momenterzeugende Funktion einer Zufallsvariable X

09.03.2010, 18:04

ele5559

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momenterzeugende Funktion einer Zufallsvariable X

Die momenterzeugende Funktion einer Zufallsvariable X ist definiert als

$\begin{eqnarray*} M_X(t) := E(e^{Xt}), t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

a) berechne M_X(t) für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable.

b)berechne die momenterzeugende Funktione einer geometrisch verteilten Zufallsvariable. Hinweis: Für eine diskrete Z.v. ist Mx(t) gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} M_X(t) = \sum\limits_{k} {e ^{kt}P(X=k)} \end{eqnarray*}$

...und ich habe keinen Plan, weiß nicht mal, was die ganzen Buchstaben bedeuten sollen:

Ich dachte die Momente sind x.f(x) , x².f(x) und so weiter...

09.03.2010, 18:26

Cel

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Es geht ja auch nicht um Momente, sondern um momenterzeugende Funktionen. Die heissen so, weil folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^k}{\partial t^k}M_{X}(t) = \mathbb{E}(X^k) \end{eqnarray*}$

Die k-te Ableitung nimmt also für t = 0 den Wert des k-ten Momentes an, aber das nur nebenbei.

Die Umformung, die dir sicher klar ist, wenn du sie siehst, ist folgende:

$\begin{eqnarray*} M_{X}(t) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}\cdot f_{X}(x)dx \end{eqnarray*}$ , wobei f_{X}(x) die Dichte der jeweiligen Verteilung ist.

Und bei b)? Was ist P(X = k)? Eben f(k), wenn f die Zähldichte ist.

Alles klar soweit? Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.03.2010, 19:41

ele5559

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Hmm, wie verwende ich denn dieses ominöse X in der Funktion? Mir ist das nicht ganz klar, was eine $\begin{eqnarray*} f_{X}{x} \end{eqnarray*}$ ist...

Edit: $\begin{eqnarray*} f_{X}(x) \end{eqnarray*}$ mein ich

09.03.2010, 19:47

Cel

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Hab ich doch geschrieben? Das ist die Dichte der Zufallsvariable X. In deinem Fall also die Dichte der Standardnormalverteilung.

09.03.2010, 19:48

ele5559

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Wie wirkt sich diese Zufallsvariable auf die Dichte aus, ich hab ja ein kleines x auch noch.
Normale Dichten sind ja einfach nur f(x)

09.03.2010, 19:56

Cel

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Gar nicht, das ist nur ein Name. Du nennst es $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ , ich $\begin{eqnarray*} f_{X}(x) \end{eqnarray*}$ . Verschiedene Zufallsvariablen haben verschiedene Dichten, deswegen als Index noch ein X. Nicht, dass jemand immer die gleiche funktion nimmt.

Wie gesagt: Bei dir ist das die Dichte der Standardnormalverteilung.

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09.03.2010, 20:08

ele5559

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Hab mir nochmal alles durchgelesen: und ich glaube, ich hab was kapiert:

Wenn die Variable X verteilt ist:

f(x)=2x+5

dann ist $\begin{eqnarray*} f_{X}(x) = f(x) \end{eqnarray*}$

09.03.2010, 20:18

AD

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Zitat:

Original von ele5559
ich glaube, ich hab was kapiert:

Das sieht leider überhaupt nicht so aus. Hast du denn irgendeine Ahnung von Zufallsgrößen und ihren Verteilungen? Sowas wie

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2x+5 \end{eqnarray*}$

ist jedenfalls nur dann eine mögliche Dichtefunktion einer stetigen Verteilung, wenn du noch ein sinnvolles Intervall dazu angibst, wo diese Dichtefunktionsdarstellung gelten soll (außerhalb dieses Intervalles dann Null).

09.03.2010, 20:22

Cel

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Das stimmt wohl. Es gibt einige Eigenschaften, die so eine Dichtefunktion erfüllen muss. Vielleicht liest du noch mal ein bisschen. Davon ab hindert dich nichts, mit der Aufgabe anzufangen. Ich habe dir ja schon zwei Mal geschrieben, was du nehmen musst. Bei a) Dichte der Standardnormalverteilung, bei b) Zähldichte der geometrischen Verteilung. Beides solltest du kennen bzw. leicht nachschlagen können.

09.03.2010, 20:24

ele5559

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Jaja, das ist mir schon klar, dass es unter dem gesamten Integral dann eine Fläche von 1 ergeben muss.

Es ging mir nur um den Zusammenhang mit der Zufallsvariablen.
Also das X ist keine Variable mit der ich rechne, oder so, sondern eine nur ein Art Bezeichner, das meinte ich.

09.03.2010, 20:30

ele5559

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@Mr.brightside: Oh tschuldigung, da war ja die ganze Erklärung. Bei mir war zwischendurch alles weg auf der Seite, und da habe ich die Erklärung nicht gelesen.

Danke ist mir jetzt klar.

09.03.2010, 20:37

ele5559

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Hier denk ich kenn ich mich aus:

$\begin{eqnarray*} M_{X}(t) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}\cdot f_{X}(x)dx \end{eqnarray*}$

Ich kann für $\begin{eqnarray*} f_{X}(x) \end{eqnarray*}$ jede beliebige stetige Dichtfunktion einsetzen und dann geht es einfach darum zusammenzufassen und zu kürzen etc..

Hab ich das richtig verstanden.

Und dieses Integral ist eigentlich das gleiche, wie das

$\begin{eqnarray*} M_{X}(t) = E(e^{Xt}) \end{eqnarray*}$

nur irgendwie umgeformt

09.03.2010, 20:55

AD

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Zitat:

Original von ele5559
Hab ich das richtig verstanden.

Ja. Und jetzt ist es aber wirklich allerhöchste Zeit, die vielen Runden um den heißen Brei zu beenden, und mal wirklich anzufangen, den Brei zu löffeln. Im Klartext: Einsetzen und rechnen!

09.03.2010, 21:06

ele5559

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tu ich grade und wurschtl mich durch das Integral

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{tx-\frac{1}{2}x^2} \end{eqnarray*}$

und versuchs mit partieller Integration...

Hoffe, ich bin am richtigen Weg

09.03.2010, 21:12

AD

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Zitat:

Original von ele5559
und versuchs mit partieller Integration...

Das wird nichts bringen. Versuch lieber, durch eine geeignete lineare Substitution auf sowas wie $\begin{eqnarray*} \int ~ e^{-\frac{u^2}{2}} ~ \dd u \end{eqnarray*}$ zu kommen - Stichwort: quadratische Ergänzung.

09.03.2010, 21:23

ele5559

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ja, hatte gerade bemerkt, dass meine x nur immer mehr werden.

Gut, also ich substituiere x-t=u

09.03.2010, 21:41

AD

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Ja, das sollte es bringen. Freude

Freude

09.03.2010, 21:55

ele5559

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ganz kleinlaut unglücklich

unglücklich

Was mach ich blos mit dem $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{u^2}{2}} \end{eqnarray*}$ ? All meine Integrationsversuche scheitern, und langsam glaub ich das gehr gar nicht. War da nicht irgendwas, dass e hoch Quadrate nicht geht, und deshalb hat man die Listen für die Fläche unter den Normalverteilungen?

Sorry, ich steh im Moment ein bischen auf der Leitung, ich weiß..

09.03.2010, 22:31

AD

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Wie lautet das Integral der Standardnormalverteilungsdichte, genommen über ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ? Nun, ganz einfach

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} ~ \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ e^{-\frac{u^2}{2}} ~ \dd u = 1 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.03.2010, 22:44

ele5559

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Gott ich Trottel!

Ich wollte unbedingt eine Formel oder Funktion rausbekommen!

Das ganze ist quasi eine Normalverteilung mit mü = t (da mein u ja x-t ist), oder nachdem ichs substituiert hab überhaupt standard-Normalverteilung.
Genial, da wär ich, glaub ich, nie drauf gekommen!

Ich muss das aber dann jetzt für mein Endergebnis mit dem $\begin{eqnarray*} e^{\frac{t^2}{2}} \end{eqnarray*}$ das ich ergänzt und vor das Intergral gezogen hab noch multiplizieren, oder?

09.03.2010, 22:48

AD

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Ja klar, es kommt also insgesamt $\begin{eqnarray*} M_X(t) = e^{\frac{t^2}{2}} \end{eqnarray*}$ heraus.

09.03.2010, 23:08

ele5559

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Danke vielmals!

Hätt ich alleine nie geschafft!

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