ist folgende Funktion gleichmässig Lipschitzstetig und wie lautet die Lipschitzkonstante?

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \times [-1,1]\Rightarrow \mathbb R , f(t,y)=\sqrt{| y^3 |} \end{eqnarray*}$

Für die Lipschitzbedingung muss ja gelten:

$\begin{eqnarray*} |(f(y_1)-f(y_2) | \leq L*| y_1-y_2 | \end{eqnarray*}$

ich habe jetzt mal y_2 = 0 angenommen, und erhalte nun:

$\begin{eqnarray*} | \sqrt{| y_1^3 |} | \leq L*| y_1 | \end{eqnarray*}$

und somit für L:

$\begin{eqnarray*} \frac{| \sqrt{| y_1^3 |} |}{| y_1 | } \leq L \end{eqnarray*}$

somit wäre die Lipschitzbedingung erfüllt, da y auf [-1,1] beschränkt wird, und somit das gesuchte L existiert. Stimmt das soweit?

Nun aber meine frage: Wie berechne ich nun L konkret? Ich denke nicht, dass ich eine allgemeine lösung finden kann, wenn ich y_2 = 0 setze, wie ich das oben gemacht habe...

vielen dank
ebi

06.03.2010, 18:03

WebFritzi

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Es reicht, die Funktion

$\begin{eqnarray*} g : [-1,1]\to\mathbb R,\quad g(x) = |x|^{3/2} \end{eqnarray*}$

auf Lipschitzstetigkeit zu untersuchen. Da g eine gerade Funktion ist, genügt es sogar, die Funktion

$\begin{eqnarray*} h : [0,1]\to\mathbb R,\quad h(x) = x^{3/2} \end{eqnarray*}$

auf Lipschitzsetetigkeit zu untersuchen. Denn ist h Lipschitzstetig, dann ist g L-stetig auf jeweils [-1,0] und [0,1] mit derselben L-Konstante L. Seien nun $\begin{eqnarray*} x\in [-1,0] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\in [0,1]. \end{eqnarray*}$ Dann gilt

$\begin{eqnarray*} |g(x) - g(y)| = |g(|x|)-g(y)|\le L||x|-y| = L||x| - |y|| \le L|x-y|. \end{eqnarray*}$

Also ist die Funktion g auf ihrem gesamten Definitionsintervall L-stetig.

Das ganze ist nur dazu gut, den doofen Betrag wegzukriegen. Um die L-Stetigkeit von h zu zeigen, benutze den Mittelwertsatz.

07.03.2010, 11:51

ebichu

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hi
danke für die Antwort.

Ok, also du hast jetzt die L-stetigkeit für g gezeigt, seh ich das richtig? Warum muss ich jetzt noch die L-stetigkeit von h zeigen? Zur bestimmung der L-Konstante etwa?

viele grüsse
ebi

07.03.2010, 11:57

tmo

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Les dir den Beitrag von WebFritzi nochmal durch. Die Lipschitz-Stetigkeit welcher Funktion sollst du zuerst zeigen? Und was folgt daraus dann?

07.03.2010, 12:10

ebichu

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hi tmo

aus der L-stetigkeit von h folgt aus symetriegründen die L-Stetigkeit für g. Es verwirrt mich nur, weil er dann doch die L-Stetigkeit für g gezeigt hat?!

Sorry, aber bin grad verwirrt

verwirrt

07.03.2010, 13:14

WebFritzi

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Zitat:

Original von ebichu
Ok, also du hast jetzt die L-stetigkeit für g gezeigt, seh ich das richtig?

Nein. Nur unter der Bedingung, dass h L-stetig ist. Daher sollst DU ja auch jetzt zeigen, dass h L-stetig ist.

Versteh nicht, was an meinem Beitrag so schwer zu verstehen war... unglücklich

unglücklich

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07.03.2010, 16:26

ebichu

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Hallo
Ok, danke nochmal für die Antwort. Ich zeige nun L-Stetigkeit für h:

$\begin{eqnarray*} h : [0,1]\to\mathbb R,\quad h(x) = x^{3/2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |(h(x_1)-h(x_2) | \leq L*| x_1-x_2 | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{|(h(x_1)-h(x_2) |}{| x_1-x_2 |} \leq L \end{eqnarray*}$

hmm, soweit sogut.

Ich würde nun als nächstes die Funktion ableiten und das maximum suchen auf [0,1]. Das würde dann geben:

$\begin{eqnarray*} L\geq 3/2 \end{eqnarray*}$

was meint ihr?^^

grüsse
ebi

07.03.2010, 17:36

WebFritzi

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Es gilt auf jeden Fall

|h(x) - h(y)| <= (3/2) * |x - y|,

ja. Aber dein Weg ist nicht korrekt. Verwende den Mittelwertsatz.

07.03.2010, 17:52

ebichu

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hmm, ich verstehs nicht unglücklich

unglücklich

1. Wieso geht das mit dem Ableiten nicht? Wenn ich das Maximum der Ableitung suche, kann ich doch ausschliessen, dass eine Sekante auf diesem Interwall stärker ansteigt als das Maximum der Ableitung...

2. Die Aussage des Mittelwertsatzes ist ja relativ einleuchtend, nur versteh ich überhaupt nicht, inwiefern ich ihn hier verwenden kann.

Wenn ich zB das Interwall [0,1] betrachte, dann ist die Sekantensteigung zwischen h(0) und h(1) =1 und nicht 3/2.

wäre für jede Hilfe dankbar ^^

lg
ebi

07.03.2010, 17:54

WebFritzi

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Zitat:

Original von ebichu
1. Wieso geht das mit dem Ableiten nicht? Wenn ich das Maximum der Ableitung suche, kann ich doch ausschliessen, dass eine Sekante auf diesem Interwall stärker ansteigt als das Maximum der Ableitung...

Das ist richtig. Aber wie begründest du das mathematisch?

07.03.2010, 17:59

ebichu

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ehm ja, ich begründe das aufgrund meiner Logik Augenzwinkern

Augenzwinkern

Anyway, da ich die Aufgabe ja mathematisch schlüssig lösen möchte: Könntest du mir noch einen Tipp zu diesem Mittelwertsatz geben. Ich bräuchte da irgend nen Ansatz...

grüsse
ebi

07.03.2010, 18:03

WebFritzi

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Versteh nicht, was du da noch für einen Ansatz brauchst. Die Behauptung steht mit dem MWS doch fast schon da. Schreib ihn für die Funktion h doch mal hier rein.

07.03.2010, 18:55

ebichu

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Hallo

Hab folgendes raus:
Es muss auf [0,1] ein x geben, für das gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x_1^3}- \sqrt{x_2^3} }{ x_1-x_2} = h'(x) \end{eqnarray*}$

lg ebi

07.03.2010, 20:46

WebFritzi

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Genau. Also

$\begin{eqnarray*} h(x_1) - h(x_2) = h'(x)(x_1 - x_2). \end{eqnarray*}$

Jetzt noch alles in Betragstriche schreiben und nach oben abschätzen - fertig.

07.03.2010, 22:19

ebichu

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also wie jetzt abschätzen? Ich seh nicht ganz ein, wo ich da einen faktor 3/2 abschätzen könnte?

traurig

traurig

sorry -.-

edit:

Also wenn ich das recht verstehe, hat der Mittelwertsatz direkt etwas mit der Ableitung zu tun, denn

f(x)'=

http://upload.wikimedia.org/math/f/7/d/f7defea9e0672736f7cea19c85621411.png

Versteh deshalb immer noch nicht ganz, wieso ich nicht ableiten darf und dann das maximum suchen.

09.03.2010, 03:30

WebFritzi

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Zitat:

Original von ebichu
Versteh deshalb immer noch nicht ganz, wieso ich nicht ableiten darf

Du sollst sogar ableiten. Wenn du dir den MWS mal genauer anschauest (s.o.), dann steht da eine Ableitung. unglücklich

unglücklich

09.03.2010, 20:55

ebichu

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ok, so langsam bin ich verwirrt.

Erst formuliere ich meinen Lösungsansatz, bei welchem ich Ableite, und dann offenbar das richtige Resultat erhalten habe.

Dann sagtest du, mein Lösungsweg sei falsch.

Nun soll ich doch ableiten, was ich aber schon gemacht habe?

Naja, verwirrende sache. Aber vielen Dank auf jeden fall für deine Hilfe, hat mich schon ein gutes stück schlauer gemacht smile

smile

. Ich hab jetzt halt wieder abgeleitet und 3/2 raus.

liebe grüsse
ebi

10.03.2010, 00:38

WebFritzi

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Das ist ja auch richtig. Du hast es oben lediglich schlicht falsch (bzw. nicht nachvollziehbar) aufgeschrieben. Die Tatsache, dass du mit dem Maximum der Ableitung arbeiten kannst, folgt aus dem Mittelwertsatz und ist - tut mir leid - trivial:

|f(x) - f(y)| = |f'(t)| * |x - y| <= M * |x - y|,

wobei M das Maximum der Ableitung ist. Und dieses Maximum ist in unserem Fall 3/2.

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