Vektorraum

10.03.2010, 18:22

cone

Vektorraum

Meine Frage:
Hallo

Ich habe leider ein großes Problem mit Vektorräumen. Ich kann mir unter diesem Begriff leider nichts vorstellen. Habe die Definition von Wikipedia durchgelesen aber leider nicht verstanden. Deshalb bitte ich euch mir eine wörtliche Erklärung für Vektorräume zu geben.
Weiters möchte ich wissen, wie ich herausfinden kann, dass bestimmte Elemente einen Vektorraum bilden (z.B.: (x1,x2,x3) ? R^3: x1 = x2)
Außerdem möchte ich noch wissen wozu ich einen Vektorraum nachweise und was ich mit diesem anfangen kann.

Meine Ideen:
Ich stelle mir einen Vektorraum aus R^3 so vor, indem es Basen mit jeweils 3 linear unabhängigen Vektoren gibt.

10.03.2010, 18:37

WebFritzi

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Vektorräume kommen sehr oft in der Mathematik vor. Aber "wörtlich erklären", was das ist, kann man leider nicht. Es ist halt eine mathematische Struktur. Wenn du ein Gefühl dafür bekommen willst, dann läuft es wie immer in der Mathematik: rechne ein paar Beispiele durch.

Natürlich sind nicht nur R³, sondern auch R² und R^4, allgemein R^n, Vektorräume. Weiterhin ist auch Q² ein Vektorraum. Der zugehörige Körper ist hier Q. Man kann auch den R^n mit dem Körper Q versehen. Das wäre dann schon wieder ein anderer Vektorraum (der allerdings nur von theoretischem Interesse ist). Aber all diese Beispiele waren jetzt nur endlichdimensionale Vektorräume. Es gibt auch unendlichdimensionale. Das können mächtige Mengen von Funktionen sein, wie z.B. die Menge der stetigen Funktionen auf einem Intervall [a,b].

Wenn du weißt, dass ein Raum ein Vektorraum ist und nachweisen musst, dass eine Teilmenge davon ebenfalls ein Vektorraum ist, dann musst du nur die Unterraum-Axiome auf Gültigkeit überprüfen. Auch die Definition eines "Unterraums" findest du unter Wikipedia. Damit solltest du ein wenig mehr anfangen können.

10.03.2010, 22:46

kiste

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Zitat:

Original von WebFritzi
[...]Aber all diese Beispiele waren jetzt nur endlichdimensionale Vektorräume. [...]

R über Q ist doch unendlichdimensional?

11.03.2010, 01:17

WebFritzi

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Öhm, ja... Stimmt. Da habe ich nicht nachgedacht. Danke für die Korrektur.

11.03.2010, 10:43

Ehos

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Grob gesagt:
-------------------------------
Ein Vektorraum ist eine Menge von Elemente, zwischen denen folgende beiden mathematischen Operationen möglich sind:

(1) Addition untereinander
(2) Multiplikation mit beliebigen Zahlen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$

Wesentlich dabei ist, dass diese beiden Operationen nicht aus der Menge "herausführen" dürfen. Das soll heißen, die Ergebnisse beider Operationen, also $\begin{eqnarray*} \vec x_1+\vec x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \cdot \vec x \end{eqnarray*}$ , müssen wieder in der Menge liegen.
------------------------
Beispiel:
Die reellen Zahlen sind ein Vektorraum.

Gegenbeispiel 1:
Die reellen Zahlen zwischen 1 und 10 bilden keinen Vektorraum. Addiert man nämlich gemäß obiger Operation (1) die beiden Zahlen x1=6,1 und x2=7,9, so liegt das Ergebnis x1+x2=14 nicht mehr zwischen 1 und 10.

Gegenbeispiel 2:
Die natürlichen Zahlen sind ebenfalls kein Vektorraum. Denn die Operation (2) "führt" aus der Menge der natürlichen Zahlen "heraus". Multipliziert man z.B. die natürliche Zahl x=4 mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ =1,2, ergibt sich $\begin{eqnarray*} x \cdot \alpha \end{eqnarray*}$ =4,8, was keine natürlcihe Zahl mehr ist.

11.03.2010, 12:08

WebFritzi

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Zitat:

Original von Ehos
Grob gesagt:
-------------------------------
Ein Vektorraum ist eine Menge von Elemente, zwischen denen folgende beiden mathematischen Operationen möglich sind:

(1) Addition untereinander
(2) Multiplikation mit beliebigen Zahlen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$

Wesentlich dabei ist, dass diese beiden Operationen nicht aus der Menge "herausführen" dürfen. Das soll heißen, die Ergebnisse beider Operationen, also $\begin{eqnarray*} \vec x_1+\vec x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \cdot \vec x \end{eqnarray*}$ , müssen wieder in der Menge liegen.

Das ist wirklich nur grob und reicht bei weitem nicht aus.

12.03.2010, 09:11

Ehos

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Die Definition ist sicher "grob", sie hat aber den Vorteil der Kürze und enthält implizit einige "fehlende" Aussagen der exakten Vektorraum-Definition. Zum Beispiel ist die Existenz eines "Null-Elementes" bereits enthalten, ohne dass man dies explizit sagen muss.

Oft kann man in der Mathematik mit 20% Aufwand 80% des Inhaltes erklären kann. Zum Verständnis der restlichen 20% benötigt man dann leider 80% des Aufwand. Das ist mitunter "unwirtschaftlich" Zum Beispiel kann man den Gaußschen Satz ziemlich einfach beweisen, wenn man nur "glatt begrenzte" Gebiete zulässt. Lässt man dagegen Gebiete mit "Ecken", "Stufen" oder gar "Stacheln" zu, wird der Beweis ein komplizierte Sache. Der Praktiker kümmert sich um letzteres wenig, weil es in der Natur meist nur "glatt begrenzte" Gebiete gibt.

Das ist gerade der Unterschied zwischen "Mathematik" und "Rechnen". Beide Sichtweisen haben ihre Berechtigung.

28.04.2010, 10:54

Mathe-Dummy

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Gute Einstiegserklärung
Hallo zusammen,

@Ehos:
vielen Dank für Deine Ausführungen. Als "Mathe-Dummy" mit großen Lücken aus der Schule muß ich mich leider in einem völlig anderen Rahmen mit Fragen dieser Art befassen. Deine Erklärung hat mir sehr geholfen, einen Pack-an für Vektorräume zu bekommen, um mich dann hoffentlich weiter in die höheren Sphären vorzuarbeiten...

Noch eine Frage zu Vektorräumen:

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Welche Art von Aufgaben kann man mit Vektorräumen lösen?
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Ein konkretes Beispiel für die Anwendung von Vektorräumen würde mir sehr helfen.

Vielen Dank und Gruß
Mathe-Dummy

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