Integration, die 4te

23.03.2010, 22:42

Dalice66

Integration, die 4te

Moin Leute,

hier ist mal was Neues...

Wie berechne ich folgendes Integral?

Hier habe ich leider gar keinen Plan...

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \frac{1}{3x^2+8x+4} dx \end{eqnarray*}$

23.03.2010, 22:55

Leopold

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Der klassische Weg: Partialbruchzerlegung

Die Stichwortsuche wird dir Tausende von Beiträgen hier im Board liefern.

23.03.2010, 22:56

mYthos

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Den Nenner kann man doch zerlegen ...
___________

Wenn es dir nicht um die Stammfunktion, sondern um das Einsetzen der Grenzen geht:
Tipp: Schreibe das Ergebnis als Logarithmus eines einzigen Bruches - mit der oberen Grenze x - und bestimme dann zuerst den Grenzwert des Bruches für $\begin{eqnarray*} x\to \infty \end{eqnarray*}$ und danach erst dessen Logarithmus.

mY+

23.03.2010, 23:07

Dalice66

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Hallo beide...

Ich hatte mich nicht deutlich ausgedrueckt:

Ich soll das uneigentliche Integral berechnen...

@Leopold: Unser Prof sagte, dass das auch ohne gehen soll...

Ok, zerlegen... ich dachte mir so etwas schon. Das waere dann ja

1 Drittel a + 1 Drittel b...

23.03.2010, 23:07

Mulder

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RE: Integration, die 4te
Oder man macht eine quadratische Ergänzung im Nenner und formt ein bisschen um. Dann könnte man mit dem tanh substituieren.

23.03.2010, 23:14

Dalice66

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RE: Integration, die 4te
Hi Mulder...

Wie soll das denn funktionieren?

23.03.2010, 23:16

mYthos

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Wie das mit dem uneigentlichen Integral funktioniert - hast du den Tipp nicht gelesen?

Und:
$\begin{eqnarray*} 3x^2 + 8x + 4 = (3x + 2)(x+2) \end{eqnarray*}$

Oder?

mY+

EDIT: Wenn die Partialbruchzerlegung nicht erwünscht ist, dann lasse dir bitte von Mulder weiterhelfen.

23.03.2010, 23:19

Leopold

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Oder substituiere gleich

$\begin{eqnarray*} x = -2 \cdot \frac{\operatorname{e}^{4t} - 1}{\operatorname{e}^{4t} - 3} \end{eqnarray*}$

Und wenn du wissen willst, wie ich auf diese geniale Idee gekommen bin: Ich habe das Integral zuerst über eine Partialbruchzerlegung bestimmt. Dann habe ich einfach das gefundene Ergebnis substituiert. Dieser Vorschlag ist also nicht ernst gemeint.

23.03.2010, 23:19

Dalice66

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Sorry,

ich versuche momentan allen gleichzeitig zu antworten. Es ist schon spaet...

Also Wink

23.03.2010, 23:19

Mulder

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RE: Integration, die 4te
Naja, das ist schon ein bisschen Rumfummelei. Aber eigentlich ganz schön, finde ich. Ich mach mal den Anfang.

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{3x^2+8x+4} \, \dx =\frac{1}{3} \int \frac{1}{x^2+\frac{8}{3}x+\frac{4}{3}} \, \dx \end{eqnarray*}$

Jetzt eine quadratische Ergänzung im Nenner liefert:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \int \frac{1}{\left ( x+\frac{4}{3} \right )^2 -\frac{4}{9}} \, \dx \end{eqnarray*}$

Jetzt -(4/9) im Nenner ausklammern und vor das Integral ziehen. Danach noch eine kleine Umformung und der Weg zum tanh ist geebnet.

Edit: Oha, da haben sich ja nun einige Beiträge dazwischen geschoben. Dalice wird hier ja jetzt mit Vorschlägen bombadiert.

23.03.2010, 23:22

mYthos

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Ich klinke mich hier mal aus ...

mY+

24.03.2010, 12:56

Simooon

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hey das ist eine gute aufgabe für mich zum üben. ich klink mich einfach ein und poste, was ich mir dazu gedacht hab.
ich hab versucht das mit der Partialbruchzerlegung zu lösen.

Nur mal als Frage so nebenbei, die Partialbruchzerlegung macht nur Sinn, wenn man es schafft die Zähler von der Integrationsvariable unabhängig zu machen, oder?

Aber zur Aufgabe, ich würd so vorgehen.
1. 1/3 rausziehen
2. die Nullstellen im Nenner ermitteln: $\begin{eqnarray*} x_{1}=-\frac{2}{3}, x_{2}=-2 \end{eqnarray*}$
und die Fkt. dann umformen.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\int\frac{1}{\left(x+\frac{2}{3}\right)\left(x+2\right)}dx \end{eqnarray*}$

3. Partialbruchzerlegung

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\left(x+\frac{2}{3}\right)\left(x+2\right)}=\frac{A}{x+\frac{2}{3}}+\frac{B}{x+2}=\frac{A(x+2)+B(x+\frac{2}{3})}{\left(x+\frac{2}{3}\right)\left(x+2\right)} \end{eqnarray*}$

Nullstellen in $\begin{eqnarray*} 1=A(x+2)+B(x+\frac{2}{3}) \end{eqnarray*}$ einsetzen um Werte für A und B zu ermitteln

$\begin{eqnarray*} x=-\frac{2}{3}: 1=A\cdot\frac{4}{3}+B\cdot0\Rightarrow A=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=-2: 1=A\cdot0+B\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)\Rightarrow B=-\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$
Also können wir das Integral schreiben als: $\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{3x^{2}+8x+4}dx=\frac{1}{3}\int\frac{1}{x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{4}{3}}dx=\frac{1}{3}\int\frac{1}{\left(x+\frac{2}{3}\right)\left(x+2\right)}dx=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{4}\int\frac{1}{x+\frac{2}{3}}-\frac{4}{3}\int\frac{1}{x+2}\right)=\frac{1}{4}\log\left(x+\frac{2}{3}\right)-\frac{1}{4}\log\left(x+2\right)+const. \end{eqnarray*}$

24.03.2010, 15:34

Dalice66

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Hi Mythos,

Partialbruchzerlegung muss ich auch noch machen. Ich komme irgendwann nochmal darauf zurück, aber mit einer anderen Aufgabe...

Wink

24.03.2010, 23:51

Dalice66

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Jo,

ich vesuche das von mir Verstandene mal aufzuschreiben...

$\begin{eqnarray*} -\frac{3}{4} \int \frac{1}{\left ( x+\frac{4}{3} \right )^2 +1} \, \dx \end{eqnarray*}$

Was meinst du denn mit der "kleinen Umformung" und was mache ich mit den Grenzen?

25.03.2010, 01:30

Mulder

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RE: Integration, die 4te
Da hast du ja nun nur die (4/9) durch -(4/9) geteilt. Was ist denn mit dem anderen Summanden im Nenner? Kann man ja nicht einfach aus Bequemlichkeit vernachlässigen. Vernünftig ausklammern:

$\begin{eqnarray*} ... = \frac{1}{3} \int \frac{1}{ -\frac{4}{9} \left ( -\frac{(x+\frac{4}{3})^2}{\frac{4}{9}} +1 \right ) } \, \dx = -\frac{3}{4} \int \frac{1}{ 1 -\frac{(x+\frac{4}{3})^2}{\frac{4}{9}} } \, \dx \end{eqnarray*}$

So. Nun musst du dir immer vor Augen halten, wo du eigentlich hin willst. Für den tanh gilt ja:

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tanh (x) = 1-\tanh^2 (x) \end{eqnarray*}$

Damit man mit dem tanh substituieren kann, betrachte nochmal den Nenner. Da jetzt noch ein klein wenig tricksen (und geeignet Potenzgesetze anwenden):

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ 1 -\frac{(x+\frac{4}{3})^2}{\frac{4}{9}} } = 1 - \left ( \frac{x+\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}} \right )^2 = 1 - \left ( \frac{3x+\frac{12}{3}}{2} \right )^2 = 1 - \left ( \frac{3}{2}x+2 \right )^2 \end{eqnarray*}$

Man landet also bei

$\begin{eqnarray*} - \frac{3}{4} \int \frac{1}{1 - \left ( \frac{3}{2}x+2 \right )^2} \, \dx \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man substituieren. Ich würde das vielleicht in zwei Schritte aufteilen: Erst die lineare Substitution

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}x+2 = u \end{eqnarray*}$

Dann ergibt sich ein Integral, das du mit der Substitution mit dem Tangens Hyperbolicus (wenn du magst, kannst du die ganze Substitution anstatt in zwei Schritten auch in einem Zug machen, das ist dir überlassen, mach das, was du übersichtlicher und einfacher findest) sehr vereinfachen kannst.

Von den Grenzen lässt du erstmal die Finger. Wir betrachten hier im Moment einfach das unbestimmte Integral. Wir können (müssen) ja nachher rücksubstituieren, dann bleiben die Grenzen die selben.

Edit: Wobei mir gerade schmerzlich bewusst wird, dass eine Stammfunktion hier ja stückweise definiert werden muss. Für

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{1-x^2} \end{eqnarray*}$

ist eine Stammfunktion ja:

$\begin{eqnarray*} F(x)=\begin{cases} \operatorname{artanh} (x) \quad , \quad |x|<1\\<br /> \operatorname{arcoth}(x) \quad, \quad |x|>1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Denn der artanh ist für |x|>1 gar nicht definiert, der arcoth hingegen für |x|<1 nicht. Das sieht man ja an den Logarithmusdarstellungen dieser Prachtstücke. Und der tanh beispielsweise bildet ja auch nur auf das Intervall (-1,1) ab. Für den coth gilt ja jedenfalls analog

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \operatorname{coth}(x) = 1-\operatorname{coth^2}(x) \end{eqnarray*}$

Wenn man bedenkt, dass wir vorher mit (3/2)x+2=u substituiert haben, ist es wohl sinnvoller, mit dem coth zu substituieren, denn es wird sich arcoth(u) ergeben mit u>1 auf dem zu integrierenden Intervall. Da macht der artanh keinen Sinn.

Also entschuldige bitte die Verwirrung, aber mit diesen Dingern arbeitet man sonst ja wirklich nie, da vergisst man sowas gerne mal. Nach der linearen Substitution schlage ich die weitere Substitution

$\begin{eqnarray*} u = \operatorname{coth}(x) \end{eqnarray*}$

vor, damit sollte man auf der sicheren Seite sein. Die PBZ ist hier zwar langweiliger, aber auch wesentlich unproblematischer.

25.03.2010, 15:58

Dalice66

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RE: Integration, die 4te
Hi Mulder,

das ist ziemlich aufwendig. Ich danke dir erstmal für die Mühe zu dieser nachtschlafenden Zeit... smile

26.03.2010, 10:24

mYthos

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Ich hätt's dennoch eher mit der PBZ gerechnet.
Interessanter ist ja danach die Berechnung des uneigentlichen Integrals.

mY+

26.03.2010, 12:29

Dalice66

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Hi Mythos,

ich bin gerade dabei mir PBZ anzueignen. Alles immer schön der Reihe nach smile

26.03.2010, 12:50

Mulder

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Zitat:

Original von mYthos
Interessanter ist ja danach die Berechnung des uneigentlichen Integrals.

Da gibt's keine Probleme, wenn man den arcoth in die Logarithmusschreibweise umschreibt, ist das genau der gleiche Kram, der sich auch bei der PBZ ergeben hätte.

Aber die PBZ ist in der Tat der etwas bequemere Weg hier. smile

27.03.2010, 17:08

Dalice66

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So,

um das Thema mal abzuschliessen, habe ich die Aufgabe mit PBZ gerechnet und komme auf :

$\begin{eqnarray*} ...\frac{ln\left(\frac{x+\frac{2}{3} }{x+2} \right) }{4} \end{eqnarray*}$

Nachdem ich nun beide Verfahren mir angucken und durchrechnen konnte, halte ich die PBZ fuer wesentlich "zugaenglicher"... smile

Ok, wie mache ich denn jetzt weiter? Lasse ich den Kram nun gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ laufen?

27.03.2010, 17:32

Mulder

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RE: Integration, die 4te
Dann wird der andere Ansatz nun wohl nicht mehr zuende verfolgt, schade eigentlich. Um zu zeigen, dass der Ansatz mit dem coth genau das gleiche Ergebnis geliefert hätte (um diese Lücke in diesem Thread nun noch zu schließen):

$\begin{eqnarray*} - \frac{3}{4} \int \frac{1}{1 - \left ( \frac{3}{2}x+2 \right )^2} \, \dx \end{eqnarray*}$

Mit der Substitution

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}x+2 = u \end{eqnarray*}$

landet man dann bei

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2} \int \frac{1}{1-u^2} \, \dd u \end{eqnarray*}$

und nun noch mit

$\begin{eqnarray*} u = \operatorname{coth}(t) \quad \Rightarrow \quad \dd u = 1- \operatorname{coth}^2(t) \, \dd t \end{eqnarray*}$

ergibt sich schließlich

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \int \dd t = -\frac{1}{2} t \end{eqnarray*}$

Was nach beiden Rücksubstitutionen zu

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \operatorname{arcoth}\left ( \frac{3}{2}x+2 \right ) \end{eqnarray*}$

geführt hätte. Mit der Identität

$\begin{eqnarray*} \operatorname{arcoth}(x) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) \end{eqnarray*}$

wäre man dann bei

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4} \ln \left ( \frac{\frac{3}{2}x+3}{\frac{3}{2}x+1} \right ) \end{eqnarray*}$

gelandet. Ein paar kleine Umformunge (Logarithmengesetze), und man landet bei exakt dem gleichen Ergebnis, wie auch die PBZ ergeben hat. Das kann man sich aber auch sparen und gleich die Grenzen einsetzen. Das führt logischerweise auch so alles zum gleichen Ergebnis.

Das übrigens wie lautet?

27.03.2010, 18:00

Dalice66

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RE: Integration, die 4te
Hi Mulder,

ich danke dir fuer deinen Ansatz. Ehrlicherweise finde ich ihn fuer mich schwieriger...Ich versuche mich zunaechst an die einfacheren Standardmodelle zu halten, um in Klausuren zu bestehen.

Mit dem Tip von Mythos (Grenzen einsetzen) wuerde ich jetzt fuer x unendlich einsetzen und kaeme auf

$\begin{eqnarray*} \frac{\infty +...}{\infty +...} \end{eqnarray*}$

was insgesamt das gleiche ist wie ln1=0 ???

und

$\begin{eqnarray*} \frac{0}{4} =0 \end{eqnarray*}$

verwirrt

27.03.2010, 18:13

Mulder

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RE: Integration, die 4te

Zitat:

Original von Dalice66
Ehrlicherweise finde ich ihn fuer mich schwieriger...

Ist er auch. Es ist auch völlig richtig, sich an die einfacheren Varianten zu halten, gerade in Klausuren, wo man unter Zeitdruck steht. Aber wenn man nicht gerade unter Zeitdruck steht, sind solche interessanten Alternativen ja ganz nett.

Zum Einsetzen der Grenzen: Was hast du da denn nun schon wieder gemacht? Woher kommt da das 0/4 denn? Bestimmt hatten wir:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{3x^2+8x+4} \, \dx = \frac{1}{4} \ln \left( \frac{x+\frac{2}{3} }{x+2} \right ) \end{eqnarray*}$

Jetzt setz doch einfach die Grenzen ein. Für die obere Grenze bildest du eben den Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty} \frac{1}{3x^2+8x+4} \, \dx = \frac{1}{4} \left ( \lim_{b \to \infty} \left ( \ln \left( \frac{b+\frac{2}{3} }{b+2} \right ) \right ) - \ln \left( \frac{0+\frac{2}{3} }{0+2} \right ) \right ) \end{eqnarray*}$

Edit: Ach, jetzt sehe ich, woher die 0/4 kommen. Ja, ist durchaus richtig. Für die obere Grenze ergibt sich einfach 0. Dann wird die untere Grenze es also rausreißen müssen. Was bekommst du da?

28.03.2010, 11:07

Dalice66

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RE: Integration, die 4te
hahaha,

wie geil...

"Was hast du da denn nun schon wieder gemacht?" Ich sehe vor meinem inneren Auge jemanden, der des Oefteren schon fassungslos den Kopf geschuettelt hat... Big Laugh

Ist bei mir aber so. Ich fuell ja langsam die Luecken, sonst wuerde ich ja nicht alles zuposten hier...

Fuer die untere Grenze erhalte ich 0,275...

Das muesste dann auch das Endergebnis sein

28.03.2010, 11:20

Mulder

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RE: Integration, die 4te

Zitat:

Original von Dalice66
Ist bei mir aber so. Ich fuell ja langsam die Luecken, sonst wuerde ich ja nicht alles zuposten hier...

In diesem Fall war es ja unangebracht, ich hatte nur nicht so ganz durchblickt, was du da gemacht hast. Falsch war es aber ja gar nicht.

Zitat:

Original von Dalice66
Fuer die untere Grenze erhalte ich 0,275...

In der Tat. Beziehungsweise, um das exakte Ergebnis stehen zu lassen:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty} \frac{1}{3x^2+8x+4} \, \dx = \frac{1}{4}\ln(3) \end{eqnarray*}$

28.03.2010, 12:40

Dalice66

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RE: Integration, die 4te
Danke fuer die Unterstuetzung...

Wink

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