mathematische Theoriefragen

22.03.2010, 18:40

lordofazeroth

mathematische Theoriefragen

1) Eine Funktion f: (0,1] -> R besitzt immer ein globales Extremum oder einen Wendepunkt
Richtig, Mittelwertsatz

2) Eine Matrix A € R nxn ist genau dann invertierbar, wenn Ax=0 unendlich viele Lösungen besitzt.
Falsch, dann ist die Matrix nicht bijektiv

3) Sei f:R^n -> R^n eine lineare Abbildung. Dann ist Bild(f) ein untervektorraum des R^n.
Richtig, weiß aber keine Begründung.

4) Die Funktion f:R^3 -> R^3 : (x,y,z) -> (xy,y+z,x-z) ist linear.
Ich denke Falsch, da x*y

5) Seien v1,...,vk Vektoren in R^n und U der von Ihnen aufgespannte Untervektorraum. Dann ist dim U = k.
Falsch, es könnten sich linear abhängige Vektoren darunter befinden

6)
Sei g: R->R eine beliebig oft differenzierbare Funktion und sei Tg,0(x) die zu g gehörige Taylorreihe um x0=0. Dann gilt Tg,0(x) = g(x).
Ich denke, dass dies für einen Bereich gilt, bin mir aber nicht sicher.

7) Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n a \end{eqnarray*}$ konvergiert, falls a eine Nullfolge ist.
Falsch, 1/n ist eine Nullfolge, die Summe davon divergiert.

8) Sei f: R -> R eine differenzierbare Funktion mit f'(x) = 0. Dann besitzt f an der Stelle x0 ein Maximum oder Minimum.

Falsch, könnte auch ein Wendepunkt sein.

9) Wenn f1: R->R stetig ist und f2: R->R differenzierbar ist, so ist f1°f2 stetig.
Falsch, f1 könnte eine Betragsfunktion sein, diese ist nicht diffbar.

10) Jede injektive Funktion ist entweder monoton wachsend oder fallend.
Richtig

11) Sei A€ R3x3. Dann besitzt das Gleichungssystem Ax(1,1,1) genau dann eine Eindeutige Lösung, wenn 0 keine Eigenwert von A ist.
Falsch, es könnte auch unendlich viele Lösungen haben.

12) Die Funktion f:R^3->R^3 : (x,y,z)-> (root(x), root(y), x+z) ist linear. root==Wurzel
Falsch, wegen der Wurzel.

13) Sei A € Rnxn. 0 ist genau dann ein Eigenwert von A, wenn det(A) ungleich null.
Falsch, wenn A eine EW ist, ist Det(A) = 0

14) Wenn die Reihe Summe An nicht konvergiert, dann ist An keine Nullfolge.
Unbekannt.

15) Wenn die Vektoren v1,v2,v3 € R^4 linear unabhängig sind und v4 € R^4, so gibt es ein i€{1,2,3}, so dass die Vektoren in {v1,v2,v3,v4} \ {v4} linear unabhängig sind.
Ich glaube, das ist Falsch, weiß aber keine Begründung.

16) Sei f:R->R ein beliebig oft differenzierbare Funktion und Tf(x) die zugehörige Taylorreihe mit Entwicklungspunkt x0. Dann gilt in einer Umgebung von x0: Tf(x) = f(x).
Richtig. DAs ist der Fall, wenn das Restglied für n gegen unendlich gegen null strebt.

17) Jede absolut konvergente Reihe besittz eine divergente Minorante.
Falsch, dann wäre die Reihe divergent.

18) Die Funktion f:R^3->R^3 : (x,y,z)->(1/x,y,x+z) ist linear.
Ich sag Richtig, weiß aber keine Begründung.

19) Wenn die Reihe Summe An nicht konvergiert, dann ist an keine Nullfolge.
Falsch, 1/n ist eine NF, die SUmme divergiert trotzdem.

20) Sei f eine Funktion der Form f(x) = g(x) / h(x). Wenn h(x0)0 dann ist der Punkt x0 eine nicht hebbare Unstetigkeitsstelle von f.
Falsch, z.B. Sin(x) / x

22.03.2010, 18:52

saz

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