Endomorphismus, invariante Unterräume

17.03.2010, 17:11	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
Endomorphismus, invariante Unterräume hallo zusammen !! Es geht um folgende Aufgabe: Beweise, dass ein Endomorphismus des $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray}$ immer einen echten invarianten Unterraum besitzt. Es ist ja bekannt, dass jede Darstellung mit dem Raum an sich und dem Nullraum zwei triviale Unterräume besitzt. ich verstehe allerdings nicht richtig, was ein "echter" Unterraum ist und wie dies gezeigt werden kann. vielen lieben Dank für eure Hilfe !! eisley
17.03.2010, 17:14	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein "echter" Unterraum ist eben nicht der Nullraum und nicht der $\begin{eqnarray} \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ selbst. Sprich einen Unterraum der Dimension 1 oder 2. Zum Beweis: Irgendwelche Ideen?
17.03.2010, 17:44	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
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17.03.2010, 17:45	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
könnte man verwenden, dass ein eindimensionaler Unterraum $\begin{eqnarray} U = Kv, v \in V \end{eqnarray}$ genau dann invariant ist, wenn v ein Eigenvektor ist?
17.03.2010, 17:54	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann man sogar sehr gut verwenden. Du müsstest jetzt nur noch zeigen, dass ein Endomorphismus des $\begin{eqnarray} \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ einen Eigenwert hat.
17.03.2010, 18:12	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Endomorphismus ist doch eine Abbildung von $\begin{eqnarray} V\Rightarrow V \end{eqnarray}$ . Und einen Eigenwert hat eine Abbildung genau dann, wenn es einen Vektor mit $\begin{eqnarray} f(v) = k\cdot v \end{eqnarray}$ gibt. ..dies wäre jedoch als Beweis nicht hinreichend, oder?
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17.03.2010, 18:23	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du müsstest zeigen, dass es für jeden Endomorphismus des $\begin{eqnarray} \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ einen solchen Eigenwert gibt. Mal angenommen du hättest einen speziellen Endomorphismus vorliegen, wie kämst du denn dann an die Eigenwerte?
17.03.2010, 18:28	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn gilt: $\begin{eqnarray} det(A-\lambda E)=0 \end{eqnarray}$ dann ist das lineare Gleichungssystem $\begin{eqnarray} (A-\lambda E)x=0 \end{eqnarray}$ lösbar und ich kann die Eigenwerte berechnen.
17.03.2010, 18:51	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt was berechnest du, um die Eigenwerte zu bestimmen?
17.03.2010, 18:56	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
das charakteristische Polynom. oder was meinst du damit?
17.03.2010, 22:32	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt, wir berechnen das charakteristische Polynom und unser Eigenwert ist dann eine Nullstelle von eben diesem. Wie hilft uns das hier weiter? (Hint: Hier kommt ein klein bisschen Analysis ins Spiel)

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