Beweis in Algebraische Topologie

24.03.2010, 07:05

susanne20

Beweis in Algebraische Topologie

Hallo Leute!! Wink

Ich löse grade Aufgaben in Algebraische Topologie, jedoch bin ich an einer Aufgabe hängengeblieben und komme einfach nicht mehr weiter traurig

Ich wäre echt sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte. Also die Aufgabe lautet folgendermaßen:

Zeige: $\begin{eqnarray*} H0(X,A)=0 \Leftarrow\Rightarrow A \end{eqnarray*}$ trifft jeden wegzusammenhängenden Komponent von X

und

Zeige: $\begin{eqnarray*} H1(X,A)=0 \Leftarrow\Rightarrow H1 (A) \Rightarrow H1(X) \end{eqnarray*}$ ist surjektiv und jeder wegzusammenhängender Komponent von X beinhaltet höchstens einen wegzusammenhängenden Komponent von A.

Ich kann nicht mal einen Ansatz machen unglücklich

Bitte hilft mir Hilfe

gruß
susanne20

25.03.2010, 22:47

Abakus

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RE: Beweis in Algebraische Topologie
Hallo!

Zitat:

Original von susanne20
Zeige: $\begin{eqnarray*} H0(X,A)=0 \Leftarrow\Rightarrow A \end{eqnarray*}$ trifft jeden wegzusammenhängenden Komponent von X

und

Zeige: $\begin{eqnarray*} H1(X,A)=0 \Leftarrow\Rightarrow H1 (A) \Rightarrow H1(X) \end{eqnarray*}$ ist surjektiv und jeder wegzusammenhängender Komponent von X beinhaltet höchstens einen wegzusammenhängenden Komponent von A.

Was bedeuten deine Bezeichnungen: $\begin{eqnarray*} H_0, A, X \end{eqnarray*}$ und welche Voraussetzungen hast du?

Grüße Abakus smile

27.03.2010, 07:23

addor

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Ja, gute Frage, Abakus. Meint Susanne20 nun die Homologie $\begin{eqnarray*} H_n \end{eqnarray*}$ oder die Cohomologie $\begin{eqnarray*} H^n \end{eqnarray*}$ ? Und wenn X und A nur Simplizialkomplexe wären, dann wäre die Aufgabe einfacher zu lösen, als wenn X und A allgemeine topologische Räume sind.

Aber wahrscheinlich werden wir es nie mehr erfahren....

03.04.2010, 03:15

akechi90

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Sofern es sich um die simpliziale Homologie handelt, könnte es eventuell hilfreich sein, die Homologiesequenzen aufzustellen. Außerdem kannst du dich wegen $\begin{eqnarray*} H_n(X,A) = \oplus_{i \in I} H_n(X_i,A_i) \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} A_i = A \cap X_i \end{eqnarray*}$ ) auf die einzelnen Wegzusammenhangskomponenten spezialisieren. Ich schaue, ob ich etwas mehr rausbekomme, aber das wäre zumindest einmal ein anständiger Ansatz.

EDIT:
Zumindest die erste Aufgabe ist ziemlich einfach: Wenn du annimmst, dass O.B.d.A. X wegzusammenhängend ist (einfach den Raum in Wegzusammenhangskomponenten zerlegen!), dann ist $\begin{eqnarray*} H_0(X) = \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , dann bekommst du eine lange exakte Sequenz:
$\begin{eqnarray*} ... \to H_0(A) \to H_0 (X) \to H_0 (X,A) \to 0 \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} ... ... \to H_0(A) \to \mathbb Z \to H_0 (X,A) \to 0 \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} H_0(X,A) = 0 \end{eqnarray*}$ , dann muss die entsprechende Abbildung $\begin{eqnarray*} H_0(A) \to \mathbb Z \end{eqnarray*}$ surjektiv sein (das siehst du wegen der Exaktheit), dann folgt $\begin{eqnarray*} A \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ .
Andersrum muss man zeigen, dass wenn $\begin{eqnarray*} A \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ , dann ist die Abbildung $\begin{eqnarray*} H_0(A) \to \mathbb Z \end{eqnarray*}$ surjektiv und damit $\begin{eqnarray*} H_0(A) = 0 \end{eqnarray*}$ . Das kann man anschaulich recht einfach beweisen: Die Erzeuger von $\begin{eqnarray*} H_0(A) \end{eqnarray*}$ sind die Wegzusammenhangskomponenten von A, außerdem ist der Erzeuger von $\begin{eqnarray*} H_0(X) = \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gerade X selbst. Die Abbildung $\begin{eqnarray*} H_0(A) \to H_0(X) \end{eqnarray*}$ bildet den Erzeuger $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ gerade auf den Erzeuger X ab. Wenn A nichtleer ist, hast du damit direkt deine Surjektivität und folglich $\begin{eqnarray*} H_0(X,A) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Die zweite Aufgabe dürfte recht ähnlich laufen, mit einigen technischen Erschwernissen.

Gruß,
Carsten

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