shaded-Umgebung in align-Umgebung einbauen

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Duedi Auf diesen Beitrag antworten »
shaded-Umgebung in align-Umgebung einbauen
Hi!
Ich möchte in einer Gleichungskette in einem Beweis eine spezielle Zeile hervorheben, entweder durch Ausklammern, zusammenfassen in einen grauen Kasten, o. ä. Es handelt sich dabei nämlich um die Kurzzusammenfassung eines Lemmas, das danach in der Beweisführung benutzt wird. Also folgendermaßen:

Beweis:
Zeile 1
Zeile 2
Zeile 3
(Hier steht das Lemma)
Hier wird das Lemma auf den Beweis angewandt

Ich dachte an die shaded-Umgebung aus dem Makropaket framed, aber wenn ich das mit einer einfachen fbox in einer minipage-Umgebung machen kann, auch gut. Zwei große Klammern, die die ganze Zeile umgeben, sind auch in Ordnung. Ich würde das ganze nur gern in der align-Umgebung lassen, damit die Formatierung erhalten bleibt. Danke!

Minimalbeispiel:
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\documentclass{scrartcl}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{theorem}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsthm}
\newcommand{\R}{\mathbb R} % Körper reeller Zahlen
\renewcommand{\d}{\mathrm d} % Differential
\newcommand{\E}{\mathbb E} % Erwartungswert
\newtheorem{theo}{Theorem}[section]
\newtheorem{bew}{Beweis}[section]

\begin{document}
\begin{theo}[Existenz und Eindeutigkeit]
Seien
\begin{eqnarray*}b:\R^n\times[0,T]&\longrightarrow & \R^n\\\sigma:\R^n\times[0,T]&\longrightarrow & \R^{m\times n}
\end{eqnarray*}
messbar, $(B(t))_{t\geq 0}$ B. B. in $\R^n$ mit der Lipschitzbedingung\\
(L)
\begin{eqnarray*}
\left| b(x,t)-b(y,t)\right| &\leq& L|x-y|\quad \forall t\in[0,T]\\
\left| \sigma(x,t)-\sigma(y,t)\right| &\leq& L|x-y|\quad \forall x,y\in\R^n\\
\end{eqnarray*}
und der Beschränkheitsbedingung\\
(B)
\begin{eqnarray*}
\left| b(x,t)\right| &\leq& L(1+|x|)\quad \forall t\in[0,T]\\
\left| \sigma(x,t)\right| &\leq& L(1+|x|)\quad \forall t\in[0,T].\\
\end{eqnarray*}
Außerdem sei $x_0$ eine $\R^n$-wertige Zufallsgröße, wobei unabhängig von $(\beta(t))_{t\geq 0}$ gilt:  $\E|x_0|^2<\infty$. Weiterhin sei $\mathcal F_t = \sigma(x_0,\beta(s),s\in[0,t])$ Filtration. Dann existiert eine eindeutige Lösung $X\in\mathcal V_2(0,T)$ der stochastischen Differentialgleichung \begin{eqnarray*}\d X &=& b(X,t)\d t + \sigma(X,t)\d \beta\\ X(0)&=&x_0\end{eqnarray*} mit stetigen Pfaden.
\end{theo}
\begin{proof}[Eindeutigkeitsbeweis]
Eindeutigkeit im Sinne $\mathbb P(\forall t\in[0,T]:\ X(t) = \tilde{X}(t))=1$ für verschiedene Lösungen $X$ und $\tilde{x}$ mit stetigen Pfaden. Es ist \begin{align*}X(t)-\tilde X(t)&=x_0-\tilde x_0+\int_0^tb(X,s)-b(\tilde X, s)\d s+ \int_0^t\sigma(X,s)-\sigma(\tilde X, s)\d s\\
\Longrightarrow \quad & \E|X(t)-\tilde X(t)|^2\leq 3\E|x_0-\tilde x_0|^2 + \\
& +3\E\left|\int_0^tb(X,s)-b(\tilde X, s)\d s\right|^2+\\
& +3\E\left| \int_0^t\sigma(X,s)-\sigma(\tilde X, s)\d \beta(s)\right|^2 \leq \cdots \\
\intertext{mit ~ C.-S.,~ It$\mathrm{\bar o}$-Iso.}
\cdots &\leq3\E|x_0-\tilde x_0|^2+\\
& + 3T\int_0^t\E\left|b(X,s)-b(\tilde X,s)\right|^2\d s+\\
& + 3\int_0^t\E\left|\sigma(X,s)-\sigma(\tilde X,s)\right|^2\d s\leq \cdots\\
\intertext{mit der Lipschitzbedingung}\cdots &\leq3\E\left|x_0-\tilde x_0\right|^2 + 3L^2(T+1)\int_0^t\E\left|X(s)-\tilde X(s)\right|^2\d s \leq \cdots\\
\intertext{Das Gronwall-Lemma: {\Large\textbf{Diesen Abschnitt hier möchte ich "`ausklammern"'}} } &  \Phi\in\mathcal C^1[0,T], ~\Phi \geq 0, ~c\geq 0\\
&\Phi(t)\leq\Phi_0 + c\int_0^t\Phi(s)\d s ~~\forall t\in [0, T]\\
\Rightarrow\quad &\Phi(t)\leq \Phi_0e^{ct}~~\forall t\in[0,T]\\
\intertext{Sei $\Phi(t) = \E|X(t)-\tilde X(t)|^2$, dann folgt mit Gronwall:}
\Rightarrow\quad  & \E|X(t)-\tilde X(t)|^2 \leq \E|x_0-\tilde x_0|^2e^{3L^2(T+1)t} = 0, \text{ falls $x_0 = \tilde x_0$}\\
\Rightarrow\quad & \mathbb P(X(t)=\tilde X(t))=1~~\forall t\in[0,T]\\
\Rightarrow\quad & \mathbb P(X(t)=\tilde X(t)~~\forall t\in[0,T]\cap \mathbb Q) = 1\\
\stackrel{x, \tilde x \text{ stetige Pfade}}{\Longrightarrow}\quad & \mathbb P(X(t)=\tilde X(t)~~\forall t\in[0,T]) = 1\end{align*}
\end{proof}
\end{document}
Stefan_K Auf diesen Beitrag antworten »
RE: shaded-Umgebung in align-Umgebung einbauen
Hallo Duedi,

vielleicht schau Dir einmal das empheq-Paket an.

Viele Grüße,

Stefan
 
 
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ich versuchs mal!
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