rekursive Folgen (Konvergenz-Monotonie)

21.03.2010, 21:58

FolgeNicht

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rekursive Folgen (Konvergenz-Monotonie)

Hi, habe folgende Augfabe und komme nicht weiter:

Aufgabenstellung__________________

Folge a_n mit a_1=1 und $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=(\frac{a_{n}}{2}+1) \end{eqnarray*}$
Ich soll zeigen, dass die Reihe Konvergiert und deren Grenzwert bestimmen.

Hinweis: Zeige a_n<2 ... zeige anschließend, dass die Folge monoton ist.

Bearbeitung___________________

Zum Hinweis kann ich nur zeigen, dass, wenn ich a_n=2 setze, bei $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=2 \end{eqnarray*}$ rauskommt und sich somit nciht erhöht. Dass es aber nur < und nicht <= 2 ist, kann ich im moment nciht beweisen. Weiß jemand da was?

Zur Monotonie würde ich mit Induktion kommen : $\begin{eqnarray*} a_{n}<a_{n+1} \end{eqnarray*}$
daraus würde dann folgen : $\begin{eqnarray*} a_{n}<2 \end{eqnarray*}$ , was ich im schritt 1 ja aber noch nicht bewiesen habe !!!

Wie zeige ich jetzt, dass das a_n konvergiert? und wie berechne ich den Grenzwert?
Der Grenzwert ist doch 2 oder?

21.03.2010, 22:10

saz

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Irgendwie habe ich das Gefühl, dass du den Umgang mit einer rekursiven Folge noch nicht ganz verstanden hast. Wieso setzt du $\begin{eqnarray*} a_n = 2 \end{eqnarray*}$ ?

Du hast doch vorgegeben, dass $\begin{eqnarray*} a_1 = 1 \end{eqnarray*}$ . Wenn du jetzt die vorgegebene Rekursionsformel befolgst, erhälst du als Folgeglieder:

$\begin{eqnarray*} a_2 = \frac{a_1}{2} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}<br /> a_3 = \frac{a_2}{2} + 1 = \frac{3}{4} +1 = \frac{7}{4}<br /> a_4 = \frac{a_3}{2} + 1 = \frac{7}{8} + 1 = \frac{15}{8}<br /> \end{eqnarray*}$
uswusf.

Deine Vermutung, dass die Folge gegen 2 konvergiert, ist also korrekt - und wenn du erst einmal gezeigt hast, dass die Folge überhaupt konvergiert, ist dies auch schnell gezeigt.

Die gesuchte Beschränkheit der Folge könntest du z.B. ebenfalls über Induktion zeigen.

21.03.2010, 22:15

Iorek

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Zitat:

Original von saz

$\begin{eqnarray*} <br /> a_4 = \frac{a_3}{2} + 1 = \frac{7}{8} + 1 = \frac{15}{16}<br /> \end{eqnarray*}$

Sicher?

Augenzwinkern

21.03.2010, 22:17

saz

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Zitat:

Original von Iorek

Zitat:

Original von saz

$\begin{eqnarray*} <br /> a_4 = \frac{a_3}{2} + 1 = \frac{7}{8} + 1 = \frac{15}{16}<br /> \end{eqnarray*}$

Sicher?

Augenzwinkern

Äh nein

smile

... Habs korrigiert.

21.03.2010, 22:20

wisili

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RE: rekursive Folgen (Konvergenz-Monotonie)
Ja, der Grenzwert ist 2.

Und sei das auch nur vorerst eine Hypothese: Betrachte die Folge (b_n) mit b_n = 2 - a_n.
Welche Rekursion gilt für (b_n)? Was ist es deshalb für ein Typ?

Edit: Viel zu spät, sorry.

21.03.2010, 22:28

FolgeNicht

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Zitat:

Original von saz
Die gesuchte Beschränkheit der Folge könntest du z.B. ebenfalls über Induktion zeigen.

Zitat:

Original von FolgeNicht
Zur Monotonie würde ich mit Induktion kommen : $\begin{eqnarray*} a_{n}<a_{n+1} \end{eqnarray*}$
daraus würde dann folgen : $\begin{eqnarray*} a_{n}<2 \end{eqnarray*}$

Ich hab hier die Induktion schon angewendet und "nur" das ergebnis steht schon da: a_0<2 ist ! Die Rechnung hab ich mir gespart.
Also steht ja die obere Schranke schon fest! Die Monotonie aber nicht, da ich diese vorerst nur vorausgesetzt habe. Da habe ich mich wohl falsch ausgedrückt.

Zitat:

Original von saz
Deine Vermutung, dass die Folge gegen 2 konvergiert, ist also korrekt - und wenn du erst einmal gezeigt hast, dass die Folge überhaupt konvergiert, ist dies auch schnell gezeigt.

ja, ich hab jetzt "unter vorraussetzung der monotonie" gezeigt, dass das a_n immer kleiner als 2 ist. Aber wie beweise ich jetzt die Monotonie?
Kann doch net sein, dass ich das einfach immer einsetze, so wie du eben und dann sag: Das ganze wird ja imemr größer ... also ists monoton (Du hast überigens ein Feher: Das letzte ergebnis ist = 15/8 anstatt 15/16)

Wie ich es verstanden habe, muss ich jetzt zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a_{n}<a_{n+1} \end{eqnarray*}$ auch wirklich gilt? Aber wie ???

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21.03.2010, 22:39

saz

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Okay, dann hatte ich dich teilweise falsch verstanden. Aber dennoch: Nur weil $\begin{eqnarray*} a_0 < 2 \end{eqnarray*}$ gilt, folgt daraus nicht die Beschränktheit der gesamten Folge. Du musst zeigen: Aus $\begin{eqnarray*} a_n < 2 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} a_{n+1} < 2 \end{eqnarray*}$ - und das geht ganz ohne Monotonie! Ehrlich gesagt verstehe ich gar nicht so recht, wie du die Monotonie bei deinem Beweis verwenden haben könntest...

Und zur Monotonie: Ich hatte die Folgenglieder oben nur hingeschrieben, damit dir nochmal bewusst wird, wie das mit der rekursiven Folge eigentlich funktioniert. Natürlich war das kein Beweis. Um die Monotonie zu zeigen, kannst du

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n \end{eqnarray*}$

betrachten. Setzt du nun die Definition von $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ein und nutzt die Beschränktheit der Folge, erhälst du das gewünschte Ergebnis. (Geht natürlich nur, wenn du die Beschränkheit der Folge ohne Monotonie bewiesen hast - was aber wie gesagt nun wirklich überhaupt nicht schwer ist.)

21.03.2010, 22:56

FolgeNicht

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$\begin{eqnarray*} a_{n}<a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ... das ist doch die Gleichung, die Monotonie voraussetzt -> ich nehme an, dass a_n monoton steigend ist, wenn ich das so schreibe, oder ?!

dann stelle ich genau diese Gleichung um, rechne sie aus und komme auf: $\begin{eqnarray*} a_{n}<2 \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n = \frac{2-a_n }{2} \end{eqnarray*}$ und das sagt mir ja, dass wenn a_n<2 ist, ist der Term Positiv und daher ist $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ immer größer als an ist. -> monotonie bewiesen.

Aber ich verstehe meinen Fehler nicht. Ich beweise monotonie und setze voraus, dass a_n <2 ist und wenn ich a_n<2 beweisen will, setze ich monotonie voraus.
Ist jetzt wenistens meni Monotoniebeweis richtig?

21.03.2010, 23:00

saz

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Die Monotonie ist richtig, ja.

Ehe wir noch lange Rätsel raten:

Induktionsanfang: n=1, ist ja klar

Induktionsbeh.: Behauptung gelte für n=k

Induktionsbeweise: $\begin{eqnarray*} a_{k+1} = \frac{a_k}{2} + 1 < \frac{2}{2} + 1 = 2 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} a_{k+1} < 2 \end{eqnarray*}$ .

... und hier braucht man keine Monotonie.

21.03.2010, 23:03

Iorek

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Zitat:

Original von saz
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{2} + 1 < 2 \end{eqnarray*}$

Ich wiederhole mich ja nur ungern, aber: sicher? Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.03.2010, 23:04

FolgeNict

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RE: rekursive Folgen (Konvergenz-Monotonie)

Zitat:

Original von FolgeNicht
Zum Hinweis kann ich nur zeigen, dass, wenn ich a_n=2 setze, bei $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=2 \end{eqnarray*}$ rauskommt und sich somit nciht erhöht. Dass es aber nur < und nicht <= 2 ist, kann ich im moment nciht beweisen. Weiß jemand da was?

Ja das problem hatte ich bereits schon!

21.03.2010, 23:14

saz

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RE: rekursive Folgen (Konvergenz-Monotonie)

Zitat:

Original von FolgeNict

Zitat:

Original von FolgeNicht
Zum Hinweis kann ich nur zeigen, dass, wenn ich a_n=2 setze, bei $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=2 \end{eqnarray*}$ rauskommt und sich somit nciht erhöht. Dass es aber nur < und nicht <= 2 ist, kann ich im moment nciht beweisen. Weiß jemand da was?

Ja das problem hatte ich bereits schon!

Wieso? Bei mir oben steht doch < ... weil du ja davon ausgehst, dass $\begin{eqnarray*} a_k < 2 \end{eqnarray*}$ gilt.

21.03.2010, 23:14

saz

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Zitat:

Original von Iorek

Zitat:

Original von saz
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{2} + 1 < 2 \end{eqnarray*}$

Ich wiederhole mich ja nur ungern, aber: sicher? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mann, heute ist wohl nicht mein Tag ... verwirrt

verwirrt

21.03.2010, 23:37

FolgeNicht

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Wieso? Weil ich auch das Problem hatte, dass ich bei a_n=2 nur a_(n+1)=2 beweisen kann. Aber nicht a_n<2. Auf das Problem bist du ja jetzt auch gestoßen, ich weiß nicht, ob dus verstanden hast, was mein Problem ist?

21.03.2010, 23:39

Iorek

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Da saz nicht mehr online ist:

Wo zeigst du denn hier, dass $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=2 \end{eqnarray*}$ ist? Du hast doch eine Abschätzung über die IV eingebracht und zeigst, dass $\begin{eqnarray*} a_{n+1}<2 \end{eqnarray*}$ ist.

22.03.2010, 00:09

FolgeNicht

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} a_{n}<a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ... das ist doch die Gleichung, die Monotonie voraussetzt -> ich nehme an, dass a_n monoton steigend ist, wenn ich das so schreibe, oder ?!
dann stelle ich genau diese Gleichung um, rechne sie aus und komme auf: $\begin{eqnarray*} a_{n}<2 \end{eqnarray*}$
Mit $\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n = \frac{2-a_n }{2} \end{eqnarray*}$ und das sagt mir ja, dass wenn a_n<2 ist, ist der Term Positiv und daher ist $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ immer größer als an ist. -> monotonie bewiesen.

Ich greife mal das nochmal auf:

Ja eben, ich hab ne abschätzung eingebracht, dass a<2 sein muss. Aber ich weiß nicht, wie ich das dann jetzt machen soll, damits konvergiert.
Und wei ich dann den Grenzwert rauskriegen könnte (wenn ich nicht die 2 als Grenzwert hätte). Ist 2 überhaupt der Grenzwert? Ich denk schon. Also es war im Hinweis angegeben, aber ich sollte den Grenzwert ncohmal extra berechnen.

22.03.2010, 00:12

Iorek

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Ich versteh gerade dein Problem nicht so ganz...

Du behauptest die Folge ist nach oben durch 2 beschränkt und beweist das ganze per vollständiger Induktion, der Induktionsschluß geht auf, Behauptung gilt also nach dem Prinzip der vollständigen Induktion.

Danach zeigst du, dass die Folge monoton ist, das ergib insgesamt also eine monotone, beschränkte Folge, daraus folgt direkt die Konvergenz.

Und den Grenzwert kann man dann auch berechnen, ja.

22.03.2010, 01:13

NichtFolgen

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Wenn direkt daraus die Konvergenz folgt, habe ich kein Problem^^
Ja und wie berechne ich das dann?
ich bins ja gewohnt, dass ich immer was gegen lim->unendlich laufen lassen kann. Is ja aber hier nicht der fall so einfach.

22.03.2010, 01:22

Iorek

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Dass eine monotone, beschränkte Folge direkt konvergent sein muss, lässt sich auch sehr schnell beweisen falls ihr das noch nicht hattet.

Edit: Zur Grenzwertberechnung:

Dass die Folge konvergiert ist ja nun klar, also existiert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} a_n=a \end{eqnarray*}$ , aber damit natürlich auch $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1}=a \end{eqnarray*}$ , versuch dich mal dadran.

22.03.2010, 02:18

FolgeNicht

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Wenn ich nicht den Ansatz an=2 hätte, dann wüsste ich das nicht.
So kann ich jetzt einfach an=2^(-) einsetzen und an/2 ist immer <1 daher wird auch die ganze funktion "an<1+1"<2 sein.

Also ich schreib morgen klausur, hab auch jetzt net so viel Zeit hier rummzuraten Big Laugh

Big Laugh

...tue ich ja gerade

22.03.2010, 02:21

FolgeNicht

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Ich hätt jetzt ncoh meine letzte Idee, dass an-(an+1)>(an+1)-(an+2)
also wenns das net ist, dann sagt mir die lösung, oder ich breche hiermit ab ...hab kein Bock mehr .. die Klausur ist in 6,5 stunden^^

Vielen Dank für die rege Hilfe!

22.03.2010, 08:34

Iorek

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Nimm doch meinen Hinweis an...

Du weißt die Folge konvergiert gegen einen Wert, nennen wir ihn a: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}a_n=a \end{eqnarray*}$ , dann konvergiert aber natürlich auch $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=a \end{eqnarray*}$ gegen den selben Wert, also haben wir:

$\begin{eqnarray*} a=\lim\limits_{n\to\infty} a_n=\lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}2+1=\frac a2+1 \end{eqnarray*}$ , jetzt kannst du damit a bestimmen.

22.03.2010, 13:24

Simooon

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Hey ich würde das Thema gerne aufgreifen, ich hoffe Folgenicht hat alles noch rechtzeitig vor der Klausur geschafft.
Da ich bald auch eine ähnliche Klausur schreiben werde, wollte ich mal meine Überlegungen zu der posten und würde gerne wissen wie ihr meine Lösung findet.

$\begin{eqnarray*} a_{1}=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{a_{n}}{2}+1 \end{eqnarray*}$
Zeige das die Folge konvergiert und Bestimme den Grenzwert.

Hinweis: Zeige $\begin{eqnarray*} a_{n}<2 \end{eqnarray*}$ und Monotonie

Zeige: $\begin{eqnarray*} a_{n}<2 \end{eqnarray*}$
IA: $\begin{eqnarray*} a_{1}=1<2 \end{eqnarray*}$
IV: $\begin{eqnarray*} a_{n}<2 \end{eqnarray*}$
IS: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{a_{n}}{2}+1\overset{IV}{<}1+1=2 \end{eqnarray*}$
also ist $\begin{eqnarray*} a_{n}<2\forall n \end{eqnarray*}$

Monotonie:
Beh: Folge ist monoton steigend.

IA: $\begin{eqnarray*} a_{1}=1\leq a_{2}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$
IV: $\begin{eqnarray*} a_{n-1}\leq a_{n} \end{eqnarray*}$
IS: $\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{a_{n-1}}{2}+1\overset{!}{\leq}a_{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{\left(\frac{a_{n-1}}{2}+1\right)}{2}+1=\frac{a_{n-1}}{4}+\frac{1}{2}+1=\frac{a_{n-1}}{2}\cdot\frac{a_{n-1}}{2}+\frac{1}{2}+1 \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} a_{n}<2\forall n \end{eqnarray*}$ folgt
$\begin{eqnarray*} <\frac{a_{n-1}}{2}+\frac{1}{2}+1<\frac{a_{n-1}}{2}+1 \end{eqnarray*}$

somit ist $\begin{eqnarray*} a_{n}<a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Also ist die Folge monoton steigend, sogar streng.

Die Folge ist streng monoton steigend und hat eine obere Grenze 2.
Eine streng monotone, beschränkte Folge konvergiert.

So weit bin ich ohne Hilfe gekommen. Beim Grenzwert habe ich Iorek's Post zu Hilfe genommen.

Grenzwert:
Beh: $\begin{eqnarray*} \lim a_{n}=2 \end{eqnarray*}$

Es muss also gelten $\begin{eqnarray*} a=\lim a_{n}=\lim a_{n+1}=\lim\left(\frac{a_{n}}{2}+1\right)=\frac{a}{2}+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a=\frac{a}{2}+1\Rightarrow2a=a+2\Rightarrow a=2 \end{eqnarray*}$

22.03.2010, 14:22

saz

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Im Großen und Ganzen ist es korrekt, was du geschrieben hast. An der Stelle hast du dich aber meiner Meinung nach vertan (bei der letzten Zeile):

Zitat:

Original von Simooon

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac{\left(\frac{a_{n-1}}{2}+1\right)}{2}+1=\frac{a_{n-1}}{4}+\frac{1}{2}+1=\frac{a_{n-1}}{2}\cdot\frac{a_{n-1}}{2}+\frac{1}{2}+1 \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} a_{n}<2\forall n \end{eqnarray*}$ folgt
$\begin{eqnarray*} <\frac{a_{n-1}}{2}+\frac{1}{2}+1<\frac{a_{n-1}}{2}+1 \end{eqnarray*}$

Zunächst mal: Laut deiner obigen Abschätzung kommst du auf so etwas wie $\begin{eqnarray*} a_{n+1} < a_{n-1} \cdot c \end{eqnarray*}$ - daraus folgt aber nicht deine Behauptung, weil du nämlich an der Stelle dort falsch (also in die falsche Richtung) abgeschätzt hast.

Mach es doch lieber so:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n = - \frac{a_n}{2} + 1 > 0 \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} a_n < 2 \end{eqnarray*}$

22.03.2010, 14:50

Iorek

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Alternativ könntest du im IS den Standardschluss von n->n+1 machen:

Iunduktionsanfang ist geschenkt, die Behauptung $\begin{eqnarray*} a_n\leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ gelte nun für ein $\begin{eqnarray*} n~\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Zeige:}~ a_{n+1}\leq a_{n+2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=\frac {a_n}{2}+1 \stackrel{\text{IV}} \leq \frac {a_{n+1}}{2}+1=a_{n+2} \end{eqnarray*}$

Auf die Art brauchst du noch nichtmal die Aussage über die Beschränktheit der Folge.

Wobei beide Wege natürlich zum Ziel führen Augenzwinkern

Augenzwinkern

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