spezielle Funktion gesucht

21.10.2006, 22:22

michifold

spezielle Funktion gesucht

Hallo,
weiß jemand von euch vielleicht, ob es eine hinschreibbare reelle Funktion gibt, die zwar schneller wächst als ein beliebiges Polynom, jedoch langsamer als eine Exponentialfunktion?
Vielen Dank.
Michi

21.10.2006, 23:44

brain man

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Servus !

Also du suchst eine Funktion, die folgenden Anforderungen genügt ( ? ) :

$\begin{eqnarray*} x^n\leq f(x)\leq e^x \end{eqnarray*}$

21.10.2006, 23:58

20_Cent

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also $\begin{eqnarray*} \frac{e^x}{x} \end{eqnarray*}$ wächst schneller als jedes polynom, aber langsamer als die normale e-funktion, auch wenn man diese um einen faktor streckt. Meinst du sowas?
mfg 20

22.10.2006, 00:25

michifold

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Nein eher nicht. e^x/x ist ja, wenn ich mir die Reihenentwicklung anschaue wieder nur eine Exponentialfunktion (bis auf den Summanden 1/x, der ja für x-> unendlich Null wird) und wächst damit schneller als jede endliche "Reihe" also als jedes Polynom. Ich glaube eigentlich nicht mehr, dass es sowas gibt.
Trotzdem danke.

22.10.2006, 00:41

sqrt(2)

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Zitat:

Original von michifold
e^x/x [...] wächst damit schneller als jede endliche "Reihe" also als jedes Polynom.

Was genau das ist, was du gefordert hast...

22.10.2006, 00:44

michifold

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richtig, aber nicht langsamer als eine beliebige Exponentialfunktion.

22.10.2006, 00:46

sqrt(2)

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Doch. $\begin{eqnarray*} \frac{e^x}{x}=o(e^x) \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{e^x}{x}}{e^x}=0 \end{eqnarray*}$ .

22.10.2006, 00:55

michifold

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richtig, du hast Recht! vielen Dank.
Michi

22.10.2006, 00:59

Abakus

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Für die normale e-Funktion stimmt das. Für eine beliebige e-Funktion der Form $\begin{eqnarray*} a^x = e^{cx} \end{eqnarray*}$ mit geeigneten Konstanten a, c findet man eine, die noch drunter liegt.

Wie sieht es aus, wenn wir die Exponentialreihe einfach "stark ausdünnen" ?

ZB:

$\begin{eqnarray*} f(x) := \sum_{k \in \mathbb P} ~ \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb P \end{eqnarray*}$ bezeichnet dabei die Primzahlen.

Es sieht merkwürdig aus, aber wäre vielleicht eine Untersuchung wert.

Grüße Abakus smile

22.10.2006, 01:21

sqrt(2)

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Ah... Mein Verständnis von "beliebig" war etwas kaputt...

Mit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{k!}}{(k!)!} \end{eqnarray*}$ scheint es leider nichts zu werden, an die Primzahlsache traue ich mich nicht... Augenzwinkern

22.10.2006, 02:00

20_Cent

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Das nennt ihr noch e-funktion... oje ^^
mfg 20

22.10.2006, 11:29

michifold

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hm, also das mit den Primzahlen wäre interessant, denn ich suche eigentlich nur nach einer Funktion, die schnellerals polynomiell und langsamer als exponentiell wächst, da ich diese Folge approximieren will:

(1,P(1)),(2,P(P(1))),(3,P(P(P(1)))),... wobei P(n) die n-te Primzahl ist.

und festgestellt habe, dass jede Exponentialfunktion zu schnell und jedes Polynom zu langsam wächst.
Offensichtlich konvergiert auch die Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{P^i(1)} \end{eqnarray*}$
Beweisen kann ich das nicht, jedoch sagt mathematica, wenn ich die Summe von 1 bis 15 laufen lasse das:
{0.500000000000000, 0.833333333333333, 1.03333333333333, 1.12424242424242,
1.15650048875855, 1.16437450450658, 1.16578494174213, 1.16597078080550,
1.16598975217770, 1.16599129445697, 1.16599139715450, 1.16599140288712,
1.16599140316054, 1.16599140317185, 1.16599140317226}

scheint also einigermaßen schnell zu konvergieren. Was meint ihr?

22.10.2006, 12:28

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Zitat:

Original von michifold
da ich diese Folge approximieren will:

(1,P(1)),(2,P(P(1))),(3,P(P(P(1)))),... wobei P(n) die n-te Primzahl ist.

und festgestellt habe, dass jede Exponentialfunktion zu schnell und jedes Polynom zu langsam wächst.

Gemäß Primzahlsatz suchst du demnach eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , die (zumindest in etwa)

$\begin{eqnarray*} f(n-1) = \frac{f(n)}{\ln f(n)} \end{eqnarray*}$

erfüllt. Interessante Funktionalgleichung...

22.10.2006, 12:31

Lazarus

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Wenn du auch 1/0! und 1/1! noch dazu nimmst bekommst du näherungsweise als Wert das raus:
$\begin{eqnarray*} \sum_{\substack{p \in\mathbb M\\ \mathbb M= \left\{0,1\right\} \cup \mathbb P}}~\frac{1}{p!} \approx 2.675198438 \end{eqnarray*}$

Sei nun $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ diese neue Basis so ergibt sich ungefähr $\begin{eqnarray*} b=e- 0.04308339 \end{eqnarray*}$

Somit könnte man eine Exponentialfunktion mit Basis $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ umschreiben zu: $\begin{eqnarray*} b^x=e^{x\cdot\ln b}=e^{.98402356\cdot x} \end{eqnarray*}$
Also ergibt sich dabei für den Ansatz von Abakus

Zitat:

Für die normale e-Funktion stimmt das. Für eine beliebige e-Funktion der Form $\begin{eqnarray*} a^x=e^{c\cdot x} \end{eqnarray*}$ mit geeigneten Konstanten a, c findet man eine, die noch drunter liegt.

einfach $\begin{eqnarray*} c= .98402356 \end{eqnarray*}$

Andere bemerkenswerte Tatsachen:
Wählt man statt der Differenz die Summe $\begin{eqnarray*} e+b \end{eqnarray*}$ ergibt sich als $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ annähernd der Goldene Schnitt Augenzwinkern

Und wem das noch nicht reicht : $\begin{eqnarray*} \ln{\left(b+e\right)}\approx \pi \end{eqnarray*}$

22.10.2006, 13:03

michifold

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Wenn man mir jetzt noch jemand sagen könnte, ob diese Reihe konvergiert:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{P(P(n)} \end{eqnarray*}$

Bisher konnte mir das noch keiner beantworten. Jedoch habe ich mal mathematica einen tag rechnen lassen und bis 600000 summiert.
Da kam ca 0.988 raus. Könnte fast gegen 1 konvergieren :-)

22.10.2006, 13:32

Abakus

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Zitat:

Original von michifold
hm, also das mit den Primzahlen wäre interessant, denn ich suche eigentlich nur nach einer Funktion, die schnellerals polynomiell und langsamer als exponentiell wächst, da ich diese Folge approximieren will:

(1,P(1)),(2,P(P(1))),(3,P(P(P(1)))),... wobei P(n) die n-te Primzahl ist.

und festgestellt habe, dass jede Exponentialfunktion zu schnell und jedes Polynom zu langsam wächst.

Wie kommst du darauf, dass das schneller als jedes Polynom wächst ? Die Quadratfunktion ist ja obere Schranke (würde ich vermuten) ?

Zitat:

Offensichtlich konvergiert auch die Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{P^i(1)} \end{eqnarray*}$
Beweisen kann ich das nicht, jedoch sagt mathematica, wenn ich die Summe von 1 bis 15 laufen lasse das:
{0.500000000000000, 0.833333333333333, 1.03333333333333, 1.12424242424242,
1.15650048875855, 1.16437450450658, 1.16578494174213, 1.16597078080550,
1.16598975217770, 1.16599129445697, 1.16599139715450, 1.16599140288712,
1.16599140316054, 1.16599140317185, 1.16599140317226}

scheint also einigermaßen schnell zu konvergieren. Was meint ihr?

Offensichtlich ist das mit den wenigen Summanden nicht. Aber du betrachtest im folgenden ja schon eine Majorante dazu:

Zitat:

Original von michifold
Wenn man mir jetzt noch jemand sagen könnte, ob diese Reihe konvergiert:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{P(P(n)} \end{eqnarray*}$

Du kannst approximativ annehmen:

$\begin{eqnarray*} P(n) \approx n \cdot \log n \end{eqnarray*}$

Damit hast du:

$\begin{eqnarray*} P(P(n)) \approx n \cdot \log n \log(n \cdot \log n) \approx n \cdot \log^2 n \end{eqnarray*}$

Die zugehörige Reihe ist konvergent:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \cdot \log^2 n} \end{eqnarray*}$

Das legt es zumindest nahe, dass deine Reihe konvergiert; bei genauer Betrachtung lässt sich da ggf. sogar ein Beweis draus machen.

Grüße Abakus smile

22.10.2006, 13:40

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Aus dem Primzahlsatz kann man - zumindest für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ - die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} n\cdot\ln(n) < P(n) < n\cdot\ln(n)\cdot\ln(\ln(n)) \end{eqnarray*}$

ableiten. Aus der rechten Ungleichung kann man

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=n_0}^{\infty} \frac{1}{P(n)} \geq \sum_{n=n_0}^{\infty} \frac{1}{n\cdot\ln(n)\cdot\ln(\ln(n))} = \infty \end{eqnarray*}$

folgern, aus der linken aber ebenso $\begin{eqnarray*} P(P(n)) > n\cdot(\ln(n))^2 \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=n_0}^{\infty} \frac{1}{P(P(n))} \leq \sum_{n=n_0}^{\infty} \frac{1}{n\cdot(\ln(n))^2} < \infty \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Da war ich wohl etwas langsam, immerhin haben wir dasselbe raus. Augenzwinkern

22.10.2006, 19:44

michifold

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ausgezeichnet! Freude

aber gegen was diese Reihe nun konvergiert werdet ihr mir nicht auch noch verraten können, oder ?

23.10.2006, 01:30

Abakus

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Zitat:

Original von michifold
aber gegen was diese Reihe nun konvergiert werdet ihr mir nicht auch noch verraten können, oder ?

Ich fürchte, das ist nicht bekannt (?). Die Reihe konvergiert ziemlich langsam, so dass auch numerisch nur mühsam an den Wert zu kommen ist.

Grüße Abakus smile

29.11.2010, 23:08

SpidiG

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Ich weiß ich krame hier einen uuuuralten thread hervor und ich möchte ihn aauch gleich wieder sterben lassen, jedoch ist das hier googletreffer nummer 1 wenn man nach dieser frage sucht.

etwas weiter unten bei den Googletreffern zu "funktion schneller als polynom langsamer als e" findet sich ein pdf-file der uni potsdam (Technische Informatik II).

Dort stehen 2 lösungen, 2^wurzel(n) und n^log n.

ich schreibs mal so explizit hier rein, wer weiß wie lang das PDF online bleibt.

Beweisen muss man eh selbst, aber hier schonmal 2 lösungen, die stimmen (sollten).

Grüße

02.12.2010, 01:05

Abakus

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