Polynom n-ten Grades nur n Nullstellen

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SirJective Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom n-ten Grades nur n Nullstellen
Ich hab gerade jemandem erklärt, dass ein Polynom n-ten Grades nur n Nullstellen haben kann. Als Begründung hab ich die Polynomdivision angeführt:
Hat das Polynom f vom Grad n eine Nullstelle x0, dann kann ich es durch den Linearfaktor (x-x0) teilen und erhalte ein Polynom vom Grad n-1. Da ein Polynom 0. Grades, das nicht das Nullpolynom ist, überhaupt keine Nullstelle hat, kann man mit Induktion zeigen, dass man von dem Polynom höchstens n Linearfaktoren abspalten kann. Was dann übrigbleibt, hat keine Nullstellen mehr (ist entweder konstant oder ein anderes Polynom ohne Nullstellen).

Nun die interessante Frage - wie folgt daraus, dass es nur n Nullstellen haben kann, wenn ich nur n Linearfaktoren abspalten kann?

Ich weiss, woran es liegt, stelle die Frage aber mal so in den Raum, damit ihr auch mal drüber nachdenkt.

Gruss,
SirJective
Gnu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde argumentieren, dass eine Linearfaktorzerlegung nur eine Umschreibung der Funktion ist. Und zwar dahingehend, dass sie so aufgelöst ist dass man ihre Nullstellen auf den ersten Blick erkennt....für mehr als n x-Werte wird ein Polynom n-ten Grades einfach nicht 0 weil die Zahl der Linearfaktoren auch die Zahl der Nullstellen angibt...hmm, ich glaub ich bin sehr schlecht bei sowas...wir reden doch hier gerade über den Fundamentalsatz der Algebra? (wobei das für mich ja irgendwie Analysis is...)
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom n-ten Grades nur n Nullstellen
Zitat:
Original von SirJective
Nun die interessante Frage - wie folgt daraus, dass es nur n Nullstellen haben kann, wenn ich nur n Linearfaktoren abspalten kann?


Ist das nicht einfach: "Ein Produkt ist Null, wenn mindestens eins seiner Faktoren Null ist." Also die Nullteilerfreiheit?!?

@Gnu: Nullstellenberechnung wird zwar in der Schule meistens in der Analysis im Rahmen einer Kurvendiskussion behandelt, aber an sich gehört es in die Algebra. Der Hauptsatz der Algebra, den du ansprichst, besagt, dass man im Körper der komplexen Zahlen jedes Polynom in n Linearfaktoren aufspalten kann (wenn n sein Grad ist). In C kann man also "...hat höchstens n Nullstellen." ersetzen durch "...hat genau n Nullstellen."

Gruß vom Ben
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Ja Ben. Das notwendige und hinreichende Kriterium dafür, dass ein Polynom n-ten Grades über einem beliebigen kommutativen Ring nur höchstens n Nullstellen hat, ist die Nullteilerfreiheit des Ringes.

Gibst du uns noch ein Beispiel eines Polynoms, das mehr Nullstellen hat als sein Grad angibt?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Heute jedenfalls nicht mehr Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nur mal so als Frage nebenbei, ich hatte zwar noch keine komplexen Zahlen, kann mir aber schon ganz grob vorstellen, was sie sind (Ich weiß, dass dadurch aus negativen Zahlen eine Wurzel gezogen werden kannn oder ähnliches). Wie kann man denn begründen, dass ein Polynom n.-ten Grades genau n koplexe Lösungen hat?? Wenns geht, bitte nicht zu hoch Gott .
 
 
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Nach dem Starter von SirJective braucht man nur noch zeigen, dass jedes nichtkonstante Polynom mindestens eine Nullstelle hat. Dann kann man vollständige Induktion anwenden.

Die Aussage, dass jedes nichtkonstante komplexe Polynom mindestens eine Nullstelle hat, ist der sogenannte "Fundamentalsatz der Algebra". Sein Beweis erfordert Hilfsmittel der Analysis. Ich kenne 3 Beweise aus der Funktionentheorie. Hier sind noch ein paar:
http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_algebra
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Auf deutsch:

http://www.matheboard.de/lexikon/index.p...atz_der_Algebra

Gruß,
Thomas
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Leider fehlen in dem deutschen Artikel die Beweise, weswegen ich auf den englischen Artikel verlinkt habe. smile
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Irrlicht
Leider fehlen in dem deutschen Artikel die Beweise, weswegen ich auf den englischen Artikel verlinkt habe. smile


Ups, so genau hab ich mir das nicht angesehen geschockt Hab nur den Namen des Artikels übersetzt geschockt

Danke für den Hinweis :]

Gruß,
Thomas
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SirJective
Gibst du uns noch ein Beispiel eines Polynoms, das mehr Nullstellen hat als sein Grad angibt?


Und dieses Beispiel hätt ich gern mit Angabe der Nullstellen und mit verschiedenen Zerlegungen in Linearfaktoren. smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom n-ten Grades nur n Nullstellen
Zitat:
Original von Ben Sisko
Zitat:
Original von SirJective
Nun die interessante Frage - wie folgt daraus, dass es nur n Nullstellen haben kann, wenn ich nur n Linearfaktoren abspalten kann?


Ist das nicht einfach: "Ein Produkt ist Null, wenn mindestens eins seiner Faktoren Null ist." Also die Nullteilerfreiheit?!?

@Gnu: Nullstellenberechnung wird zwar in der Schule meistens in der Analysis im Rahmen einer Kurvendiskussion behandelt, aber an sich gehört es in die Algebra. Der Hauptsatz der Algebra, den du ansprichst, besagt, dass man im Körper der komplexen Zahlen jedes Polynom in n Linearfaktoren aufspalten kann (wenn n sein Grad ist). In C kann man also "...hat höchstens n Nullstellen." ersetzen durch "...hat genau n Nullstellen."

Gruß vom Ben


Wo hat er denn da behauptet, dass es eines gibt, dessen Anzahl der Nullstellen größer als der Grad ist?? verwirrt
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Noch hat das niemand behauptet, MSS. Jetzt behaupte ich das. Es gibt so ein Polynom und nach einem solchen Beispiel hat SirJective inzwischen auch gefragt. Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

@MSS: Da brauchst du dir eh keinen Kopf drum zu machen. Das geht sowieso nur in Ringen, die nicht nullteilerfrei sind. D.h., es gibt Zahlen x und y in dem Ring, die nicht Null sind, aber x.y = 0.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
@MSS: Da brauchst du dir eh keinen Kopf drum zu machen. Das geht sowieso nur in Ringen, die nicht nullteilerfrei sind. D.h., es gibt Zahlen x und y in dem Ring, die nicht Null sind, aber x.y = 0.


Ahja, da kann ich mich ja dann wirklich erstmal ausklinken traurig
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SirJective
Zitat:
Original von SirJective
Gibst du uns noch ein Beispiel eines Polynoms, das mehr Nullstellen hat als sein Grad angibt?


Und dieses Beispiel hätt ich gern mit Angabe der Nullstellen und mit verschiedenen Zerlegungen in Linearfaktoren. smile


Hm, wie wäre es mit dem Ring und dem Polynom 2x? Nullstellen sind 0 und 2, obwohl der Grad 1 ist.

Ansonsten könnte man es auch mit Matrizen machen oder? Etwa das Polynom im Ring der 2x2-Matrizen.

Gruß vom Ben
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sollte 2 eine Nullstelle sein? Hast du dich da verschrieben oder bin ich nur strohdoof?

Mein Paradebeispiel ist ja immer in (Z/8Z)* das Polynom X^2 - 1. *g*
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Mann, jetzt hast du mich aber verwirrt. Polynom hätte 2x heissen sollen (editiert).
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, Ben. Über dem Ring ist ein Polynom ersten Grades mit zwei Nullstellen. ABER: Kannst du auch die beiden Linearfaktorzerlegungen angeben?
Wann immer du einen Nullteiler a nimmst, hat das Polynom aX mindestens zwei Nullstellen. Hier wird nochmal ganz deutlich, dass die Nullteilerfreiheit nötig ist für den Satz.

Irrlicht, was sind die Linearfaktorzerlegungen von über ? (Der Stern gehört da übrigens nicht hin.)
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, *sternderl wegschmeiss*. Aber das Ding hat phi(8) Nullstellen. Da hatte ich wohl eine proaktive Hemmung... (wie ich psychologische Fachausdrücke manchmal liebe!)
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SirJective
ABER: Kannst du auch die beiden Linearfaktorzerlegungen angeben?


Nö, keine Ahnung. Wie ist denn ein Linearfaktor definiert? Einfach durch Grad 1. Den hätte das Polynom ja schon... verwirrt
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Linearfaktor ist ein normiertes Polynom ersten Grades, d.h. von der Form
X - a.
Der hat offensichtlich genau eine Nullstelle, nämlich a:
x - a = 0 -> x = x - a + a = a
Und das unabhängig von der Nullteilerfreiheit des Ringes. Die zusätzliche Nullstelle kommt also durch den Koeffizienten 2 vor dem X.

Gruss,
SirJective
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie sieht dann die Darstellung mit dem Linearfaktor (x-2) aus? Da darf doch dann ansonsten nur noch ein konstanter Faktor stehenbleiben, oder? Oder benutze ich bei dieser Annahme die Nullteilerfreiheit?
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hier benötigst du, dass du im Z/4Z arbeitest. Die Zerlegungen sind
2X = 2*(X-0) = 2*(X-2).

Wie sehen die Zerlegungen bei Irrlichts Beispiel aus, Ben?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Mann. Also dieser Thread hat es jetzt schon zweimal geschafft, dass ich mir ziemlich dumm vorkomme...

Aber kein Grund zur Sorge: Dumme Leute haben´s leichter! smile
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Aber kein Grund zur Sorge: Dumme Leute haben´s leichter!


... geb ich mal an's Irrlicht weiter
( was Psychologie angeht ...)

Zitat:
Original von Irrlicht
...
Da hatte ich wohl eine proaktive Hemmung... (wie ich psychologische Fachausdrücke manchmal liebe!)



. Augenzwinkern
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