Logik Vereinfachung von Aussagen

08.03.2010, 20:16

xparet0209

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Logik Vereinfachung von Aussagen

Ich hab momentan einige problemchen mit dem thema und hoffe ihr könnt mir ein bisschen helfen.
folgende Aussage sollte vereinfacht werden:
$\begin{eqnarray*} ({{\bar{x}}_{3}}\wedge {{\bar{x}}_{2}}\wedge {{\bar{x}}_{1}}\wedge {{\bar{x}}_{0}})\vee ({{\bar{x}}_{3}}\wedge {{\bar{x}}_{2}}\wedge {{x}_{1}}\wedge {{\bar{x}}_{0}})\vee ({{\bar{x}}_{3}}\wedge {{\bar{x}}_{2}}\wedge {{x}_{1}}\wedge {{x}_{0}})\vee ({{\bar{x}}_{3}}\wedge {{x}_{2}}\wedge {{\bar{x}}_{1}}\wedge {{\bar{x}}_{0}})\vee ({{\bar{x}}_{3}}\wedge {{x}_{2}}\wedge {{x}_{1}}\wedge {{\bar{x}}_{0}})\vee ({{\bar{x}}_{3}}\wedge {{x}_{2}}\wedge {{x}_{1}}\wedge {{x}_{0}})\vee ({{x}_{3}}\wedge {{\bar{x}}_{2}}\wedge {{\bar{x}}_{1}}\wedge {{\bar{x}}_{0}})\vee ({{x}_{3}}\wedge {{\bar{x}}_{2}}\wedge {{\bar{x}}_{1}}\wedge {{x}_{0}}) \end{eqnarray*}$

ich habe jetzt gedacht, dass man alles ausklammern könnte, was recht aufwendig wäre....

wäre das möglich? und wie vereinfacht man das dann weiter?
kann man dann z.b.
$\begin{eqnarray*} ({{\bar{x}}_{3}}\vee {{\bar{x}}_{2}})\wedge ({{\bar{x}}_{2}}\vee {{\bar{x}}_{3}})\equiv ({{\bar{x}}_{3}}\vee {{\bar{x}}_{2}})<br /> \end{eqnarray*}$

vereinfachen?

das wäre so das gröbste was mir einfallen würde
ich soll aber am ende auf folgendes kommen:
$\begin{eqnarray*} <br /> ({{\bar{x}}_{3}}\wedge {{\bar{x}}_{2}}\wedge {{\bar{x}}_{0}})\vee ({{x}_{3}}\wedge {{\bar{x}}_{2}}\wedge {{\bar{x}}_{1}})\vee ({{\bar{x}}_{3}}\wedge {{x}_{1}})\vee ({{\bar{x}}_{3}}\wedge {{x}_{2}}\wedge {{x}_{0}}) \end{eqnarray*}$

wie kann man das so ernorm vereinfachen?

mfg xparet0209

09.03.2010, 00:23

ObiWanKenobi

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RE: Logik Vereinfachung von Aussagen
Nutze die De Morganschen Regeln und vereinfache Schrittweise.

Außerdem hilft schauen und nachdenken!

Um nur ein Beispiel zu nennen;

In den beiden ersten Klammern sind drei identische Verneinte Aussagen (x0 nicht; x2 nicht; x3 nicht) einmal mit x1 und das andere mal mit x1nicht "verundet"
und diese Klammern sind mit oder verbunden. Das bedeutet, dass die Ausprägung von x1 in verbindung mit x0nicht und x2nicht und x3 nicht beliebig ist
und infolgedessen weggelassen werden kann.

Du kannst also die ersten beiden Klammern vollständig durch (x0nicht und x2nicht und x3 nicht) ersetzen

usw...

09.03.2010, 23:36

xparet0209

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RE: Logik Vereinfachung von Aussagen
danke für den tipp Big Laugh

Big Laugh

ist mir gar nicht aufgefallen

ich hab das jetzt so umgeformt:
$\begin{eqnarray*} <br /> ({{\bar{x}}_{3}}\wedge {{\bar{x}}_{2}}\wedge {{\bar{x}}_{0}})\vee ({{\bar{x}}_{3}}\wedge {{x}_{2}}\wedge {{x}_{0}})\vee ({{\bar{x}}_{3}}\wedge {{\bar{x}}_{2}}\wedge {{x}_{1}}\wedge {{x}_{0}})\vee ({{x}_{3}}\wedge {{\bar{x}}_{2}}\wedge {{\bar{x}}_{1}})<br /> \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit?
und die ersten beiden klammernpaare sind je recht ähnlich aber kann man die vereinfachen?
wenn ja wie?

09.03.2010, 23:47

ObiWanKenobi

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Ich weiß es ist mühselig, aber könntest Du bitte das Ganze MIT den Zwischenschritten posten, dann werde ich es gerne überprüfen!

Ich möchte noch anmerken:
Es lässt sich immer prüfen ob die "Vereinfachung" richtig ist, d.h. bei allen Möglichen Kombinationen von x1 bis x4 und deren Negationen
zum gleichen Wahrheitwert führt, wie die ursprüngliche Form.
Aber welche Form die "maximale" Vereinfachung darstellt ist häufig nicht eindeutig.

10.03.2010, 00:29

xparet0209

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ok
also die formel im 1. post ist etwas falsch Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} <br /> & ({{{\bar{x}}}_{3}}\wedge {{{\bar{x}}}_{2}}\wedge {{{\bar{x}}}_{1}}\wedge {{{\bar{x}}}_{0}})\vee ({{{\bar{x}}}_{3}}\wedge {{{\bar{x}}}_{2}}\wedge {{x}_{1}}\wedge {{{\bar{x}}}_{0}})\vee ({{{\bar{x}}}_{3}}\wedge {{{\bar{x}}}_{2}}\wedge {{x}_{1}}\wedge {{x}_{0}})\vee ({{{\bar{x}}}_{3}}\wedge {{x}_{2}}\wedge {{{\bar{x}}}_{1}}\wedge {{x}_{0}})\vee ({{{\bar{x}}}_{3}}\wedge {{x}_{2}}\wedge {{x}_{1}}\wedge {{{\bar{x}}}_{0}})\vee ({{{\bar{x}}}_{3}}\wedge {{x}_{2}}\wedge {{x}_{1}}\wedge {{x}_{0}})\vee ({{x}_{3}}\wedge {{{\bar{x}}}_{2}}\wedge {{{\bar{x}}}_{1}}\wedge {{{\bar{x}}}_{0}})\vee ({{x}_{3}}\wedge {{{\bar{x}}}_{2}}\wedge {{{\bar{x}}}_{1}}\wedge {{x}_{0}}) \\<br /> & \\<br /> & ({{{\bar{x}}}_{3}}\wedge {{{\bar{x}}}_{2}}\wedge {{{\bar{x}}}_{1}}\wedge {{{\bar{x}}}_{0}})\vee ({{{\bar{x}}}_{3}}\wedge {{{\bar{x}}}_{2}}\wedge {{x}_{1}}\wedge {{{\bar{x}}}_{0}})\equiv ({{{\bar{x}}}_{3}}\wedge {{{\bar{x}}}_{2}}\wedge {{{\bar{x}}}_{0}}) \\<br /> & \\<br /> & ({{x}_{3}}\wedge {{{\bar{x}}}_{2}}\wedge {{{\bar{x}}}_{1}}\wedge {{{\bar{x}}}_{0}})\vee ({{x}_{3}}\wedge {{{\bar{x}}}_{2}}\wedge {{{\bar{x}}}_{1}}\wedge {{x}_{0}})\equiv ({{x}_{3}}\wedge {{{\bar{x}}}_{2}}\wedge {{{\bar{x}}}_{1}}) \\<br /> & \\<br /> & ({{{\bar{x}}}_{3}}\wedge {{x}_{2}}\wedge {{{\bar{x}}}_{1}}\wedge {{x}_{0}})\vee ({{{\bar{x}}}_{3}}\wedge {{x}_{2}}\wedge {{x}_{1}}\wedge {{x}_{0}})\equiv ({{{\bar{x}}}_{3}}\wedge {{x}_{2}}\wedge {{x}_{0}}) \\<br /> & \\<br /> & ({{{\bar{x}}}_{3}}\wedge {{{\bar{x}}}_{2}}\wedge {{x}_{1}}\wedge {{x}_{0}})\vee ({{{\bar{x}}}_{3}}\wedge {{x}_{2}}\wedge {{x}_{1}}\wedge {{{\bar{x}}}_{0}})\vee ({{{\bar{x}}}_{3}}\wedge {{{\bar{x}}}_{2}}\wedge {{{\bar{x}}}_{0}})\vee ({{x}_{3}}\wedge {{{\bar{x}}}_{2}}\wedge {{{\bar{x}}}_{1}})\vee ({{{\bar{x}}}_{3}}\wedge {{x}_{2}}\wedge {{x}_{0}}) \\<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

10.03.2010, 00:43

ObiWanKenobi

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soweit ich sehe richtig, aber da geht noch einiges.

Am besten du versuchst ALLE möglichen Paare von Vierergruppen zu finden, die sich nur in der Ausprägung je eines Wahrheitswertes unterscheiden. Daraus bildest Du dann entsprechend viele Dreiergruppen.

Dann wenn möglich dreiergruppen zu zweiergruppen zusammenfassen und redundante weglassen.

Ich mache mir eine Tabelle mit den Spalten x1 x2 x3 x4
und trage dann in den Zeilen 0 für die Negation oder 1 ein.

So finde ich leicht die Redundanzen.

P.S. für mich ist heute schluss, gerne morgen wieder!

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10.03.2010, 00:47

xparet0209

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ich verzichte mal im folgendem auf die x es

$\begin{eqnarray*} <br /> & (\bar{3}\wedge \bar{2}\wedge \bar{1}\wedge \bar{0})\vee (\bar{3}\wedge \bar{2}\wedge 1\wedge \bar{0})\vee (\bar{3}\wedge \bar{2}\wedge 1\wedge 0)\vee (\bar{3}\wedge 2\wedge \bar{1}\wedge 0)\vee (\bar{3}\wedge 2\wedge 1\wedge \bar{0})\vee (\bar{3}\wedge 2\wedge 1\wedge 0)\vee (3\wedge \bar{2}\wedge \bar{1}\wedge \bar{0})\vee (3\wedge \bar{2}\wedge \bar{1}\wedge 0) \\ & \\ & (\bar{3}\wedge \bar{2}\wedge \bar{1}\wedge \bar{0})\vee (\bar{3}\wedge \bar{2}\wedge 1\wedge \bar{0})\equiv (\bar{3}\wedge \bar{2}\wedge \bar{0}) \\ & (\bar{3}\wedge 2\wedge \bar{1}\wedge 0)\vee (\bar{3}\wedge 2\wedge 1\wedge 0)=(\bar{3}\wedge 2\wedge 0) \\ & (3\wedge \bar{2}\wedge \bar{1}\wedge \bar{0})\vee (3\wedge \bar{2}\wedge \bar{1}\wedge 0)=(3\wedge \bar{2}\wedge \bar{1}) \\ & \\ & \end{eqnarray*}$

das sind halt die vereinfachungen
also folgt

$\begin{eqnarray*} <br /> (\bar{3}\wedge \bar{2}\wedge \bar{0})\vee (\bar{3}\wedge \bar{2}\wedge 1\wedge 0)\vee (\bar{3}\wedge 2\wedge 0)\vee (\bar{3}\wedge 2\wedge 1\wedge \bar{0})\vee (3\wedge \bar{2}\wedge \bar{1})<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

oh eig wollte ich nur editieren..
aber das geht nicht mehr...
ja ich bin auch müde - Wink

Wink

10.03.2010, 01:01

ObiWanKenobi

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ja schon ok.

Aber du hast jetz von den ursprünglichen 4er-Gruppen z.B. die 1. und die 2. zusammengefasst.
Du hättest aber auch die 2. und die 3. zusammenfassen können.
Dann hätte sich 3nicht;2nicht;1 ergeben.
Daraus folgt als eine mögliche weitere Vereinfachung die 0 in der zwitwn Klammer Deines ergebnisses einfach wegzulassen.

P.S. Ich finde im Formeleditor den Negationsstrich nicht! Wie bekommst Du den her?

10.03.2010, 01:11

Airblader

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@ObiWanKenobi

Wenn du mit der Maus über LaTeX-Code fährst, dann siehst du ihn. Alternativ einfach mal auf Zitieren klicken, dann kannst du es da in aller Ruhe angucken.

In diesem Fall: Er macht die Negation mit "\bar{}" ( $\begin{eqnarray*} \bar{1} \end{eqnarray*}$ ). Auch "\overline{}" wäre denkbar (der Strich ist hier ein Tick länger, $\begin{eqnarray*} \overline{1} \end{eqnarray*}$ ).

air

10.03.2010, 01:12

Iorek

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Was mir zumindest auch oft weiterhilft, ist die Sammlung bei wikipedia ->Klickmich, bisher habe ich noch jedes Zeichen das ich wollte da gefunden smile

smile

Und jetzt OT: off Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.03.2010, 19:43

ObiWanKenobi

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Danke für die Tipps!!! Freude

Freude

Hammer

10.03.2010, 20:24

xparet0209

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Zitat:

Original von ObiWanKenobi
ja schon ok.

Aber du hast jetz von den ursprünglichen 4er-Gruppen z.B. die 1. und die 2. zusammengefasst.
Du hättest aber auch die 2. und die 3. zusammenfassen können.
Dann hätte sich 3nicht;2nicht;1 ergeben.
Daraus folgt als eine mögliche weitere Vereinfachung die 0 in der zwitwn Klammer Deines ergebnisses einfach wegzulassen.

P.S. Ich finde im Formeleditor den Negationsstrich nicht! Wie bekommst Du den her?

also ich habe jetzt aus 1. oder 2. klammer = $\begin{eqnarray*} (\bar{3}\wedge \bar{2}\wedge \bar{0}) \end{eqnarray*}$

aus 2. oder 3. klammer = $\begin{eqnarray*} (\bar{3}\wedge \bar{2}\wedge 1) \end{eqnarray*}$

wieso fällt aus $\begin{eqnarray*} (\bar{3}\wedge \bar{2}\wedge 1\wedge 0) \end{eqnarray*}$ die 0 weg?

edit: also ich benutze das prog mathtype 6 zur eingabe von den formeln
da klickt man halt nur auf die jeweiligen buttons

10.03.2010, 20:29

ObiWanKenobi

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Ich würde das so angehen:

I) $\begin{eqnarray*} (\bar{3}\wedge \bar{2}\wedge \bar{1}\wedge \bar{0})\vee \end{eqnarray*}$
II) $\begin{eqnarray*} (\bar{3}\wedge \bar{2}\wedge 1\wedge \bar{0})\vee \end{eqnarray*}$
III) $\begin{eqnarray*} (\bar{3}\wedge \bar{2}\wedge 1\wedge 0)\vee \end{eqnarray*}$
IV) $\begin{eqnarray*} (\bar{3}\wedge 2\wedge \bar{1}\wedge 0)\vee \end{eqnarray*}$
V) $\begin{eqnarray*} (\bar{3}\wedge 2\wedge 1\wedge \bar{0})\vee \end{eqnarray*}$
VI) $\begin{eqnarray*} (\bar{3}\wedge 2\wedge 1\wedge 0)\vee \end{eqnarray*}$
VII) $\begin{eqnarray*} (3\wedge \bar{2}\wedge \bar{1}\wedge \bar{0})\vee \end{eqnarray*}$
VIII) $\begin{eqnarray*} (3\wedge \bar{2}\wedge \bar{1}\wedge 0) \end{eqnarray*}$

Schritt 1

aus I oder II ergibt sich (IX) $\begin{eqnarray*} (\bar{3}\wedge \bar{2}\wedge \bar{0}) \end{eqnarray*}$
aus II oder III ergibt sich (X) $\begin{eqnarray*} (\bar{3}\wedge \bar{2}\wedge 1) \end{eqnarray*}$
aus V oder VI ergibt sich (XI) $\begin{eqnarray*} (\bar{3}\wedge 2 \wedge 1) \end{eqnarray*}$
aus VII oder VIII ergibt sich (XII) $\begin{eqnarray*} (3\wedge \bar{2}\wedge \bar{1}) \end{eqnarray*}$
aus IV oder VI ergibt sich (XIII) $\begin{eqnarray*} (\bar{3}\wedge 2 \wedge 0) \end{eqnarray*}$

10.03.2010, 23:03

ObiWanKenobi

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Antwort zu Deiner Frage aus dem letzten Posting, die ich übersehen hatte:

Wenn
$\begin{eqnarray*} (\bar{3}\wedge \bar{2}\wedge 1) \end{eqnarray*}$
schon existiert, dann stellt diese Bedingung wenn sie mit weiteren Bedingungen mit "oder" verknüpft ist,
keine Bedingung an die Ausprägung von 0.
Somit sind durch diese Bedingung fogende Bedingungen bereits abgedeckt:

$\begin{eqnarray*} (\bar{3}\wedge \bar{2}\wedge 1\wedge 0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\bar{3}\wedge \bar{2}\wedge 1\wedge\bar{ 0}) \end{eqnarray*}$

Schritt 1 ergab
(IX) $\begin{eqnarray*} (\bar{3}\wedge \bar{2}\wedge \bar{0}) \end{eqnarray*}$
(X) $\begin{eqnarray*} (\bar{3}\wedge \bar{2}\wedge 1) \end{eqnarray*}$
(XI) $\begin{eqnarray*} (\bar{3}\wedge 2 \wedge 1) \end{eqnarray*}$
(XII) $\begin{eqnarray*} (3\wedge \bar{2}\wedge \bar{1}) \end{eqnarray*}$
(XIII) $\begin{eqnarray*} (\bar{3}\wedge 2 \wedge 0) \end{eqnarray*}$

Wichtig ist es darauf zu achten, dass zur Erstellung der Kombis dieser Stufe
alle Kombis der Ausgangsbasis verwendet wurden. (Eventuell nicht verwendete,
müßten unverändert in die nächste Stufe übernommen werden, was hier aber nicht der Fall ist)

aus (X) oder (XI) folgt (XIV) $\begin{eqnarray*} (\bar{3}\wedge 1) \end{eqnarray*}$

sonst sehe ich keine weiteren Möglichkeiten

Verbleibt:
(IX) oder (XII) oder (XIII) als nicht verwendete aus der vorigen Stufe
sowie "oder (XIV)" als neue Vereinfachung

$\begin{eqnarray*} (\bar{3}\wedge \bar{2}\wedge \bar{0}) \vee (3\wedge \bar{2}\wedge \bar{1}) \vee (\bar{3}\wedge 2 \wedge 0) \vee (\bar{3}\wedge 1) \end{eqnarray*}$

Ha! Gerade ist mir aufgefallen, dass dies genau die Lösung ist, die du vieeeeel weiter oben als Musterlösung angegeben hast.
Jetzt bin ich doch ein ganz klein wenig stolz auf mich! Tanzen

Tanzen

smile

Freude

Big Laugh

10.03.2010, 23:52

xparet0209

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ah stimmt

Big Laugh

riesen großen dank an dich Mit Zunge

Mit Zunge

ich habs sogar verstanden

nun muss ich nur noch 6 andere ähnliche dinge lösen xDD
wäre nett wenn der threat doch noch ein weilchen offen bleibt falls noch probleme auftreten Big Laugh

Big Laugh

12.03.2010, 21:53

xparet0209

Auf diesen Beitrag antworten »

hi
ich hab doch noch nen problem
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{array}{*{20}{c}}<br /> {} \hfill & {a)(\bar 3 \wedge \bar 2 \wedge \bar 1 \wedge \bar 0)} \hfill \\<br /> {} \hfill & {b) \vee (\bar 3 \wedge 2 \wedge \bar 1 \wedge \bar 0)} \hfill \\<br /> {} \hfill & {c) \vee (\bar 3 \wedge 2 \wedge \bar 1 \wedge 0)} \hfill \\<br /> {} \hfill & {d) \vee (\bar 3 \wedge 2 \wedge 1 \wedge \bar 0)} \hfill \\<br /> {} \hfill & {e) \vee (3 \wedge \bar 2 \wedge \bar 1 \wedge \bar 0)} \hfill \\<br /> {} \hfill & {f) \vee (3 \wedge \bar 2 \wedge \bar 1 \wedge 0)} \hfill \\<br /> {} \hfill & \equiv \hfill \\<br /> {} \hfill & {a) \vee b) \equiv (\bar 3 \wedge \bar 1 \wedge \bar 0) \vee } \hfill \\<br /> {} \hfill & {a) \vee e) \equiv (\bar 2 \wedge \bar 1 \wedge \bar 0) \vee } \hfill \\<br /> {} \hfill & {b) \vee c) \equiv (\bar 3 \wedge 2 \wedge \bar 1) \vee } \hfill \\<br /> {} \hfill & {\left\langle {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> {} \hfill & {b) \vee d) \equiv (\bar 3 \wedge 2 \wedge \bar 0) \vee } \hfill \\<br /> {} \hfill & {c) \vee d) \equiv (\bar 3 \wedge 2 \wedge \bar 0) \vee } \hfill \\<br /> \end{array}} \right.(\bar 3 \wedge 2 \wedge \bar 0)} \hfill \\<br /> {} \hfill & {e) \vee f) \equiv (3 \wedge \bar 2 \wedge \bar 1)} \hfill \\<br /> {} \hfill & { \equiv (\bar 3 \wedge \bar 1 \wedge \bar 0) \vee (\bar 2 \wedge \bar 1 \wedge \bar 0) \vee (\bar 3 \wedge 2 \wedge \bar 1) \vee (\bar 3 \wedge 2 \wedge \bar 0) \vee (3 \wedge \bar 2 \wedge \bar 1)} \hfill \\<br /> \end{array}<br /> \end{eqnarray*}$

soll kongruent zu folgendem sein:

$\begin{eqnarray*} <br /> \ \equiv (\bar 2 \wedge \bar 1 \wedge \bar 0) \vee (\bar 3 \wedge 2 \wedge \bar 1) \vee (\bar 3 \wedge 2 \wedge \bar 0) \vee (3 \wedge \bar 2 \wedge \bar 1)\<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

ich verstehe aber nciht wieso das 1. wegfallen sollte verwirrt

verwirrt

hoffe ihr könnt mir das erklären

12.03.2010, 23:58

ObiWanKenobi

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$\begin{eqnarray*} <br /> (\bar 3 \wedge \bar 1 \wedge \bar 0)<br /> \end{eqnarray*}$
beinhaltet die Kombinationen

$\begin{eqnarray*} <br /> (\bar 3 \wedge\bar 2 \wedge \bar 1 \wedge \bar 0)<br /> \end{eqnarray*}$
die aber bereits durch
$\begin{eqnarray*} <br /> (\bar 2 \wedge \bar 1 \wedge \bar 0)<br /> \end{eqnarray*}$
abgedeckt ist
und
$\begin{eqnarray*} <br /> (\bar 3 \wedge\ 2 \wedge \bar 1 \wedge \bar 0)<br /> \end{eqnarray*}$
die aber bereits durch
$\begin{eqnarray*} <br /> (\bar 3 \wedge \ 2 \wedge \bar 1)<br /> \end{eqnarray*}$
abgedeckt ist

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