Einbettungssatz

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Thorvga Auf diesen Beitrag antworten »
Einbettungssatz
Hallo,

nachdem die Suchfunktion mir leider keine Treffer erzielte, möchte ich hiermit bitten den Einbettungssatz etwas zu erläutert, bzw mir helfen zu verstehen, was eine Einbettung ist (außer einer injektiven Abbildung).

Erstmal eine andere Einbettung:


Sie ist das zu verstehen? Ich wähle zum Beispiel N=2 und p=3 dann ist p>N.
Damit hätte ich eine Einbettung:


Heißt das, ich kann die Elemente aus als Elemente von auffassen?
Was mich etwas stört, dass Elemente aus dem Sobolev-Raum in den Raum der stetigen Funktionen eingebettet wird. Ich meine, Elemente aus dem Sobolev-Raum müssen nicht mal stetig sein. Für muss u und die erste schwache Ableitung in liegen, was doch nicht vorraussetzt, dass u stetig ist oder irre ich mich?

Ich könnte doch wählen:

u und u' sind beide in aber u ist nicht stetig auf [0, 1]

Habe ich irgendwo einen Denkfehler?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einbettungssatz
Zitat:
Original von Thorvga
Heißt das, ich kann die Elemente aus als Elemente von auffassen?


Das wird wohl so sein. Ohne dass du deine Symbole erklärst, wird es aber schwierig, näheres zu sagen.
Thorvga Auf diesen Beitrag antworten »

ist definiert als der Abschluss von in also dem Raum der m-mal schwach diff'baren Funktionen in .
Und als Menge der stetigen Funktionen auf dem Abschluss von Omega sollte bekannt sein.

Aber gerade entdeckte ich einen Fehler in meinem "Beispiel".
Und zwar wegen N=2 muss sein...
Dennoch könnte ich ja auch dazu eine Funktion nehmen, die unstetig ist, aber selbst und die erste schwache Ableitung in liegen.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Thorvga
Dennoch könnte ich ja auch dazu eine Funktion nehmen, die unstetig ist, aber selbst und die erste schwache Ableitung in liegen.


Die wird aber fast überall einer stetigen Funktion gleichen. Augenzwinkern
Thorvga Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fehlt immer noch die Erklärung, wie ich eine solche Einbettung verstehen kann/soll.
Als trivialen Beispiel lese ich sowas wie "man kann die reellen Zahlen in die komplexen Einbetten" was zwar schön und gut ist, aber eine Einbettung in eine größere Menge stelle ich mir auch nicht schwer vor, doch glaube ich nicht, dass gilt für p>N
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, das wird schon so sein. Für N=1 und p=2 weiß ich, dass es so ist.
 
 
Thorvga Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist zwar vorausgesetzt für den Satz, aber wenn diese Mengeninklusion gelten sollte, dann kann ich das so hinnehmen, auch wenn mir die Vorstellung etwas befremdlich vorkommt.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Öhm, wieso? Diffbare Funktionen sind schließlich auch stetig. Wenn man jetzt etwas weniger fordert als Diffbarkeit (nämlich die schwache), warum sollte unter bestimmten Bedingungen keine Stetigkeit (in einem gewissen Sinne) mehr vorhanden sein?
Thorvga Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube und hoffe, dass ich mich nicht täusche, dass die Menge der stetigen Funktionen auf dem Abschluss von Omega ist im klassischen Sinne. Also nicht nur fast überall stetig sondern überall stetig.
Womit ich mir halt schwer tue ist, dass ich mir vorstellen könnte, dass beim Abschluss von irgendwie die Stetigkeit verloren gehen kann, also die klassische Stetigkeit auf ganz Omega.
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