Orthonormalbasis / Skalarprodukt

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Orthonormalbasis / Skalarprodukt
Überprüfen Sie, dass eine Orthonormalbasis des und berechnen Sie die Koeffizienten des Vektors als Linearkombination der Basisvektoren.

Soweit erst einmal keine schwierige Aufgabe. Um zu zeigen dass die gegebene eine ONB ist habe ich die Norm der Vektoren berechnet (jeweils 1) und über die 3 Skalarprodukte von jeweils zwei Vektoren gezeigt, dass diese senkrecht zueinander stehen. Ergo liegt eine ONB vor.

Schlussendlich habe ich für den Vektor ein Gleichungssystem mit 3 Gleichnungen und 3 Unbekannten aufgestellt, um die Koeffizienten zu berechnen. Die Rechnung war nicht so schön, ich bin aber zum Ziel gekommen.

Nun steht in der Lösung aber salopp:
"Nun können wir sehr einfach den Vektor als Linearkombination der schreiben, denn die Koeffizienten ergben sich durch ...."

Darauf wäre ich jetzt nicht gekommen. Wieso ist das denn so? Ich habe dann mal in dem Buch aus welchem ich die Aufgabe habe (nochmal) das Kapitel dazu gelesen, warum man aber so auf die Koeffzienten kommt ist mir jetzt leider nicht klar verwirrt


Nachtrag: Die Begründung liegt wohl hier: http://wapedia.mobi/de/Hilbertraum (Punkt 6)(wobei hier wohl der Umstand mit dem Skalarprodukt und den Basisvektoren (wann 0 und wann 1 herauskommt) verdreht ist) ? Wundert mich aber, da davon in meinem Buch (aus welchem die Aufgabe stammt) nichts diesbezüglich steht und man die Aufgaben eigentlich mit dem Buchwissen lösen können sollte....
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn eine ONB vorliegt, dann kann man jeden Vektor wie folgt darstellen:


Des weiteren gilt für das Skalarprodukt ja:

Das kann man dann auch Induktiv auf mehrere Summanden fortsetzen.

Schaun wir uns nun mal beispielsweise an:




Und aus wegen ONB folgt das von dir Gesuchte.
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Ok, ich bin es noch einmal auf dem Papier durchgegangen und kann es nachvollziehen. Diese Variante zur Koeffizientenbestimmung kann ich aber nur anwenden wenn eine Orthonormalbasis vorliegt, oder? Sonst muss ich wie gewohnt mein Gleichungssystem lösen.
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Bis zu einem gewissen Grad geht es auch schon mit einer Orthogonalbasis, dann musst du allerdings noch entsprechend normieren (indem du durch das Skalarprodukt des Vektors mit dem entsprechenden Basisvektors teilst). Beweis läuft im Prinzip wie oben.
mats28 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry wenn ich das alte Thema nochmal hochhole, aber muss mich aktuell auch damit beschäftigen. Müsste man hier nicht zuerst prüfen ob es sich überhaupt um eine Basis handelt? Oder ist das offensichtlich?
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