kubische Splines

20.03.2010, 23:43

NobbyNobbs

kubische Splines

Meine Frage:
Huhu! smile

ich hab ein Problem mit kubischen Splines (nehmen wir mal die natürlichen an). ich weiß welche Bedingungen gelten müssen aber wie ich von diesen Bedingungen auf die Tridiagonale Matrix kommen kann, ist mir ein absolutes Rätsel unglücklich

Meine Matrix sieht bisher ziemlich chaotisch aus...

Meine Ideen:
Die Teilstücke haben die Form $\begin{eqnarray*} a_{i} x^{3} +b_{i} x^{2}+ c_{i} x+d_{i} \end{eqnarray*}$
nun will ich die a,b,c und d berechnen. Bei Stützstellen S ergebenn sich die Gleichungen $\begin{eqnarray*} a_{i} x^{3} +b_{i} x^{2}+ c_{i} x+d_{i} = S_{i} \end{eqnarray*}$
bei gleichgesetzten Ableitungen gilt z.B. $\begin{eqnarray*} 3a_{i} x^{2} +2b_{i} x +c_{i}- 3a_{i+1} x^{2} -2b_{i+1} x -c_{i+1} \end{eqnarray*}$ und bei den fr die Natürlichkeit gewählten Bedingungen hab ich Gleichungen der Form $\begin{eqnarray*} 6a_{i} x +2b_{i} =0 \end{eqnarray*}$ . Schreibt man das nun in eine Matrix, sieht die alles andere als tridiagonal aus... was mache ich falsch? unglücklich

Vielen Dank im Voraus smile

20.03.2010, 23:49

tigerbine

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RE: kubische Splines
Wie lautet der konkrete Datensatz dazu?

Die allg. Berechnung ist lästig. Big Laugh

[WS] Spline-Interpolation - Theorie

21.03.2010, 01:38

NobbyNobbs2

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hmpf irgendwas hat mit der Anmeldung wohl nicht geklappt -.- nehmen wir als Beispiel die Stützpunkte (-2,20), (0,-16) und (2,12). Wie würde man mit den Werten jetzt die Matrix ermitteln? *mich zwischenzeitlich in den Formelwust aus dem Link grab*

21.03.2010, 01:43

tigerbine

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Viel Spass bei der Schlacht.

code:

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Es wird ein kubischer Spline berechnet. Spezifizierung folgt.
 
Beachte: Der Datensatz hat die Form
         Knoten:           t_0 ,...,  t_n
         Funktionswerte: f(t_0),...,f(t_n)
 
Knotenpunkte eingeben:   [-2,0,2
]
Funktionswerte eingeben: [20,-16,12]
 

n =

     2

------------------------------------------------------------------------------
Berechnung der Deltas dt_0,...,dt_n-1

dt =

     2     2

 
Berechnung der Deltas df_0,...,df_n-1

df =

   -36    28

 
Berechnung der Brüche df0/dt0,...,df_n-1/dt_n-1

dfdt =

   -18    14

 
 
 
Berechnung der Betas   b_1,...,b_n-1

b =

     2

 
Berechnung der Alphas  a_1,...,a_n-1 (vorläufig)

a =

     8

 
Berechnung der Gammas  c_1,...c_n-1

c =

     2

 
Berechnung der rs      r_1,...,r_n-1 (vorläufig)

r =

   -24

 
------------------------------------------------------------------------------
Bitte wählen: 0 - natürlicher Spline
              1 - vollst. Spline
 
Deine Wahl: 0
------------------------------------------------------------------------------
 
Berechnung der Alphas  a_1,...,a_n-1 (nat. Spline)

a =

     6

 
Berechnung der rs      r_1,...,r_n-1 (nat. Spline)

r =

   -12

 
Aufstellen der Matrix M

M =

     6

 
Berechnung der Lösung s von Ms=r: s_1,...,s_n-1
    -2

 
Der komplette Vektor s: 

s =

   -26    -2    22

 
Matrix der Restriktionen in Newton-Darstellung

RN =

    20   -26     4     2
   -16    -2     8    -2

 
Matrix der Restriktionen in Monom-Darstellung: 1,x,x²,x³

RM =

   -16    -2    12     2
   -16    -2    12    -2

21.03.2010, 01:52

NobbyNobbs

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Vielen Dank! Bis ich da durchblicke wirds wohl etwas dauern, und ich glaub auch dass der Algorithus nicht ganz der aus unserer Vorlesung ist, aber bevor ich sinnvoll weiterfragen kann, muss ich wohl noch viel schlauer werden...
Wink

21.03.2010, 01:56

tigerbine

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Ich sage es gleich, um keine falschen Hoffnungen zu wecken. In den Algorithmus deiner Vorlesung werde ich mich einarbeiten können. Das zugehöre matlab Programm, dass "meinen Algorithmus" vorrechnet findest du hier.

[WS] - Programmsammlung Numerik

Viel Erfolg. Wink

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