Normalengleichung gegeben Vektoren zu bestimmen

20.03.2010, 13:05

universum

Normalengleichung gegeben Vektoren zu bestimmen

Meine Frage:
Hi Leute, folgende Aufgabe habe ich.

"Gegeben ist eine Ebene durch eine Gleichung in Normalenform 2x+y+z-4=0.
Man bestimme erstens einen Normalenvektor d, zweitens zwei Vektoren a und b, deren Spitzen auf der Ebene liegen und die zueinander orthogonal sind und drittens den Winkel, den der Normalenvektor d mit dem kanonischen Einheitsvektor e1 bildet."

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist:

Aus der Ebenengleichung den Normalenvektor d abzulesen:

$\begin{eqnarray*} \vec{d}= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich mir noch klar gemacht, das orthogonal bedeutet, dass a*b = 0 ergeben muss.

Wie komme ich aber nun an a und b?

20.03.2010, 13:35

universum

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Fehler entdeckt:

2x+y+z-4=0 hab ich umgeformt in 2x+y+z=-4

Normalenvektor abgelesen:

$\begin{eqnarray*} \vec{d}=%20\begin{pmatrix}%202%20\\%201%20\\%201%20\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann hab ich die Parameterform aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} E: \vec{x} =\begin{pmatrix} O_x \\ O_y \\ O_z \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} r_1x \\ r_1y \\ r_1z \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} r_2x \\ r_2y \\ r_2z \end{pmatrix} <br /> <br /> E: \vec{x} =\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.03.2010, 13:51

wisili

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Der Aufpunkt (-3,2,0) ist falsch. Die Spannvektoren stimmen.
Ist das Originaltext «zweitens zwei Vektoren a und b, deren Spitzen auf der Ebene liegen »?
Vektoren haben nämlich gar keinen Ort, sie werden aber durch Pfeile repräsentiert, deren Spitzen auf der Ebene liegen mögen; aber wo sollen dann die Anfangspunkte liegen?

20.03.2010, 13:58

universum

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Jo, ist original Text.

der Ortsvektor ist falsch? hmm ich schau noch mal...

20.03.2010, 14:02

wisili

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«2x+y+z-4=0 hab ich umgeformt in 2x+y+z=-4» war falsch: Rechts gibt es +4.

20.03.2010, 14:02

universum

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Ah ok danke, dann noch mal auf ein neues smile

20.03.2010, 14:05

universum

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 4 \end{eqnarray*}$

Also Ortsvektor: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

somit ist dann a*b= 0 also ist $\begin{eqnarray*} a= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} und b= \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.03.2010, 14:17

wisili

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Ich bleibe dabei: Die Aufgabenformulierung ist unbrauchbar. Es könnte sein, dass a und b auf der Ebene repräsentierbar sein sollten. Dann könnte für a ein Spannvektor verwendet werden. b wäre dann das Vektorprodukt von a und dem Normalvektor. Es könnte aber auch sein, dass die Ortsvektoren zweier Ebenenpunkte gemeint sind.

20.03.2010, 14:26

universum

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Hmm, und sowas schimpft sich dann Klausuraufgabe. unglücklich

Ich danke für deine Hilfe.

20.03.2010, 14:29

wisili

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Der Winkel zwischen Normalvektor und e1 ist allerdings klar definiert und berechenbar.
Tipp: Skalarprodukt.

20.03.2010, 14:47

universum

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Ich hab das über die Formel:

$\begin{eqnarray*} \alpha = arccos\frac{\vec{d}*\vec{e_1} }{|\vec{d} |*|\vec{e_1} | } \end{eqnarray*}$

da kommt bei mir $\begin{eqnarray*} arccos\frac{2}{\sqrt{6} } \end{eqnarray*}$

das wäre jetzt ein andere Winkel, als das Skalarprodukt von d mit e1.

Ist meins denn falsch, oder habe ich dich falsch verstanden?

20.03.2010, 14:53

wisili

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Zitat:

Original von universum
Ich hab das über die Formel:

$\begin{eqnarray*} \alpha = arccos\frac{\vec{d}*\vec{e_1} }{|\vec{d} |*|\vec{e_1} | } \end{eqnarray*}$

da kommt bei mir $\begin{eqnarray*} arccos\frac{2}{\sqrt{6} } \end{eqnarray*}$

Genau so habe ich es gemeint. $\begin{eqnarray*} \vec{d}\cdot \vec{e_1} \end{eqnarray*}$ heisst doch SKALARPRODUKT, oder nicht?

(Mein Tipp sollte nicht heissen, der Winkel IST das Skalarprodukt, sondern der Winkel wird mit Hilfe des Skalarprodukts gewonnen.)

20.03.2010, 14:55

universum

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Achso klar, war kurz verwirrt Big Laugh

Danke schön!

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