Funktion aus Erfahrungswerten

15.03.2010, 11:45	Paul2435435	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion aus Erfahrungswerten Meine Frage: Hallo liebe Forumsgemeinde, ich habe folgendes Problem: aus einer Reihe von Erfahrungswerten soll eine kostenfunktion erstellt werden. gegeben sind ca. 10 werte (Menge (xi) = Kosten (yi). Die funktion verläuft regressiv und es habndelt sich um keine Gerade. Nun meine Frage, welches Verfahren verwendet man hier am Besten? lineare regression? Über einen Ansatz wäre ich euch ausserordentlich dankbar! Gruß Paul Meine Ideen: lineare Regression
15.03.2010, 12:33	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Funktion nicht durch eine Gerade beschrieben werden soll, ist lineare Regression natürlich fehl am Platz. Wir haben daher noch die Möglichkeit, die Regressionskurve polynomisch, exponentiell oder logarithmisch zu erstellen. Dazu verwenden wir den allgemeineren Begriff "Regressionsanalyse". Erstelle mit den 10 Wertepaaren aus der Messung einmal eine Tabelle und dazu ein Diagramm. Aus dem Verlauf ersiehst du dann schnell, welche Kurvenform sich am Besten eignet. Kostenfunktionen werden erfolgreich mittels polynomischer Regression angenähert. Meist genügen da schon Polynome 3. oder 4. Grades. Kannst du mal diese Messwerte angeben? Das Verfahren der Regressionsanalyse wurde hier im Forum auch schon beschrieben polynomiale Regression Regressionsanalyse mit dazugehöriger Geradenrechnung Die dort berechnete lineare Regression kann man ohne Weiteres auch auf Polynome höherer Ordnung umsetzen. Varianz bei linearer Regression Eine Gleichung bestimmen Welche Hilfsmittel stehen dir zur Verfügung? Falls du Excel verwenden darfst/kannst, eignet sich dieses hervorragend, um Trendanalysen durchzuführen. Du musst aber unbedingt zuvor den mathematischen Hintergrund verstanden haben. mY+
15.03.2010, 13:37	Paul2435435	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für deine Antwort mythos! Zunächst eimal sind mir die möglichkeiten in Excel durchaus bekannt. Das Problem ist, dass man hier nur Kurven für Polynome bis zum 6 Grad annähern kann, ich aber voraussichtlich mehr Messwerte habe. x=230 145 102,7 73,6 52,46 36,76 24,82 23,10 23 23 y=30 50 100 200 300 400 500 600 700 800 Mit diesen Werten habe ich mir im Diagramm alle trendlinien anzeigen lassen, wobei die Polynomische zwar ein R² von 1 hat, jedoch nicht der wirklichkeit entspricht (steigt am Ende wieder an). Die logarithmische Kurve sah meiner meinung nach am besten aus, wobei ich hier den hintergrund leider nicht verstehe (mathe etwas eingerostet). So nun meine Frage, welche art der Kurve bringt das genauste Ergebnis bzw ist für das Problem am besten geeignet? Gibt es noch bessere methoden? gruß Paul
15.03.2010, 14:25	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Anzahl der Messwerte bestimmt nicht notwendigerweise den Grad des Polynoms. Ausserdem muss die Regressionskurve nur in einem bestimmten (für die Kostenkurve relevanten) Intervall (Definitionsbereich) zutreffen. Für eine Kostenkurve erscheinen mir die Messwerte unrealistisch. Es ist sehr wahrscheinlich, dass du in den Reihen x und y vertauscht hast. Denn Stückzahlen sind immer ganzzahlig und diese sind nun mal die x-Werte in einer Kostenfunktion. Nach dem Umkehren der Werte sieht man jedoch, dass diese Kurve im ersten Blick (noch) nicht einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion entspricht. Welche Eigenschaften sollte diese haben? Durch diese wird der Typ der Regressionskurve bestimmt. Ab dem Grad 3 kann es theoretisch einen Wendepunkt (und somit eine Kostenkehre) geben und die Kurve läuft auch nirgends hinaus, wie du behauptet hast. Bereits mit dem Grad 3 wird ein Bestimmtheitsmaß von 0,996 erreicht. Kurven höherer Ordnung sind zwar noch etwas genauer, sie haben aber extrem kleine Koeffizienten in den Gliedern der höheren Potenzen. Siehe das entsprechende Thema hier im Board (ich habe dir ja auch einige Links gegeben, hast du die nicht angesehen?), du solltest dich darüber mal informieren. mY+
15.03.2010, 15:42	Paul2435435	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal! ja habe die Werte ausversehen vertauscht, sorry x->y und umgekehhrt. Es handelt sich nicht um eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion; eigentlich sollen damit nur Skaleneffekte dargestellt werden. Deine Links habe ich mir angeschaut, kann darin aber leider noch nicht die Lösung meines Problems sehen. Ausser der beitrag mit dem Solver - kann ich damit eine genauere funktion (zb 9.Grades) bestimmen? wenn ja, wie? Die Eigenschaften sind, das die kurve stetig fallen ist (also keine kostenkehre) und für den Definitionsbereich von 0-1000 relevant ist. Es kann davon ausgegangen werden, dass die Messwerte eine hohe genauigkeit haben und demnach auch die Funktion möglichst genau sein sollte! gruß
15.03.2010, 19:53	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiss nicht, wass du immer mit den Funktionen 9. oder 10. Grades hast. Das bringt praktisch gar nichts, denn die Verbesserungen werden damit nur marginal. Um die Regressionsanalyse angenehmer rechnen zu können - extrem große und extrem kleine Zahlen sollen vermieden werden - schreibe in deiner Messreihe die Werte von xi in 100 Mengeneinheiten [0.3, 0.5, 1, 2, 3, ...], dadurch wird die Funktion wesentlich handsamer. Die Funktion $\begin{eqnarray} K(x) = 0.6350363x^3 - 3.03072888x^2 + 9.5103142x + 18.06573 \end{eqnarray}$ erfüllt dann bereits in einem hohen Maße den vorgegebenen Kurvenverlauf (KORREL = 0.997). Des Interesses halber habe ich das mal in Excel manuell (!), d.h. ohne Solver, gerechnet und die Ergebnisse erst dann mit dem Solver verglichen. Siehe Bild. Bei einem Polynom 4. Grades kommt es, wie ersichtlich, bei der Minimierung der Summe der Fehlerquadrate (partielle Ableitungen der Funktion der Summe der Differenz-Quadrate --> 0) zu einem lGS in 4 Variablen (a, b, c, d), welches es zu lösen gilt (im Arbeitsblatt markiert). [attach]13902[/attach] Du musst das natürlich mittels deiner eigenen Rechnung verifizieren; ausserdem kannst du selbstverständlich auch mit Gleichungen höheren Grades experimentieren. Bei einem Polynom 9. Grades hast du 10 Gleichungen in 10 Variablen zu erstellen. Du hast dabei das Verfahren, wie in der Excel-Mappe für 4 Variablen gezeigt, entsprechend auszuweiten. Das Problem dabei ist, dass die Summen zahlenmäßig immer größer werden. Aber an sich funktioniert dieses Verfahren immer, obwohl es für Polynome höheren Grades ziemlich rechenintensiv wird. mY+
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16.03.2010, 13:42	Paul2435435	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Dir mythos, dass sieht ja nach jede menge arbeit aus! Werde mich mit deiner Lösung ausführlich beschäftigen.. Beste Grüße, Paul

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