Winkel zw. Gerade & Ebene

16.03.2010, 16:31

Rachel!990

Winkel zw. Gerade & Ebene

Meine Frage:
Wo und unter welchem Winkel schneidet die Gerade g: X=(6,3,-4) + t (2,1,-2) die x-y Ebene?

Meine Ideen:
Wie genau sollte ich das verstehen? Wie sieht diese x-y Ebene aus? Wenn ich einen punkt & einen vektor gegeben hätte, könnte ich mir ja eine Ebene erstellen, aber so? So fehlt mir der normalvektor, ohne den ich den Abstand nicht berechnen kann...
Bitte inständigst um hilfe!!

16.03.2010, 17:07

Leopold

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Es liegt ein $\begin{eqnarray*} xyz \end{eqnarray*}$ -Koordinatensystem zugrunde (andere Leute sagen dazu auch $\begin{eqnarray*} x_1x_2x_3 \end{eqnarray*}$ -Koordinatensystem). Die $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene besteht aus allen Punkten, deren dritte Koordinate 0 ist, z.B.

$\begin{eqnarray*} (16,3,0), (3,2010,0), (-4,-12,0), (10,-2,0) , \ldots \end{eqnarray*}$

16.03.2010, 17:27

Vinyl

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Schau dir mal das Bild rechts oben bei folgendem Link an.

Gruß Vinyl

16.03.2010, 23:51

Emilia

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Zitat:

Original von Leopold
Es liegt ein $\begin{eqnarray*} xyz \end{eqnarray*}$ -Koordinatensystem zugrunde (andere Leute sagen dazu auch $\begin{eqnarray*} x_1x_2x_3 \end{eqnarray*}$ -Koordinatensystem). Die $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene besteht aus allen Punkten, deren dritte Koordinate 0 ist, z.B.

$\begin{eqnarray*} (16,3,0), (3,2010,0), (-4,-12,0), (10,-2,0) , \ldots \end{eqnarray*}$

Ich hab genau das selbe problem!
D.h ich kann für die Ebenengleichung irgendeinen Punkt mit (x1,x2,x3=0) wählen, egal welche koordinaten er hat? Aber wie erhalte ich den rechten teil der Ebenengleichung...also z.B. ich nehme den punkt (16,3,0)
E: 16x + 3y =? Könnt ihr mir dan vll helfen?
Dann müsste ich nur noch in die Formel einsetzen, um den Winkel zu erhalten oder?
Da ich eine Gerade in einer Parameterdarstellung & eine Ebene in Normalform habe, müsste ich hierfür den Sinus verwenden richtig? D.h. sina = n + a / (n) * (a) ...die Klammern sollen Betragsstriche repräsentieren.
Wäre dies so korrekt?

17.03.2010, 00:09

Vinyl

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Nein.

Erstens mal $\begin{eqnarray*} sin(\gamma)=\frac{|\vec a \cdot \vec n |}{|\vec a| \cdot |\vec n |} \end{eqnarray*}$

Des weiteren. Wovon redest du? Von der Koordinatenform einer Ebene?
$\begin{eqnarray*} E: \ n_1 \cdot x_1+n_2 \cdot x_2+n_3 \cdot x_3=b \end{eqnarray*}$

Ah ok, verstehe. Nein, deine Annahme ist total falsch. In der Ebenengleichung die ich oben geposted habe, wird der Normalenvektor einer Ebene verwendet. Dieser ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene. Somit steht er senkrecht zu Ebene.

Und wie gedenkst du den Winkel zu erhalten. Zwischen was denn eigentlich. Ist alles etwas verwirrend was du da schreibst. Am besten machst du einen neuen Thread auf und formulierst deine Frage klar.

Vinyl

17.03.2010, 00:17

Emilia

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Zitat:

Original von Vinyl
Nein. Augenzwinkern

Ok, jetzt bin ich auch verwirrt!
Aber du hast recht..ich hab ja nur einen Punkt, keinen normalvektor. Die frage ist wie bekomm ich den Normalvektor? Mir ist klar, dass der normalvektor das kreuzprodukt zweier vektoren ist, jedoch finde ich hier keinen zweiten vektor (einer ist ja in der Geradengleichung gegeben)
Naja, in der angabe muss man den Winkel zwischen der Geraden & der Ebene ermitteln. Ich hab nur keinen Schimmer, wie das genau zu rechnen ist!

17.03.2010, 00:23

Vinyl

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Also. Der Winkel errechnet sich zwischen zwei Ebenen so:

$\begin{eqnarray*} cos(\gamma)=\frac{|\vec n_{1} \cdot \vec n_{2} |}{|\vec n_{1}| \cdot |\vec n_{2} |} \end{eqnarray*}$

Zwischen zwei Graden so:

$\begin{eqnarray*} cos(\gamma)=\frac{|\vec r_{1} \cdot \vec r_{2} |}{|\vec r_{1}| \cdot |\vec r_{2} |} \end{eqnarray*}$

Und zwischen einer Grade und einer Ebene so:

$\begin{eqnarray*} sin(\gamma)=\frac{|\vec r_{1} \cdot \vec n_{1} |}{|\vec r_{1}| \cdot |\vec n_{1} |} \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} \vec r \end{eqnarray*}$ einem Richtungsvektor entspricht,

und $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ einem Normalenvektor.

Zurück zur ursprünglichen Aufgabe.
Ein Normalenvektor ist gegeben, (wenn man etwas nachdenkt smile

) und auch ein Richtungsvektor.
Man muss also eigentlich nurnoch einsetzten.

17.03.2010, 00:26

Emilia

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Zitat:

Original von Vinyl
Also. Der Winkel errechnet sich zwischen zwei Ebenen so:

$\begin{eqnarray*} cos(\gamma)=\frac{|\vec n_{1} \cdot \vec n_{2} |}{|\vec n_{1}| \cdot |\vec n_{2} |} \end{eqnarray*}$

Zwischen zwei Graden so:

$\begin{eqnarray*} cos(\gamma)=\frac{|\vec r_{1} \cdot \vec r_{2} |}{|\vec r_{1}| \cdot |\vec r_{2} |} \end{eqnarray*}$

Und zwischen einer Grade und einer Ebene so:

$\begin{eqnarray*} sin(\gamma)=\frac{|\vec r_{1} \cdot \vec n_{1} |}{|\vec r_{1}| \cdot |\vec n_{1} |} \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} \vec r \end{eqnarray*}$ einem Richtungsvektor entspricht,

und $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ einem Normalenvektor.

Zurück zur ursprünglichen Aufgabe.
Ein Normalenvektor ist gegeben, (wenn man etwas nachdenkt smile

) und auch ein Richtungsvektor.
Man muss also eigentlich nurnoch einsetzten.

Es ist eine x-y Ebene, wäre also möglich, dass der Normalvektor (1,-1,0) ist? Ist sicher wieder falsch...zu spät für mathematisches Denken xD

17.03.2010, 00:28

Emilia

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Ich check gar nix mehr ^^

17.03.2010, 00:31

Vinyl

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Hm ja, dass ist falsch.
Aber ich bin mir sicher du kennst einen Vektor, der senkrecht zur xy-Ebene steht. Schaue dir mal die Achsen des Koordinatensystems an.
Fällt dir etwas auf?

17.03.2010, 00:35

Emilia

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Die z Achse steht ja senkrecht zur Ebene x-y. Der Vektor, der jetzt auf der z Achse verläuft, müsste mein gesuchter Vektor sein oder?
Ist der Vektor (0,0,1) ?

17.03.2010, 00:37

Vinyl

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Bingo!