matrixnorm

13.03.2010, 00:19	rza	Auf diesen Beitrag antworten »
matrixnorm also ich habe folgendes problem und wollte wissen ob meine lösung stimmt ... wär dankbar wenn jemand mal über die argumentation drüberschaun könnt also gegeben sind zwei matrizen $\begin{eqnarray} A\in {\mathbb C}^{mn} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \in {\mathbb C}^{rs} \end{eqnarray}$ wobei B eine Teilmatrix von A ist die eben aus r zeilen von A und s spalten von A bestetht ... naja und nun soll ich beweisen dass für ein p mit $\begin{eqnarray} 1\leq p \leq \infty \end{eqnarray}$ für eben die p matrixnorm gilt $\begin{eqnarray} \|\|B\|\|_p\leq \|\|A\|\|_p \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} {\|\|B\|\|_p}^p = max \left\{\sum_{i=1}^r\|\sum_{j=1}^s a_{ij}x_j\|^p \;\;\; \|\;\;\;\|\|x\|\|_p=1\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq max \left\{\sum_{i=1}^r\|\sum_{j=1}^s a_{ij}x_j + \sum_{j=s+1}^n a_{ij}x_j\|^p +\sum_{i=r+1}^m\|\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j\| \;\;\; \|\;\;\;\|\|x\|\|_p=1\right\} \end{eqnarray}$ naja den letzten schritt habe ich nun so begründet dass $\begin{eqnarray} \forall j \in \left\{s+1,...,n\right\} \end{eqnarray}$ setze $\begin{eqnarray} sign(x_j)=sign(a_{ij}) \end{eqnarray}$ und der rest folgt ja dann weil man zu dem term davor ja nur was postives dazupackt danke fürs anschaun und korrieger
13.03.2010, 12:31	rza	Auf diesen Beitrag antworten »
hoppla da oben fehlt noch ein hoch p... hätte jemand ne idee ob des stimmt
14.03.2010, 01:14	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Lass das pushen. Wenn jemand antworten will, wird er das schon machen. 2. Was genau soll gezeigt werden? Dass für alle p mit $\begin{eqnarray} 1\leq p \leq \infty \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \|\|B\|\|_p\leq \|\|A\|\|_p \end{eqnarray}$ , oder dass es ein solches p gibt? 3. Wie sind die Normen definiert? Sollen die durch die Vektornormen $\begin{eqnarray} \ \\|x\\|_p := \left(\sum_{i=1}^n \|x_i\|^p\right)^{1/p} \end{eqnarray}$ induziert sein?
14.03.2010, 01:20	rza	Auf diesen Beitrag antworten »
tschuldigung fürs pushen jo es soll gezeigt werden dass für ein p mit $\begin{eqnarray} 1\leq p\leq \infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\|B\|\|_{p}\leq \|\|A\|\|_{p} \end{eqnarray}$ gilt und jo $\begin{eqnarray} \\|x\\|_p:=\left(\sum_{i=1}^n \|x_i\|^p\right)^{1/p} \end{eqnarray}$ die sollen durch die vektornormen induziert sein
14.03.2010, 01:27	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Das beantwortet meine Rückfrage nach p beliebig (also alle) oder bestimmtes p nicht. Was passiert, wenn du p=1 wählst?
14.03.2010, 01:48	rza	Auf diesen Beitrag antworten »
naja bei p=1 bekäme man dann auf beiden seiten die spaletensummennorm der matrix B und A ... also dass p soll beliebig gewählt werden können $\begin{eqnarray} 1\leqp\leq\infty \end{eqnarray}$ also für jegliches p ... für p =2 dann halt die spektralnorm etc ...
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14.03.2010, 02:05	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Für alle. I.A. weißt du dann nur $\begin{eqnarray} \\|A\\|_p = \max_{\\|x\\|_p=1} \\|Ax\\|_p \end{eqnarray}$ Die Matrix B können wir mit Nullen aufblähen, dass sie die gleichen Abmessungen wie A hat. Dadurch ändert sich der "Wert der Norm" nicht. $\begin{eqnarray} \max_{\\|x_b\\|_p=1} \\|Bx_b\\|_p = \\|B\\|_p = \\|B_0\\|_p =\max_{\\|x\\|_p=1} \\|B_0x\\|_p \end{eqnarray}$ Sei x nun ein Vektor, für den dieses Maximum angenommen wird. Insbesondere können wir dann annehmen, dass gewisse Einträge von x gleich 0 sind (Wir blähen auch den Vektor $\begin{eqnarray} x_b \end{eqnarray}$ auf.) Was kann man dann über $\begin{eqnarray} \\|Ax\\|_p \end{eqnarray}$ sagen? Es wird (wegen den Nullen in x) auch nur über die Spalten summiert, die auch in B auftauchen. B muss nun aber nicht die Komplette Spalte von A enthaten, wodurch der Vektor $\begin{eqnarray} Ax \end{eqnarray}$ mehr von Null verschiedene Einträge besitzen kann, als der Vektor $\begin{eqnarray} B_0x \end{eqnarray}$ . Nun fallen die Vektoreinträge aber betragsmäßig ins Gewicht, wonach dann für unser x gilt $\begin{eqnarray} \\|B_0x\\|_p \leq \\|Ax\\|_p \end{eqnarray}$ Die endgültige Abschätzung sollte auch sofort folgen, da unser x ja bzgl. A nicht optimal gewählt sein muss. In jedem Fall kommt aber höchstens noch was größeres raus. So würde ich um diese Uhrzeit argumentieren.
14.03.2010, 10:34	rza	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke vielmals =)=)=)

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