Mengen; Beweis

12.03.2010, 11:27

hut

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Mengen; Beweis

Hallo,

bitte verzeiht diese triviale Frage, allerdings weiß ich nicht genau, wie ich bei folgender Aufgabe vorgehen soll:

Zitat:

Beweise die folgenden Aussagen über Mengen:
a) $\begin{eqnarray*} M \cup M=M ;M \cap M=M \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} M \subset N \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} M \cup N=N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M \cap N=M \end{eqnarray*}$

Zu a): Reicht das, wenn ich schreibe, $\begin{eqnarray*} M=M \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} M \cup M=M ;M \cap M=M \end{eqnarray*}$ .
Das ist doch irgendwie offensichtlich?

Zu b): $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} x\in N \end{eqnarray*}$ .
Oder sollte ich noch ein $\begin{eqnarray*} y\in N \end{eqnarray*}$ einfügen und schreiben: $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ (äquivalent)?

Wäre nett, wenn jemand kurz drüberschauen und mir einen Tipp geben könnte. smile

smile

Liebe Grüße

12.03.2010, 11:31

Airblader

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Also bei der a) schießt du doch um einiges zu schnell.
Die Gleichheit von Mengen zeigt man klassisch gut dadurch, dass beide Seiten Teilmengen voneinander sind.

Zeige also, dass z.B. ein beliebiges Element von M u M in M liegt, und dass ebenso ein beliebiges Element von M auch in M u M liegt. Dann sind beide Mengen gleich. Man zeigt dies natürlich durch die Definition der Vereinigung.
Ebenso für den Durchschnitt.

Es geht aber auch schneller, indem du die Definition für Vereinigung/Durchschnitt nimmst und einfach äquivalent umformst. Tatsächlich würde ich das hier sogar eher so machen. Durch das Einsetzen der Definition der Mengen reduziert es sich nämlich auf ganz wenig Aussagenlogik.

Zur b)

Ich kann dir nicht einmal folgen, was du da machst.
Du kannst hier wie oben vorgehen. Setze voraus, dass M eine Teilmenge von N ist (d.h., wie du sagst, aus x € M folgt x € N). Zeige dann die Gleichheit von M u N und N, indem du zeigst, dass beide Mengen Teilmengen voneinander sind.

air

12.03.2010, 13:09

hut

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Danke schonmal für die schnelle Antwort. smile

smile

Vielleicht so:
$\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\in M \end{eqnarray*}$ dann x~y => $\begin{eqnarray*} M \cup M=M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M \cap M=M \end{eqnarray*}$ ?

12.03.2010, 13:58

Airblader

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Was soll denn x ~ y bedeuten? Von welcher Relation sprichst du?

air

12.03.2010, 19:24

hut

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Von der Äquivalenz. So stand's jedenfalls auch in dem Buch, aus dem ich die Aufgabe habe.

12.03.2010, 20:26

hut

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Und zu b):
für $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \in N \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} x\in N \end{eqnarray*}$ ...hm, und dann? verwirrt

verwirrt

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12.03.2010, 20:47

Airblader

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Zitat:

Original von hut
Von der Äquivalenz. So stand's jedenfalls auch in dem Buch, aus dem ich die Aufgabe habe.

verwirrt

x und y sind also äquivalent bezüglich der Äquivalenz? Tut mir leid, so ganz überzeugen kann mich das noch nicht. Besser ausgedrückt: Es ergibt keinen Sinn.
Und darum zweifle ich auch im höchsten Maße an, dass es in deinem Buch so steht, wie du es hier präsentierst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Fang' für die a) einfach mal an, wie ich es dir vorgeschlagen habe.
Wir haben eine Menge M. Wie lautet die Definition für den Durchschnitt zweier Mengen A und B denn (also allgemein)?

In diese Definition setzst du einfach A=B=M.

air

12.03.2010, 21:04

hut

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Zitat:

Und darum zweifle ich auch im höchsten Maße an, dass es in deinem Buch so steht, wie du es hier präsentierst. Augenzwinkern

Ach, ich dachte die Frage bezog sich auf

code:
1:	~

. Das, was ich fabriziert habe, war selbstverständlich nicht so in dem Buch vorzufinden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also der Durchschnitt besteht aus jenen Elementen, die sowohl in A als auch in B liegen.

Zitat:

In diese Definition setzst du einfach A=B=M.

Ähm, $\begin{eqnarray*} M=A\cap B \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} M \subset A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M \subset B \end{eqnarray*}$ ?

12.03.2010, 21:29

Airblader

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Nein, ich meine eine formale Definition. Mit Worten kommst du nicht weit, du musst schon formal werden.

$\begin{eqnarray*} A \cap B = \{ \ldots \text{ ? } \ldots\} \end{eqnarray*}$

Und was dann mit den Teilmengen unten kommt ist mir unklar. Einfach ein 'M' anstatt jeweils 'A' oder 'B' zu schreiben dürfte ja wohl nicht zuviel verlangt sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

12.03.2010, 21:35

hut

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$\begin{eqnarray*} A \cap B = \{ x \in A\wedge x \in B \} \end{eqnarray*}$

12.03.2010, 21:46

Airblader

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Naja, fast.

$\begin{eqnarray*} A \cap B = \{x ~|~ x \in A \wedge x \in B\} \end{eqnarray*}$

Und jetzt bilde mit dieser Definition mal $\begin{eqnarray*} M \cap M \end{eqnarray*}$ . Welche Aussage erhälst du dann in der Mengendefinition, wie kannst du diese vereinfachen und was beschreibt die Menge dann?

air

13.03.2010, 18:53

hut

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$\begin{eqnarray*} M \cap M=\{x~|~ x \in M \wedge x \in M\} \end{eqnarray*}$

Ohje, dann vielleicht:
$\begin{eqnarray*} M \subset M \end{eqnarray*}$ und umgekehrt, also $\begin{eqnarray*} M=M \end{eqnarray*}$ ?

13.03.2010, 18:57

Airblader

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Zitat:

Original von hut
$\begin{eqnarray*} M \cap M=\{x~|~ x \in M \wedge x \in M\} \end{eqnarray*}$

Richtig.
Was danach kommt kann ich wieder leider nicht verstehen. Magst du bei solchen Dingen vielleicht dazuschreiben, ob sowas eine Feststellung, Folgerung, Vermutung, ... ist? Ein paar Worte schaden nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du hast nun in obiger Menge eine logische Aussage, die dort zweimal steht, mit einem "und" verknüpft. Wie lässt sich die Aussage logisch vereinfachen?

Falls es noch nicht fruchtet, ein Beispiel:
"Der Hund ist blau und der Hund ist blau" lässt sich auch in eine Aussage fassen.

air

13.03.2010, 19:08

hut

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'tschuldigung, das:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} M \subset M \end{eqnarray*}$ und umgekehrt, also $\begin{eqnarray*} M=M \end{eqnarray*}$ ?

sollte eine Vermutung für die Vereinfachung sein. Nämlich dass aus $\begin{eqnarray*} M\cap M=... \end{eqnarray*}$ folgt, dass M eine Teilmenge von M ist und umgekehrt M eine Teilmenge von M, also M=M. Was wahrscheinlich falsch ist.^^

Zitat:

Falls es noch nicht fruchtet, ein Beispiel:
"Der Hund ist blau und der Hund ist blau" lässt sich auch in eine Aussage fassen.

Also $\begin{eqnarray*} M\cap M= \{x~|~x \in M\}=M \end{eqnarray*}$ ?

13.03.2010, 19:11

Airblader

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Zitat:

Original von hut
Nämlich dass aus $\begin{eqnarray*} M\cap M=... \end{eqnarray*}$ folgt, dass M eine Teilmenge von M ist und umgekehrt

Jede Menge ist Teilmenge von sich selber. Und aus einem Term folgt nichts, denn ein Term ist keine Aussage! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Also $\begin{eqnarray*} M\cap M= \{x~|~x \in M\}=M \end{eqnarray*}$ ?

Korrekt

Freude

Für die Vereinigung funktioniert das 1:1 analog.

Spannend wird nun die zweite Aufgabe, denn hier musst du wirklich damit arbeiten, dass zwei Mengen genau dann gleich sind, wenn sie beide Teilmenge voneinander sind.

Du willst also zeigen $\begin{eqnarray*} M \cup N = N \end{eqnarray*}$ , wenn M eine Teilmenge von N ist. Starte jetzt damit, dass du ein Element aus der linken Menge hast und zeige, dass es auch in N liegen muss.

air

13.03.2010, 19:32

hut

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Okay, danke dir schonmal für die Geduld, die du hier aufbringst. smile

smile

Das Beweisen ist wahrscheinlich zu hoch für mich...^^

Also:
$\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ , aus $\begin{eqnarray*} M \subset N \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x \in N \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} M \cap N=\{x~|~x \in M \vee x\in N\}=\{x~|~x\in N\}=N \end{eqnarray*}$ ?

13.03.2010, 19:38

Airblader

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Du meinst sicher die Vereinigung, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gehen wir mal davon aus.

Es wird hier etwas wirr. Du formst zwar irgendwie um, um das Richtige zu erhalten, aber eine Begründung steht nirgends.
Fang' so an:

Sei $\begin{eqnarray*} y \in M \cup N \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} y \in M ~\vee~ y \in N \end{eqnarray*}$ .
Angenommen, es ist $\begin{eqnarray*} y \in N \end{eqnarray*}$ der Fall, dann entspricht das genau dem, was wir zeigen wollen.
Angenommen, es ist aber $\begin{eqnarray*} y \in M \end{eqnarray*}$ , dann folgt ... (das hattest du nun ja eigentlich schon irgendwie) ?

air

13.03.2010, 19:47

hut

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Ja, entschuldige, ich meinte natürlich die Vereinigung.^^
Also könnte der Beweis so aussehen:

Zitat:

Original von Airblader
Sei $\begin{eqnarray*} y \in M \cup N \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} y \in M ~\vee~ y \in N \end{eqnarray*}$ .
Angenommen, es ist $\begin{eqnarray*} y \in N \end{eqnarray*}$ der Fall, dann entspricht das genau dem, was wir zeigen wollen.
Angenommen, es ist aber $\begin{eqnarray*} y \in M \end{eqnarray*}$ , dann folgt ...

aus $\begin{eqnarray*} M \subset N \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y \in N \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} M \cup N=\{y~|~y \in M \vee x\in N\}=\{y~|~y\in N\}=N \end{eqnarray*}$ ?

13.03.2010, 19:49

Airblader

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Die Folgerung, die du vervollständigst, stimmt.
Aber aufpassen, was du zeigst!

Was wir nun gezeigt haben ist $\begin{eqnarray*} (M \cup N) \subseteq N \end{eqnarray*}$ . Jetzt zeige noch die Inklusion in die andere Richtung. Das Vorgehen ist analog: Nimm' an, y ist ein Element von N, dann folgt ...
keine Angst, diese Folgerung ist wirklich einfach. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

13.03.2010, 20:06

hut

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Das auch noch. Big Laugh

Big Laugh

Mathematiker sind ja wirklich penibel...^^

Angenommen $\begin{eqnarray*} x \in N \end{eqnarray*}$ ,dann folgt aus $\begin{eqnarray*} M \subset N \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N= \{x~|~x \in M \wedge x\in N\}=M\cup N \end{eqnarray*}$ .

Also ich finde es immer noch verwirrender als einfach.^^

13.03.2010, 20:09

Airblader

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Aus $\begin{eqnarray*} x \in N \end{eqnarray*}$ folgt leider nicht $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ . N ist ja die Obermenge. Was in N liegt, muss nicht in M liegen.

Du brauchst die Voraussetzung hier aber auch gar nicht. Die Vereinigung enthält doch alles, was in einer der beiden Mengen liegt. Du nimmst an, x liegt in N. Dann liegt es ja erst recht in der Vereinigung mit irgendeiner anderen Menge. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Formuliere das jetzt mal ordentlich (mathematisch).

air
P.S.: Darf ich fragen, woher die Aufgaben kommen bzw. wozu du sie machst?

13.03.2010, 20:23

hut

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Oh, und noch ein Versuch Big Laugh

Big Laugh

Angenommen $\begin{eqnarray*} x\in N \end{eqnarray*}$ , dann folgt $\begin{eqnarray*} x \in ( N \cup M) \end{eqnarray*}$ (aargh, darf man das überhaupt so schreiben?) und aus $\begin{eqnarray*} M \subset N \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} N=(N \cup M) \end{eqnarray*}$ ?

[Irgendwas sagt mir, dass jetzt wieder etwas nicht stimmt.^^]

Die Aufgaben stammen aus diesem Buch, das ich aus Spaß lese (und um mir einige notwendige Kenntnisse anzueignen, um auch besser mit der Physik umgehen zu können^^). Nur leider scheinen manche Aufgaben daraus zu hoch für mich zu sein (und das Buch besteht aus einem großen Teil aus Aufgaben Big Laugh

Big Laugh

). Hauptsächlich die Beweise, da ich nie weiß, wann ich etwas als selbstverständlich annehmen darf und wann nicht.

13.03.2010, 20:27

Airblader

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Zitat:

Original von hut
Angenommen $\begin{eqnarray*} x\in N \end{eqnarray*}$ , dann folgt $\begin{eqnarray*} x \in ( N \cup M) \end{eqnarray*}$ (aargh, darf man das überhaupt so schreiben?)

Ja, darf man. Und ja, korrekt. Und diese Folgerung bedeutet $\begin{eqnarray*} N \subseteq (M \cup N) \end{eqnarray*}$ - und das ist alles, was du noch zeigen musstest.

Aus $\begin{eqnarray*} N \subseteq (M \cup N) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (M \cup N) \subseteq N \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} N = M \cup N \end{eqnarray*}$ .

Was danach kommt kehre ich einfach mal unter den Teppich. Überlege dir selber, warum du es geschrieben hast und warum es sinnlos war. Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Nur leider scheinen einige Aufgaben daraus zu hoch für mich zu sein (und das Buch besteht aus einem großen Teil aus Aufgaben Big Laugh

Big Laugh

).

Die schlechte Nachricht: Das hier sind wirklich banale, triviale Beweise ohne großen Anspruch.

Die gute Nachricht: Beweisen lernt man durch Üben, in einiger Zeit wirst du diesen Thread lesen und lächeln. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

13.03.2010, 20:41

hut

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Aah, das leuchtet ein.
Tausend Dank!!
Mir war nämlich durchaus die ganze Zeit bewusst, dass die Aufgabe hier äußerst trivial ist. Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Die gute Nachricht: Beweisen lernt man durch Üben, in einiger Zeit wirst du diesen Thread lesen und lächeln.

Hm, fragt sich nur, wie lange ich wohl dafür brauche.^^

Liebe Grüße und nochmals danke! smile

smile

13.03.2010, 20:44

Airblader

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Du bist hartnäckig. Das kommt dann irgendwann schneller, als du denkst. Du musst dich erstmal in ein paar grundlegende Prinzipien einleben und dann sieht alles ganz anders aus! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Viel Spaß noch

air
P.S.: Du hast bei der 2) noch eine Aufgabe übrig. Sie ist recht ähnlich wie die mit der Vereinigung, aber nicht genau gleich. Wenn du magst, können wir sie hier noch machen, fang einfach mal an. Wie gesagt, an und für sich ist sie sehr ähnlich.

13.03.2010, 21:05

hut

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Okay.

Big Laugh

Sei $\begin{eqnarray*} x\in M \cap N \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ , so $\begin{eqnarray*} M \cap N=\{x~|~x \in M \wedge x\in N\} \end{eqnarray*}$ .

Aus $\begin{eqnarray*} M \subset N \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} M \cap N=\{x~|~x\in M \wedge x \in M\}=M \end{eqnarray*}$ ?

13.03.2010, 21:10

Airblader

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Zitat:

Original von hut
Okay. Big Laugh

Big Laugh

Sei $\begin{eqnarray*} x\in M \cap N \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$

Nicht "und". Das zweite folgt unmittelbar aus der ersten Forderung, wenn du betrachtest, was der Durchschnitt ist.
Und damit hast du auch schon $\begin{eqnarray*} (M \cap N) \subseteq M \end{eqnarray*}$ gezeigt.

Wieso kommt danach nun wieder der selbe Mist wie am Anfang?
Inzwischen weißt du doch, es beginnt immer mit einem "Sei x € ..." Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du musst noch zeigen $\begin{eqnarray*} M \subseteq (M \cap N) \end{eqnarray*}$ . Go. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

13.03.2010, 21:22

hut

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Oh Gott, ich verstehe schon gar nicht mehr, wie du da noch solch eine Geduld aufbringen kannst. Big Laugh

Big Laugh

So (jetzt bloß nichts falsches machen^^);
sei $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ , dann folgt $\begin{eqnarray*} x \in M \cap N \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} M \subseteq (M \cap N) \end{eqnarray*}$

13.03.2010, 21:23

Airblader

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Zitat:

Original von hut
sei $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ , dann folgt $\begin{eqnarray*} x \in M \cap N \end{eqnarray*}$

Warum folgt das?
Wenn du den Schritt noch begründest, dann stimmt es Freude

Freude

Am Ende natürlich nicht vergessen, zu erwähnen, dass aus den beiden Inklusionen die Mengengleichheit folgt (sowas gehört dazu!).

air

13.03.2010, 21:33

hut

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Zitat:

Warum folgt das?

Da $\begin{eqnarray*} M \subset N \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Am Ende natürlich nicht vergessen, zu erwähnen, dass aus den beiden Inklusionen die Mengengleichheit folgt (sowas gehört dazu!).

Das nächste Mal denk ich dran. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.03.2010, 21:35

Airblader

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Stimmt alles Freude

Freude

air

13.03.2010, 21:39

hut

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Oh, danke. Mit Zunge

Mit Zunge

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