proof-Umgebung

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proof-Umgebung
Hi!
Ich versuche, mir eine Proof-Umgebung zusammenzubasteln. Mir schwebt folgendes vor: Ähnlich wie im amsthm-Paket definiert (selbe Formatierung, auch mit qed-Kästchen am Schluss), aber mit fortlaufender Nummerierung:

4.2 Satz
...
4.3 Beweis zum Satz 4.2
...

Also gewissermaßen ein Hybrid aus

code:
1:
2:
\usepackage{amsthm}
\begin{proof}...\end{proof}

und
code:
1:
2:
\newtheorem{bew}{Beweis}[section]
\begin{bew}...\end{bew}


Was mir an ersterem besonders gefällt, ist die dynamische Namenszuweisung, das heißt:
code:
1:
\begin{proof}[Beweis des Satzes 4.2]

erzeugt wirklich auch (in kursiv) "Beweis des Satzes 4.2", worauf der Beweis folgt, wenn ich aber etwas ähnliches mit einer theorem-Umgebung bastle, sieht das ganz folgendermaßen aus:
4.3 Beweis (des Satzes 4.2)

Wichtig wäre mir also eine fortlaufende Nummerierung und die dynamische Namensgebung.
Danke für die Hilfe!

Minimalbeispiel / Der relevante Ausschnitt in meinem Dokument:
Für die in amsthm definierte proof-Umgebung:
code:
1:
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\documentclass{scrartcl}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{theorem}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsthm}
\newcommand{\R}{\mathbb R} % Körper reeller Zahlen
\renewcommand{\d}{\mathrm d} % Differential
\newcommand{\E}{\mathbb E} % Erwartungswert
\newtheorem{theo}{Theorem}[section]
\newtheorem{bew}{Beweis}[section]

\begin{document}
\begin{theo}[Existenz und Eindeutigkeit]
Seien
\begin{eqnarray*}b:\R^n\times[0,T]&\longrightarrow & \R^n\\\sigma:\R^n\times[0,T]&\longrightarrow & \R^{m\times n}
\end{eqnarray*}
messbar, $(B(t))_{t\geq 0}$ B. B. in $\R^n$ mit der Lipschitzbedingung\\
(L)
\begin{eqnarray*}
\left| b(x,t)-b(y,t)\right| &\leq& L|x-y|\quad \forall t\in[0,T]\\
\left| \sigma(x,t)-\sigma(y,t)\right| &\leq& L|x-y|\quad \forall x,y\in\R^n\\
\end{eqnarray*}
und der Beschränkheitsbedingung\\
(B)
\begin{eqnarray*}
\left| b(x,t)\right| &\leq& L(1+|x|)\quad \forall t\in[0,T]\\
\left| \sigma(x,t)\right| &\leq& L(1+|x|)\quad \forall t\in[0,T].\\
\end{eqnarray*}
Außerdem sei $x_0$ eine $\R^n$-wertige Zufallsgröße, wobei unabhängig von $(\beta(t))_{t\geq 0}$ gilt:  $\E|x_0|^2<\infty$. Weiterhin sei $\mathcal F_t = \sigma(x_0,\beta(s),s\in[0,t])$ Filtration. Dann existiert eine eindeutige Lösung $X\in\mathcal V_2(0,T)$ der stochastischen Differentialgleichung \begin{eqnarray*}\d X &=& b(X,t)\d t + \sigma(X,t)\d \beta\\ X(0)&=&x_0\end{eqnarray*} mit stetigen Pfaden.
\end{theo}
\Large mit proof aus amsthm
\normalsize
\begin{proof}[Eindeutigkeitsbeweis]
Eindeutigkeit im Sinne $\mathbb P(\forall t\in[0,T]:\ X(t) = \tilde{X}(t))=1$ für verschiedene Lösungen $X$ und $\tilde{x}$ mit stetigen Pfaden. Es ist \begin{align*}X(t)-\tilde X(t)&=x_0-\tilde x_0+\int_0^tb(X,s)-b(\tilde X, s)\d s+ \int_0^t\sigma(X,s)-\sigma(\tilde X, s)\d s\\
\Longrightarrow \quad & \E|X(t)-\tilde X(t)|^2\leq 3\E|x_0-\tilde x_0|^2 + \\
& +3\E\left|\int_0^tb(X,s)-b(\tilde X, s)\d s\right|^2+\\
& +3\E\left| \int_0^t\sigma(X,s)-\sigma(\tilde X, s)\d \beta(s)\right|^2 \leq \cdots \\
\intertext{mit ~ C.-S.,~ It$\mathrm{\bar o}$-Iso.}
\cdots &\leq3\E|x_0-\tilde x_0|^2+\\
& + 3T\int_0^t\E\left|b(X,s)-b(\tilde X,s)\right|^2\d s+\\
& + 3\int_0^t\E\left|\sigma(X,s)-\sigma(\tilde X,s)\right|^2\d s\leq \cdots\\
\intertext{mit der Lipschitzbedingung}\cdots &\leq3\E\left|x_0-\tilde x_0\right|^2 + 3L^2(T+1)\int_0^t\E\left|X(s)-\tilde X(s)\right|^2\d s \leq \cdots\\
\intertext{Das Gronwall-Lemma: } &  \Phi\in\mathcal C^1[0,T], ~\Phi \geq 0, ~c\geq 0\\
&\Phi(t)\leq\Phi_0 + c\int_0^t\Phi(s)\d s ~~\forall t\in [0, T]\\
\Rightarrow\quad &\Phi(t)\leq \Phi_0e^{ct}~~\forall t\in[0,T]\\
\intertext{Sei $\Phi(t) = \E|X(t)-\tilde X(t)|^2$, dann folgt mit Gronwall:}
\Rightarrow\quad  & \E|X(t)-\tilde X(t)|^2 \leq \E|x_0-\tilde x_0|^2e^{3L^2(T+1)t} = 0, \text{ falls $x_0 = \tilde x_0$}\\
\Rightarrow\quad & \mathbb P(X(t)=\tilde X(t))=1~~\forall t\in[0,T]\\
\Rightarrow\quad & \mathbb P(X(t)=\tilde X(t)~~\forall t\in[0,T]\cap \mathbb Q) = 1\\
\stackrel{x, \tilde x \text{ stetige Pfade}}{\Longrightarrow}\quad & \mathbb P(X(t)=\tilde X(t)~~\forall t\in[0,T]) = 1\end{align*}
\end{proof}
\Large mit bew aus eigener Definition
\normalsize
\begin{bew}[Eindeutigkeit]
Eindeutigkeit im Sinne $\mathbb P(\forall t\in[0,T]:\ X(t) = \tilde{X}(t))=1$ für verschiedene Lösungen $X$ und $\tilde{x}$ mit stetigen Pfaden. Es ist \begin{align*}X(t)-\tilde X(t)&=x_0-\tilde x_0+\int_0^tb(X,s)-b(\tilde X, s)\d s+ \int_0^t\sigma(X,s)-\sigma(\tilde X, s)\d s\\
\Longrightarrow \quad & \E|X(t)-\tilde X(t)|^2\leq 3\E|x_0-\tilde x_0|^2 + \\
& +3\E\left|\int_0^tb(X,s)-b(\tilde X, s)\d s\right|^2+\\
& +3\E\left| \int_0^t\sigma(X,s)-\sigma(\tilde X, s)\d \beta(s)\right|^2 \leq \cdots \\
\intertext{mit ~ C.-S.,~ It$\mathrm{\bar o}$-Iso.}
\cdots &\leq3\E|x_0-\tilde x_0|^2+\\
& + 3T\int_0^t\E\left|b(X,s)-b(\tilde X,s)\right|^2\d s+\\
& + 3\int_0^t\E\left|\sigma(X,s)-\sigma(\tilde X,s)\right|^2\d s\leq \cdots\\
\intertext{mit der Lipschitzbedingung}\cdots &\leq3\E\left|x_0-\tilde x_0\right|^2 + 3L^2(T+1)\int_0^t\E\left|X(s)-\tilde X(s)\right|^2\d s \leq \cdots\\
\intertext{Das Gronwall-Lemma: } &  \Phi\in\mathcal C^1[0,T], ~\Phi \geq 0, ~c\geq 0\\
&\Phi(t)\leq\Phi_0 + c\int_0^t\Phi(s)\d s ~~\forall t\in [0, T]\\
\Rightarrow\quad &\Phi(t)\leq \Phi_0e^{ct}~~\forall t\in[0,T]\\
\intertext{Sei $\Phi(t) = \E|X(t)-\tilde X(t)|^2$, dann folgt mit Gronwall:}
\Rightarrow\quad  & \E|X(t)-\tilde X(t)|^2 \leq \E|x_0-\tilde x_0|^2e^{3L^2(T+1)t} = 0, \text{ falls $x_0 = \tilde x_0$}\\
\Rightarrow\quad & \mathbb P(X(t)=\tilde X(t))=1~~\forall t\in[0,T]\\
\Rightarrow\quad & \mathbb P(X(t)=\tilde X(t)~~\forall t\in[0,T]\cap \mathbb Q) = 1\\
\stackrel{x, \tilde x \text{ stetige Pfade}}{\Longrightarrow}\quad & \mathbb P(X(t)=\tilde X(t)~~\forall t\in[0,T]) = 1\end{align*}
\end{bew}
\end{document}
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