Äquivalenzrelation |
| 19.03.2010, 10:07 | caringandkilling | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Äquivalenzrelation ich habe eine Frage zu folgender Aufgabenstellung: Es sei A = {a,b,c} ; die Relation R auf A sei gegeben durch R = { {a,a}, {b,b}, {c,c}, {a,b}, {b,a}, {a,c}, {c,a} } Ist R eine Äquivalenzrelation? Mir ist bekannt dass eine Äquivalenzrelation folgende Eigenschaften erfüllen muss: Symmetrie, Reflexivität und Transitivität. Die vorliegende Relation erfüllt m.E. die erforderlichen Eigenschaften: Symmetrie, Reflexivität. Allerdings erfüllt sie die Anforderungen für Transitivität nicht, da aus {a,c} und {c,a} auch {b,c} und {c,b} folgen müsste. Ist diese Argumentation korrekt? Darüber hinaus wüsste ich gerne ob anhand der gegeben Eigenschaften |A| = 3 und |R| = 7 schon auszuschliessen ist, dass R eine Äquivalenzrelation istt. Im Grunde genommen müsste R doch eine Mindestanzahl von Elementen enthalten um die Anforderungen an eine Äquivalenzrelation zu erfüllen? Danke und mfG. |
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| 19.03.2010, 10:16 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Äquivalenzrelation
Ich denke eher nicht. Vielleicht erklärst du noch mal, wie du darauf kommst? |
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| 19.03.2010, 10:24 | caringandkilling | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Aw: Ich komme darauf, da m.E. für die Transitivität folgende Forderung erfüllt sein muss: Aus a~b und a~c müsste doch b~c, c~b folgen? Oder habe ich da etwas grundsätzliches nicht verstanden? |
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| 19.03.2010, 10:25 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Offenbar ja. Aus a~b und b~c folgt a~c. |
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| 19.03.2010, 10:37 | caringandkilling | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Re: Womit meine Frage beantwortet wäre ... folglich ist R ein Äquivalenzrelation, die Bedingungen für Transitivität wären: Aus {a,b} und {b,c} folgt {a,c}. Reflexivität: {a,a}, {b,b}, {c,c} Symmetrie: {a,b}, {b,a} und {a,c}, {c,a} Meinst du, gesetzt den Fall dass obige Argumentation korrekt ist ;-), dass eine solche Formulierung mir in einer Klausur für die volle Punktzahl reichen würde? Würde man der Relation noch das Tupel {b,c} hinzufügen ohne {c,b} hinzuzufügen wäre das Kriterium für Symmetrie verletzt. Womit sich dann auch meine letzte Frage in der Ausgangsfragestellung erübrigt hätte .... R = { {a,a}, {b,b}, {c,c}, {a,b}, {b,a}, {a,c}, {c,a}, ({c,b}, {b,c}) } wäre also nur die Menge der zweielementigen Teilmengen aus A ... |
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| 19.03.2010, 11:00 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Re:
Aber die Menge {b,c} ist doch gar nicht in R drin? Du müsstest hier vier Fälle aufzeigen: Einer wäre der hier: Aus a~b und b~a folgt a~a. Fehlen noch drei andere. Ansonsten ist deine Argumentation aber richtig. |
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| 19.03.2010, 12:48 | papahuhn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Äquivalenzrelation
Das ist richtig, es kommt aber auf die Äquivalenzklassen der Relation an, wie groß die Relation ist. Eine n-elementige Äquivalenzklasse impliziert n² Beziehungen zwischen den Elementen. Anhand der gegebenen Relation kann man sehen, dass a,b,c in derselben und einzigen Äquivalenzklasse liegen müssten, was 9 Beziehungen impliziert. Da die Relation aber 7-elementig ist, kann sie keine Äquivalenzrelation sein. |
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| 19.03.2010, 14:46 | caringandkilling | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Re: Okay, also war meine Vermutung in Bezug auf das vorliegende Beispiel angebracht. Bleibt die Frage ob mein Prof diese Begründung als Antwort gelten lässt. Würde ich meine ursprüngliche Argumentation anwenden wollen, haben mich die vorangegangenen Hinweise von "Mr.Brightside" eher verwirrt. Nach meine Verständnis ist die vorliegende Relation keine Äquivalenzrelation weil für die Transitivität aus a~b und b~c a~c folgten muss. Da aber b~c nicht in der Relation enthalten ist, ist die vorliegende Relation keine Äquivalenzrelation. Wenn das nicht korrekt ist, wäre es nett wenn mir jemand exemplarisch zeigen könnte wie ich dem Zusammenhang korrekt argumentiere. Reflexivität und Symmetrie ist ja gegeben. 
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| 19.03.2010, 15:29 | papahuhn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Re:
Ja, aber wenn man Transitivität *und* Symmetrie voraussetzt. Allein aufgrund der Transitivität folgt das nicht. Aus a~b folgt b~a wegen Symmetrie, und aus b~a plus a~c folgt b~c aufgrund der Transitivität. |
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