Inverse Matrix + Transformationsmatrix

18.03.2010, 12:04	meli05	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse Matrix + Transformationsmatrix Hallo, von folgende Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ soll die inverse gebildet werden. Die Matrix ist orthogonal + symmetrisch d.h. die inverse ist einfach $\begin{eqnarray} A=A^T=A^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder muss da trotzdem noch das $\begin{eqnarray} \frac{1}{det(A)} = \frac{1}{-10} \end{eqnarray}$ davor? also so: $\begin{eqnarray} A^{-1} = \frac{1}{-10} \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ danke! lg meli
18.03.2010, 12:07	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du denn darauf, dass die Matrix orthogonal ist?
18.03.2010, 12:16	meli05	Auf diesen Beitrag antworten »
ups stimmt ist sie ja gar nicht. Damit hat sich die Frage geklärt Aber wenn sie es wäre bräuchte ich nichts mit 1/det(A) davor schreiben oder? lg
18.03.2010, 12:20	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, bräuchtest du nicht. Beachte: Eine Matrix A kann überhaupt nur dann orthogonal sein, wenn gilt: det(A)=+1 oder det(A)=-1
18.03.2010, 12:23	meli05	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar danke kannst du mir vielleicht noch schnell sagen, was eine Transformationsmatrix ist? Ist das die Matrix aus den Eigenvektoren oder der E.werte?? Und ist Abbildungsmatrix ein synonym dafür? lg
18.03.2010, 12:42	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Du müsstest da schon etwas genauer werden. Transformationsmatrizen gibt es in allen möglichen Bereichen der lineare Algebra. Im Zusammenhang mit orthogonalen Matrizen ist vllt vor allem der Spektralsatz wichtig. Einfache Fassung: Sei $\begin{eqnarray} A \in \mathbb R ^{n \times n}_{sym} \end{eqnarray}$ dann gibt es eine orthogonale Matrix $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Q^{-1}AQ=diag(a_1,...,a_n) \end{eqnarray}$ , wobei die $\begin{eqnarray} a_1,...a_n \end{eqnarray}$ die Eigenwerte von A sind (und jeder Eigenwert auf der Diagonalen jeweils so oft auftaucht, wie der zugehörige Linearfaktor im charakteristischen Polynom von A) Q bestimmt man, in dem man Orthonormal-Basen der Eigenräume von A bestimmt (Ist ein Eigenraum 1-dim. so reicht es den Erzeuger zu normieren, bei höheren Dimensionen macht man Gram-Schmidt) und dann die Basisvektoren einfach hintereinander in eine Matrix schreibt. Probier es doch mit deiner Matrix oben mal aus.
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18.03.2010, 14:31	meli05	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe jetzt Diese Matrix als Beispiel genommen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -3 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ok die EW sind: +-5 Also wäre meine Abbildungsmatrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und die Transformationsmatrix aus den EV dann: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
18.03.2010, 14:34	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo passt so. Beachte allerdings, dass deine Trafo-Matrix nicht orthogonal ist.

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