Lineartransformation

19.03.2010, 10:07

cone

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Lineartransformation

Meine Frage:
Hallo

Aufgabe:
Geben Sie die Matrix A einer Lineartransformation l an, die in Richtung des Vektors (1,0,2)um den Faktor 2 streckt, in Richtung des Vektors (2,2,0) um den Faktor 0.5 staucht, und den Vektor (-1,1,1) an der xy-Ebene spiegelt. Machen Sie die Probe für Ihr Ergebnis.

Meine Ideen:
Muss ich hier ein Gleichungssystem aufstellen, sodass ich 1 Matrix erhalte, die all das erfüllt??? Hab aber leider keine Ahnung wie???

19.03.2010, 10:10

tigerbine

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RE: Lineartransformation
Was sind denn die Bilder der genannten Vektoren unter der gesuchten Matrix?

19.03.2010, 10:16

cone

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Hm... Bilder??? In der Angabe steht nicht mehr. Was sind Bilder???

19.03.2010, 10:26

tigerbine

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Wie wäre es damit, mal zu versuchen was die Bedeutung der Worte ist? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was heißt also

Zitat:

Geben Sie die Matrix A einer Lineartransformation l an, die in Richtung des Vektors (1,0,2)um den Faktor 2 streckt

Was macht die MAtrix A dann mit dem Vektor? Welcher Vektor kommt raus? Und da A eine Abbildung ist, nennt man dieses Vektor dann das Bild des anderen Vektors unter A. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.03.2010, 10:33

cone

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Also mir ist schon klar, dass (2,2,2) den Vektor (1,0,2) um den Faktor 2 streckt. Jedoch weiß ich nicht wie ich 1 Matrix finden soll die für alle 3 Bedingungen gelten soll (strecken, stauchen, spiegeln)

19.03.2010, 10:36

tigerbine

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Warum schreibst du dann nicht auf, was dir schon alles klar ist? Soll ich hellsehen können? unglücklich

unglücklich

Ich bitte dich nochmal, zu notieren, welche Bilder die drei genannten Vektoren bekommen. Wir wollen doch versuchen

Zitat:

Muss ich hier ein Gleichungssystem aufstellen, sodass ich 1 Matrix erhalte, die all das erfüllt??? Hab aber leider keine Ahnung wie???

das gemeinsam zu beantworten.

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19.03.2010, 10:51

cone

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1Bild (2,2,2)
2 Bild (0.5,0.5,0.5)
3 Bild (1,1,-1)

Stimmt das???

19.03.2010, 10:54

tigerbine

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Nein, stimmt so nicht.

$\begin{eqnarray*} A(1,0,2)^T=(2,0,4)^T \end{eqnarray*}$

usw.

19.03.2010, 10:58

cone

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Ja (2,0,4), das ist mein neuer Vektor um den Faktor 2 skaliert.

Aber meine Frage ist, wie ich eine Matrix erstellen kann, die um den Faktor 2 skaliert, um 0.5 skaliert und um die xy ebene zu spiegeln

19.03.2010, 11:00

tigerbine

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Ich weiß, was deine Frage ist. Ich stelle meine Fragen ja nicht zum Spass, sondern weil sie auf die Antwort führen. Ich dürfte dich nun also bitten, sie zu beantworten und so aufzuschreiben, wie ich es getan habe. Danke. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.03.2010, 11:19

cone

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$\begin{eqnarray*} <br /> A\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} <br /> <br /> A\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}<br /> <br /> A\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

19.03.2010, 11:56

tigerbine

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Sieht doch schon besser aus. Nun schreibe jeweils die erste Zeile der Matrix Vektor Multiplikation dieser drei Gleichungen auf.

19.03.2010, 12:05

cone

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Wenn ich dich richtig verstehe ergibt das dann:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 2 & -2 \\ 0 & 3 & 3 \\ 12 & 0 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.03.2010, 12:21

tigerbine

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Nein. Du sollst die Zeilen aufscheiben. Nicht eine Matrix.

$\begin{eqnarray*} <br /> A\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1a_{11} + 0a_{12} + 1a_{13} = 2 \end{eqnarray*}$

etc.

19.03.2010, 12:26

cone

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hm...

Versteh ich nicht ganz. Wie kommst du auf das???

19.03.2010, 12:27

tigerbine

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Zitat:

Nun schreibe jeweils die erste Zeile der Matrix Vektor Multiplikation dieser drei Gleichungen auf.

edit:

Bei dir ist das A rechts zu viel. Das hatte ich nach dem Kopieren vergessen zu löschen.

siehe: Lineartransformation

19.03.2010, 12:59

tigerbine

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* Das stellst du für alle 3 auf.

* Dann hast die erste Zeile von A durch Gleichungen ausgedrückt.

* Stelle ein LGS auf uns löse es.

[Probe]

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14: 15: 16: 17: 18:	M = 1 0 2 2 2 0 -1 1 1 >> b1=[2,1,-1] b1 = 2 1 -1 >>M\b1 ans = 1.00000000000000 -0.50000000000000 0.50000000000000

[/PROBE]

* Analog für die zweite und dritte Zeile von A.

* Was fällt dir bei den LGS auf?

* Mache die Probe, ob A die gewünschten Eigenschaften hat.

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