gefährliche Flugzeugbegegnungen; minimialer Abstand in Abhängigkeit von der Zeit

11.03.2010, 17:39

Ju*

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gefährliche Flugzeugbegegnungen; minimialer Abstand in Abhängigkeit von der Zeit

Meine Frage:
Ich habe von 2 Flugzeugen jeweils 2 Punkte gegeben. Die Geschwindigkeit der beiden Flugzeuge ist unterschiedlich und meine Aufgabe ist es, den minimales Abstand der Flugzeuge zu berechnen, jedoch in Abhängigkeit von der Zeit.
Mein Problem ist jedoch, dass ich keine Ahnung hab wie ich das machen soll.

Meine Ideen:
Ich hätte zuerst auf den beiden Flugbahnen jeweils einen beliebigen Punkt bestimmt, leider hab ich jedoch schon damit ein Problem Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Ich muss also auf jeden Fall einen Punkt auf der einen Bahn bestimmen und irgendwie eine Abhängigkeit von der anderen Bahn finden.. nur wie?!

11.03.2010, 18:52

Elvis

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Das kann man mit Vektorrechnung versuchen.
Zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} \lambda =0 \end{eqnarray*}$ ist das Flugzeug 1 bzw. 2 am Punkt mit dem Ortsvektor $\begin{eqnarray*} t_{01},t_{02} \end{eqnarray*}$ .
Zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} \lambda =1 \end{eqnarray*}$ ist das Flugzeug 1 bzw. 2 am Punkt mit dem Ortsvektor $\begin{eqnarray*} t_{11},t_{12} \end{eqnarray*}$ .
Zu einem beliebigen Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} \lambda >0 \end{eqnarray*}$ ist Flugzeug 1 bzw. 2 am Punkt $\begin{eqnarray*} P=\lambda (t_{11}-t_{01}), Q=\lambda (t_{12}-t_{02}) \end{eqnarray*}$
Der Abstand ist also $\begin{eqnarray*} ||P-Q||=||\lambda (t_{11}-t_{01})-\lambda (t_{12}-t_{02})||=\lambda ||(t_{11}-t_{01})- (t_{12}-t_{02})|| \end{eqnarray*}$ .
Diese Funktion von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ minimieren (Ableitung = 0 setzen) sollte den kleinstmöglichen Abstand ergeben.

11.03.2010, 18:56

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Zitat:

Original von Elvis
Zu einem beliebigen Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} \lambda >0 \end{eqnarray*}$ ist Flugzeug 1 bzw. 2 am Punkt $\begin{eqnarray*} P=\lambda (t_{11}-t_{01}), Q=\lambda (t_{12}-t_{02}) \end{eqnarray*}$

Da fehlt offenbar was:

$\begin{eqnarray*} P=\lambda (t_{11}-t_{01})+t_{01}, Q=\lambda (t_{12}-t_{02})+t_{02} \end{eqnarray*}$

P.S.: Echte Physiker dürften bei deinen Bezeichnungen einen Infarkt kriegen: $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ für die Zeit, $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ für den Ort... Big Laugh

Big Laugh

11.03.2010, 19:10

Ju*

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mir erscheint das vollkommen logisch.
leider schaff ichs trotzdem nicht..

hier mal die Angaben:
Um 9:06 Uhr hebt Flugzeug 1 im Punkt A(0;-16;0) ab und befindet sich vier Minuten später (9:10 Uhr) um Punkt B(0;0;2).
Flugzeug 2 befindet sich um 9:09 Uhr im Punkt C(12;0;4) und um 9:11 im Punkt D(6;8;4).
(Angaben in km, zur Vereinfachung: konstante Geschwindigkeit)

Wäre jemand so nett, mir nur den Lösungsansatz anzugeben?
Ich steh grad ziemlich aufm Schlauch :/

11.03.2010, 19:17

Elvis

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@ Arthur Dent
Danke für die Korrektur. Das habe ich bestimmt so gemeint, jedenfalls passt meine Skizze genau zu dem, was du schreibst.
@Ju*
Bitte setze die richtigen Punkte P und Q in die zu minimierende Funktion ein, dann hast du deinen Ansatz.
@ Arthur Dent
Mathematiker sind in der Lage, physikalische Variablen variabel zu benennen. Da sind wir den Physikern überlegen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.03.2010, 19:21

riwe

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Zitat:

Original von Elvis
Mathematiker sind in der Lage, physikalische Variablen variabel zu benennen. Da sind wir den Physikern überlegen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

flexibilität hat ihre grenzen:

$\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ bleibt $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

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11.03.2010, 19:22

Ju*

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damit ichs richtig mach..

flugzeug 1: x= (0;-16;0) + t(0;16;2)
Flugzeug 2: x= (12;0;4) + t(-6;8;0)

und jetzt einfach für t zb 2 einsetzten?

daraus ergeben sich dann die Punkte P und Q?

aber wie komme ich dann auf den minimalen Abstand, so erhalte ich ja nur den Abstand zum Zeitpunkt 2.

In Analysis wär mir auch klar, dass ich die 1. Ableitung gleich 0 setzen muss, aber wie sieht denn eine Ableitung in Geo aus?

11.03.2010, 19:32

Elvis

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P und Q sind die Punkte, die du für beide Flugzeuge x genannt hast. Die Physiker werden sich freuen, daß du t für die Zeit verwendest, das hast du auch gut gemacht.
Ein kleiner Fehler ist in deinem Ansatz, weil diese Punkte zu unterschiedlichen Zeiten erreicht werden. Du brauchst einen in der Zeit gemeinsamen Anfangspunkt (t=0) und einen gemeinsamen Endpunkt (t=1)
Der Abstand zwischen P und Q ist der "Euklidische Abstand" (sowas wie : Wurzel aus x^2+y^2+z^2).

11.03.2010, 19:35

Elvis

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@riwe
$\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ kann man auch "pi" nennen, sollte man nur nicht mit "phi" verwechseln. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.03.2010, 19:58

riwe

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Zitat:

Original von Elvis
@riwe
$\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ kann man auch "pi" nennen

das kommt davon, wenn man des griechischen nicht mächtig ist unglücklich

unglücklich

11.03.2010, 20:20

Ju*

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Ich komm jetzt auf diese Geraden:

x=(0; -4; ,5) + t(0;4;0,5)
x=(12; 0; 4) + t(-3;4;0)

jetzt nehm ich für t einfach mal 2
dann erhalte ich die beiden Punkte
und davon dann nur noch den Abstand berechnen?

ich komm dann aber auf ein falsches Ergebnis.. es sollte 4,004 rauskommen
ich komm aber auf 7,37
irgendwas hab ich da falsch
nur was? unglücklich

unglücklich

11.03.2010, 20:40

AD

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Zitat:

Original von Ju*
jetzt nehm ich für t einfach mal 2

Kannst du natürlich machen, aber mit dieser Ratemethode wirst du nicht auf das Minimum kommen.

Zitat:

Original von Ju*
es sollte 4,004 rauskommen
ich komm aber auf 7,37

Weder noch - zur Kontrolle, wenn du den oben von Elvis skizzierten Weg nimmst: Die richtige Minimaldistanz ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{673}{37}} \approx 4.26 \end{eqnarray*}$ .

11.03.2010, 23:37

Ju*

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also das ist eine Teilaufgabe meines Fachreferats..
und mein Lehrer hat ja die Lösung und er hat gemeint, dass die Lösung 4,004 ist und er das nachgerechnet hat..
ich bin durch eine andere (umständlichere) Berechnung auf ein ähnliches Ergebnis wie du gekommen, aber das is nicht das richtige..

11.03.2010, 23:41

AD

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Tja, in dem Fall hast du dich bei deinen Vektoren oben verschrieben. Für die beiden Flugrouten

Zitat:

Original von Ju*
x=(0; -4; ,5) + t(0;4;0,5)
x=(12; 0; 4) + t(-3;4;0)

ist 4,004 als minimale Entfernung jedenfalls falsch.

11.03.2010, 23:45

Ju*

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ja da hab ich mich wohl wirklich verschrieben, seh ich gerade

der startpunkt bei der ersten ist (0; -4; 1,5)

11.03.2010, 23:52

AD

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Weitere Schreibfehler? Es kommt immer noch nicht hin. unglücklich

unglücklich

11.03.2010, 23:59

Ju*

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Also nach dem einen Zwischenergebnis des ich habe und auf des ich nach meiner Rechnung dann auch endlich mal gekommen bin, ist kein Fehler mehr drin...

außer mir wurde ein falsches Zwischenergebnis gegeben und ich hab einfach so lange irgendein sinnloses Zeug gerechnet, bis ich auch draufgekommen bin..

des bringt mich zum verweifeln.

12.03.2010, 00:05

AD

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Wenn du wie bei 4.004 drei Nachkommastellen angibst, wenn tatsächlich $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{601}{37}} \approx 4.030 \end{eqnarray*}$ herauskommt, dann rechnest du einfach viel zu ungenau. unglücklich

unglücklich

12.03.2010, 00:10

Ju*

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also alles was ich bis jetzt angegeben hab, hab ich von meim Lehrer als Zwischenergebnis bekommen, weil ich zuvor schon meine Probleme mit der Aufgabe hatte.

Ansich wär das ja kein Problem, nur die Abhängigkeit von der Geschwindigkeit macht mir meine Probleme..

Bist du jetzt auf die 4,03 gekommen?

12.03.2010, 00:14

AD

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Jetzt lass doch dieses Geschleiche um den heißen Brei und präsentiere deine Rechnung, dann geht's hier weiter.

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