Konvergenz und Konvergenzradius

24.03.2010, 19:04

Shalec

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Konvergenz und Konvergenzradius

Zu Beginn eine Fragen zu Abgeschlossenheit: sehe ich das richtig, dass eine Menge abgeschlossen ist, wenn jedes mögliche Erbenis auch selbst in der Menge liegt?

Bsp.: $\begin{eqnarray*} x^3+y^2=c\ mit\ x,y,c\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
dort ist jedes Ergebnis ja auch in der Menge selbst..
aber, nehmen wir mal an, die "Funktion" sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=c\ mit\ x,y,c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
da es ja c<0 sein kann, das jedoch nicht in der Menge selbst liegt, ist diese Menge ja nicht abgeschlossen richtig? (gleiches beispiel, x²=-2, einführung in die komplexen zahlen)

Konvergenz:
es gibt ja mehrere Methoden die Konvergenz nachzuweisen (dieser Nachweis ist nun idR nicht so schwierig..), dazu zählen Kriterien:
Quotientenk., Wurzelk., Majorantenk., Satz von Bolzano-Weierstraß, ... (fehlende bitte noch mal ergänzen smile

smile

)
nun beim Quotientenk. ist ja gegeben:
$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}}<1 \Rightarrow a_n<a_{n+1} \Rightarrow Folge\ ist\ monoton\ wachsend \end{eqnarray*}$ ,
ich weiß z.B. dass wenn dies gleich 1 ist, dass der Anwendungsraum dieses Kriteriums überschritten ist, also das es dann nicht mehr gilt (warum? das zeigt, das der nachfolge Term gleich dem vorgänger Term ist, die FUnktion ist dann linear, ohne Steigung im 2D-Koordinatensystem z.B., damit ist die folge nicht mehr monoton wachsend, jedoch trotzdem beschränkt...gilt da dann die konvergenzheit nicht mehr? vielleicht anhand eines Beispiels erläutern?)

hm...jetz wollt ich noch mehr fragen, aber muss mit meiner freundin jetzt essen gehn (hab geburtstag, schreib aber in ein paar tagen ne klausur ^^')

daher eben nochmal kurzform zum rest:
bitte nochmal die restlichen kriterien auflisten, und die anwendung verdeutlichen.
auch das quotientenk. nochmal anhand eines beispiels bitte erklären, da ich noch nicht genau weiß, wie ich das auf eine folge anwenden kann...
und zum schluss, wie kann ich dann den konvergenzradius berechnen?

Und noch eine frage, da ich keinen weiteren thread öffnen will,
eine frage war mal in etwa so:

sei $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Reihe, der $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to \infty}{a_n}=a \end{eqnarray*}$ , zeigen sie, dass auch für $\begin{eqnarray*} x_n=sup\{a_k : \forall k \leq n\}\\ \lim\limits_{n \to \infty}{x_n}=a \end{eqnarray*}$ gilt. (Bei der Menge bin ich mit jetzt nicht 100% sicher, aber so in etwa war die aufgabe, mit der ich rein gar nichts anfangen konnte, daher bitte ich nun mir dies mal zu erklären smile

smile

ich weiß, dass gilt, wenn die folge beschränkt ist, auch alle teilfolgen mit der gleichen schranke beschränkt sind..)

Liebe Grüße und vielen Dank!
Shalec

24.03.2010, 23:46

giles

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RE: Konvergenz und Konvergenzradius

Zitat:

Original von Shalec
hm...jetz wollt ich noch mehr fragen, aber muss mit meiner freundin jetzt essen gehn (hab geburtstag, schreib aber in ein paar tagen ne klausur ^^')

Ähm ja... guten Appetit... verwirrt

verwirrt

Zitat:

Zu Beginn eine Fragen zu Abgeschlossenheit: sehe ich das richtig, dass eine Menge abgeschlossen ist, wenn jedes mögliche Erbenis auch selbst in der Menge liegt?

Bsp.: $\begin{eqnarray*} x^3+y^2=c\ mit\ x,y,c\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
dort ist jedes Ergebnis ja auch in der Menge selbst..
aber, nehmen wir mal an, die "Funktion" sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=c\ mit\ x,y,c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
da es ja c<0 sein kann, das jedoch nicht in der Menge selbst liegt, ist diese Menge ja nicht abgeschlossen richtig? (gleiches beispiel, x²=-2, einführung in die komplexen zahlen)

Nein, das siehst du falsch. unglücklich

unglücklich

http://de.wikipedia.org/wiki/Abgeschlossenheit

Außerdem ist keines deiner Beispiele eine Menge. Wenn du meinst

$\begin{eqnarray*} \left\{x,y \in \mathbb{R}\vert x^3+y^2=c, c\in \mathbb{R}\right\} \end{eqnarray*}$

ist deine Überlegung trotzdem reichlich seltsam, denn es existieren hier wiederum reichlich komplexe Lösungen für die andere Variable, wenn man eine als reell festhält.
$\begin{eqnarray*} y=\pm \sqrt{c-x^3} \end{eqnarray*}$

Zitat:

es gibt ja mehrere Methoden die Konvergenz nachzuweisen (dieser Nachweis ist nun idR nicht so schwierig..), dazu zählen Kriterien:
Quotientenk., Wurzelk., Majorantenk., Satz von Bolzano-Weierstraß, ... (fehlende bitte noch mal ergänzen smile

smile

)
nun beim Quotientenk. ist ja gegeben:
$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}}<1 \Rightarrow a_n<a_{n+1} \Rightarrow Folge\ ist\ monoton\ wachsend \end{eqnarray*}$ ,

Falsch, das ist nicht das Quotientenkriterium. Das verlangt dass $\begin{eqnarray*} \exists 0<\theta <1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |\frac{a_n}{a_{n+1}}| \leq \theta : \forall n \geq n_0 \end{eqnarray*}$
Das ist kein trivialer Unterschied.

Zitat:

ich weiß z.B. dass wenn dies gleich 1 ist, dass der Anwendungsraum dieses Kriteriums überschritten ist, also das es dann nicht mehr gilt (warum? das zeigt, das der nachfolge Term gleich dem vorgänger Term ist, die FUnktion ist dann linear, ohne Steigung im 2D-Koordinatensystem z.B., damit ist die folge nicht mehr monoton wachsend, jedoch trotzdem beschränkt...gilt da dann die konvergenzheit nicht mehr? vielleicht anhand eines Beispiels erläutern?)

Dann weißt du es nicht, sondern jemand hat es dir gesagt. Dir ist sicher bekannt, dass
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1} ^{\infty} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$
divergiert. Mit dem Quotientenkriterium sieht das nach dir so aus:
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1}<1 \end{eqnarray*}$ ist sicher wahr für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

darum sagt das echte Quotientenkriterium auch was anderes aus. Im limes geht das nämlich gegen 1, also kann es kann kein $\begin{eqnarray*} 0< \theta < 1 \end{eqnarray*}$ geben, so dass für alle n gilt
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1}\leq \theta \end{eqnarray*}$

Zitat:

bitte nochmal die restlichen kriterien auflisten, und die anwendung verdeutlichen.
auch das quotientenk. nochmal anhand eines beispiels bitte erklären, da ich noch nicht genau weiß, wie ich das auf eine folge anwenden kann...
und zum schluss, wie kann ich dann den konvergenzradius berechnen?

Nein zu allem; wenn du einen Glossar willst, dann such dir was zusammen und wenn du Beispiele willst, dann rechne sie selbst und wenn du dann aus irgendwelchen Gründen Probleme hast, helfen hier alle gern weiter.

Zitat:

sei $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Reihe, der $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to \infty}{a_n}=a \end{eqnarray*}$ , zeigen sie, dass auch für $\begin{eqnarray*} x_n=sup\{a_k : \forall k \leq n\}\\ \lim\limits_{n \to \infty}{x_n}=a \end{eqnarray*}$ gilt. (Bei der Menge bin ich mit jetzt nicht 100% sicher, aber so in etwa war die aufgabe[...]

Dann guck das noch mal nach. Ich hab das Gefühl es sollte eher $\begin{eqnarray*} k\geq n \end{eqnarray*}$ lauten.

25.03.2010, 16:37

Shalec

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Danke schonmal für die antwort smile

smile

also, nachgucken ist schwer, das war ne aufgabe in der letzten klausur. aber du könntest durchaus recht haben.. ich denke mittlerweile auch, dass das eher sorum richtig ist.

hab mir das jetzt nochmal genauer angeguckt, mit hilfe des buches von u.a. tilo arens, und jetzt versteh ich nur eine sache nicht mehr so ganz, die beispiele sind nicht so nachvollziehbar.
also: es gilt ja $\begin{eqnarray*} \vline \frac{a_{n+1}}{a_n}\vline \leq r \qquad \forall n \geq P; \qquad mit\ 0 \leq r < 1 \qquad und\ P \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Meinge Frage dazu ist jetzt: Wenn man das kriterium an einem Bruch anwendet, macht man das dann so:
$\begin{eqnarray*} gegeben\ ist:\ \frac{n^7}{n!}\\ Quotientenkriterum: \frac{\frac{n^{7+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^7}{n!}} \end{eqnarray*}$

oder so:
$\begin{eqnarray*} \frac{n^{7+1}}{n!} \end{eqnarray*}$

Für mich macht varriante 1 mehr Sinn...

und wenn ich für diese Aufgabe jetzt den $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \end{eqnarray*}$ berechnen will, wie mache ich das am besten?

ich weiß, dass |n^7| echt größer ist als |n!|..aber ich glaub, dass ich das nicht annehmen kann. betrachte ich nun den zähler und nenner einzeln, berechne dafür den Grenzwert, dann komme ich auf unendlich durch unendlich = 1, das ist aber falsch... ich meine, dass dies keinen Grenzwert hat, bzw. dieser bei unendlich liegt...

liebe Grüße

25.03.2010, 16:56

giles

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Zitat:

Original von Shalec
$\begin{eqnarray*} gegeben\ ist:\ \frac{n^7}{n!}\\ Quotientenkriterum: \frac{\frac{n^{7+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^7}{n!}} \end{eqnarray*}$

oder so:
$\begin{eqnarray*} \frac{n^{7+1}}{n!} \end{eqnarray*}$

Für mich macht varriante 1 mehr Sinn...

also erstmal wenn das ne Umformung sein sollte

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{n^{7+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^7}{n!}} \neq \frac{n^{7+1}}{n!} \end{eqnarray*}$

wenn das keine ist: was hat der letzte Ausdruckt dort zu suchen? Warum untersuchst du einen Ausdruck der nichts mit dem Quotientenkriterium zu tun hat? Form lieber erst mal den

Zitat:

und wenn ich für diese Aufgabe jetzt den $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \end{eqnarray*}$ berechnen will, wie mache ich das am besten?

ich weiß, dass |n^7| echt größer ist als |n!|..aber ich glaub, dass ich das nicht annehmen kann. betrachte ich nun den zähler und nenner einzeln, berechne dafür den Grenzwert, dann komme ich auf unendlich durch unendlich = 1, das ist aber falsch... ich meine, dass dies keinen Grenzwert hat, bzw. dieser bei unendlich liegt...

Sicher dass du Mathe studierst? verwirrt

verwirrt

Erst mal ist n^7 nicht echt größer als n!, sei also mal vorsichtig was du "Wissen" nennst: $\begin{eqnarray*} 11^7 < 11! \end{eqnarray*}$
Was soll denn "unendlich durch unendlich" bedeuten? Diese ganze Argumentation ist Blödsinn. Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} n = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n} \overset{??}{=} \frac{\infty}{\infty} \overset{??}{=} 1 \end{eqnarray*}$

hm, ist wohl $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} n=1 \end{eqnarray*}$ ? geschockt

geschockt

Was du jetzt tun solltest, ist
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{n^{7+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^7}{n!}} \end{eqnarray*}$ umformen und untersuchen

25.03.2010, 17:19

Shalec

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ich war mir halt nicht sicher, wie ich das quotientenkriterium anwenden soll, daher 2 varrianten.
Dann forme ich den Ausdruck jetzt mal um..

$\begin{eqnarray*} = \frac{n^8\cdot n!}{n^7 \cdot (n+1)!}=\frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

und das ist ja gerade $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1}\leq r < 1 \end{eqnarray*}$ , somit absolut konvergent.

und der Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R=\lim\limits_{n\to\infty}{\vline\frac{n}{n+1}\vline}=1 \end{eqnarray*}$

laut: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/ku...s53/seite5.html ist aber 0 die richtige lösung..

wenn ich jetzt aber noch weiter umforme: $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1}=n\cdot \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$
und da der 2. faktor eine Nullfolge für n->oo darstellt, kann ich das, laut meiner bislang noch erhaltenen schul-grundkurs-mathematik, durch 0 annähern, bzw. annehmen, es ist gleich null, da es sich der null mit wachsendem n annähert, also 1/n+1 kann ich durch 0 ersetzen, damit erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} R=\lim\limits_{n\to\infty}{n\cdot \frac{1}{n+1}}=0 \end{eqnarray*}$

d.h. meine erste annahme ist falsch. das ergebnis ist nun richtig..magst du mir vlt. noch eine ähnliche aufgabe zum testen stellen, ob ich das q-krit. verstanden hab?

btw. ich war nur 1/3 des Semesters in der Uni, gab paar gesundheitliche und finantielle probleme, die mir das studieren erschweren. nun hole ich alles nach, aus dem semester. aber egal, du hast vollkommen recht, dass meine intuitiven annahmen keines falls mathematisch begründet sind und auch - meistens - in keiner weise der mathematik entsprechen.

liebe grüße

25.03.2010, 17:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von giles
Falsch, das ist nicht das Quotientenkriterium. Das verlangt dass $\begin{eqnarray*} \exists 0<\theta <1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |\frac{a_n}{a_{n+1}}| \leq \theta : \forall n \geq n_0 \end{eqnarray*}$

Kleiner Fehler, richtig ist:
$\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \leq \theta : \forall n \geq n_0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Shalec
Meinge Frage dazu ist jetzt: Wenn man das kriterium an einem Bruch anwendet, macht man das dann so:
$\begin{eqnarray*} gegeben\ ist:\ \frac{n^7}{n!}\\ Quotientenkriterum: \frac{\frac{n^{7+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^7}{n!}} \end{eqnarray*}$

Wie kommt es zu dem $\begin{eqnarray*} n^{7+1} \end{eqnarray*}$ im Zähler? Das hat doch nichts mit $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ zu tun. unglücklich

unglücklich

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25.03.2010, 18:26

giles

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Zitat:

Original von klarsoweit
Kleiner Fehler, richtig ist:
$\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \leq \theta : \forall n \geq n_0 \end{eqnarray*}$

Wie kommt es zu dem $\begin{eqnarray*} n^{7+1} \end{eqnarray*}$ im Zähler? Das hat doch nichts mit $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ zu tun. unglücklich

unglücklich

Finger1

Hast natürlich beides mal Recht. Bin wohl etwas durcheinandergekommen.
Ist aber auch schwierig auf sowas zu antworten wenn man zig Fragen auf einmal stellt und überall was daneben ist böse

böse

Also: Sorry, du musst dir das hier ansehen:
$\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\frac{\frac{(n+1)^7}{(n+1)!}}{\frac{n^7}{n!}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1}\leq r < 1 \end{eqnarray*}$

Das hatten wir doch schon eben, dass dem eben nicht so ist? $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen 1, es kann also keine Schranke $\begin{eqnarray*} r<1 \end{eqnarray*}$ geben...

25.03.2010, 18:55

Shalec

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schade, dass das editieren grad nicht mehr geht:
hab jetzt diese aufgabe:

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n})^{2n} \end{eqnarray*}$

das nun umgeformt:
$\begin{eqnarray*} =(\frac{n+1}{n})^{2n}=\frac{(n+1)^{2n}}{n^{2n}} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich an dieser Stelle mit dem Quotientenk. weiter gemacht:

$\begin{eqnarray*} \vline \frac{\frac{(n+1+1)^{2n}}{(n+1)^{2(n+1)}}}{\frac{(n+1)^{2n}}{n^{2n}}}\vline=\vline\frac{(n+2)^{2n+2}\cdot n^{2n}}{(n+1)^{2n}\cdot n^{2n+2}}\vline=\vline \frac{(n+2)^{2n+2}\cdot 1}{(n+1)^{2n} \cdot n^2} \vline=\vline \frac{(n+1+1)^{2n}\cdot (n+2)^{2}}{(n+1)^{2n}\cdot n^2} \vline= \vline (\frac{n+1+1}{n+1})^{2n} \cdot (\frac{n^2}{n^2} + \frac{4n}{n^2} + \frac{4}{n^2}) \vline\\=\vline (1+\frac{1}{n+1})^{2n} \cdot (1+\frac{4}{n} + \frac{4}{n^2}) \vline \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R=\lim\limits_{n\to\infty}{\vline (1+\frac{1}{n+1})^{2n} \vline} \cdot \underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}{\vline (1+\frac{4}{n} + \frac{4}{n^2}) \vline}}_{=1}=\lim\limits_{n\to\infty}{\vline (1+\frac{1}{n+1})^{2n} \vline} \end{eqnarray*}$

so an dieser stelle komme ich jetzt nicht weiter :x

kann ich dort denn jetzt nicht auch so weiter schreiben?:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}{\vline (1+\frac{1}{n+1})^{2n} \vline}=\lim\limits_{n\to\infty}{\vline (1+\frac{1}{n+1})\vline^{2n}} \end{eqnarray*}$
wenn ja, dann ist das = 1, aber das Ergebnis ist falsch. laut der weiter oben geposteten seite

@aufgabe zuvor,
oh...ok, da ist ein fehler dann berechne ich das nochmal neu..

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{7}\cdot n!}{(n+1)!\cdot n^7} = (\frac{n+1}{n})^7\cdot \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R=\lim\limits_{n \to \infty}{\vline (\frac{n+1}{n})^7\cdot \frac{1}{n+1}\vline}=\lim\limits_{n\to\infty}{\vline (\frac{n+1}{n})^7\vline}\cdot \underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}{\vline \frac{1}{n+1}\vline}}_{=0}=0 \end{eqnarray*}$

so richtig? smile

smile

25.03.2010, 18:57

Iorek

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Du kennst doch bestimmt $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\frac 1n\right)^n \end{eqnarray*}$ , oder?

25.03.2010, 19:02

Shalec

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Zitat:

Original von Iorek
Du kennst doch bestimmt $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\frac 1n\right)^n \end{eqnarray*}$ , oder?

hab ich schonmal irgendwo gesehen, aber in meiner Vorlesung kam das nicht vor :/

ich hab aber eine wage ahnung.. ich les eben nochmal an einer stelle nach, vlt ist da was ähnliches..moment

hab hier was gefunden.
$\begin{eqnarray*} (1+ \frac{1}{n})^n = \sum\limits_{k=0}^n {n \choose k} \frac{1}{n^k}\\ = 1 + \sum\limits_{k=1}^n {n \choose k} \frac{1}{n^k}\\ = 1 + \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{1*2*...*k} [ \frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+2)}{n*n*n*...*n}]\\ 1 + \frac{1- (\frac{1}{2})^n}{1- \frac{1}{2}} < 1 + \frac{1}{1- \frac{1}{2}} = 3 \end{eqnarray*}$

ich lass das eben kurz wirken, poste gleich erneut..

25.03.2010, 19:03

Iorek

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Dann wäre für dich diese Aufgabe nicht so einfach lösbar (abgesehen davon bin ich mir ziemlich sicher, dass sie vorgekommen ist, guck nochmal in deinen Unterlagen nach).

25.03.2010, 19:12

Shalec

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Zitat:

Original von Iorek
Dann wäre für dich diese Aufgabe nicht so einfach lösbar (abgesehen davon bin ich mir ziemlich sicher, dass sie vorgekommen ist, guck nochmal in deinen Unterlagen nach).

hab die gesammte vorlesung getecht.. jedoch hatte ich ein altes exemplar ausgedruckt (noch von mir geschrieben..) da hat das gefehlt.
s.o.

25.03.2010, 19:14

Iorek

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Ja, es ist kleiner als 3, es gibt aber einen ganz konkreten Grenzwert dafür. Such mal nach der eulerschen Zahl.

25.03.2010, 19:18

Shalec

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Zitat:

Original von Iorek
Ja, es ist kleiner als 3, es gibt aber einen ganz konkreten Grenzwert dafür. Such mal nach der eulerschen Zahl.

$\begin{eqnarray*} e:= \lim\limits_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} = \exp(1) \end{eqnarray*}$ heißt eulersche Zahl

ich glaub \exp(1)=e^1 oder?

uhm...ok, in meiner ausgedruckten Vorlesung fehlt das ebenfalls, das kommt nach den Klausur relevanten Themen, daher hab ichs nicht ausgedruckt/getecht..

damit wird mir so einiges klar ^^

25.03.2010, 19:21

Iorek

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Ihr habt das behandelt, aber das ist nicht klausurrelevant?!

Naja, kannst du jetzt damit den Grenzwert berechnen?

25.03.2010, 19:46

Shalec

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also...

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}{\vline (1+\frac{1}{n+1})^{2n} \vline}=\lim\limits_{n\to\infty}{\vline (1+\frac{1}{n+1})^{n}\cdot (1+\frac{1}{n+1})^{n} \vline}=\lim\limits_{n\to\infty}{\vline (1+\frac{1}{n+1})^{n} \vline} \cdot \lim\limits_{n\to\infty}{\vline (1+\frac{1}{n+1})^{n} \vline} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
da es sich hierbei um eine nullfolge handelt, kann ich es auch abschätzen, mit 1/n. also, für diese aufgabe jetzt nicht wirklich, aber man kann halt sagen:

1/n ist majorante von 1/(n+1), wenn 1/n beschränkt ist, dann ist auch 1/(n+1) beschränkt, mit einem ähnlichen wert.

jetzt überlege ich, ob mir das irgendwas bringt, wenn ich das dann ersetze mit der majorante, erhalte ich als ergebnis:

$\begin{eqnarray*} e^1 \cdot e^1 = e^2 \end{eqnarray*}$

ich nenne jetzt mal a=orginal funktion, b=funktion mit majorante

damit sehe ich dann, dass der lim (a) < lim(b) ist. aber einen genauen wert..?

ja, wir hatten das behandelt, aber erst nach der klausur smile

smile

25.03.2010, 19:49

Iorek

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Was willst du denn eigentlich berechnen? Die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} = \left(1+\frac 1n\right)^{2n} \end{eqnarray*}$ oder willst du die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ auf Konvergenz überprüfen?

25.03.2010, 19:52

Shalec

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Zitat:

Original von Iorek
Was willst du denn eigentlich berechnen? Die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} = \left(1+\frac 1n\right)^{2n} \end{eqnarray*}$ oder willst du die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ auf Konvergenz überprüfen?

dort: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/ku...s53/seite5.html
aufgabe c

und ich sehe grad..das meine herangehensweise totaler schwachsinn ist xD..
ich hab ja dort schon e^1 * e^1 gegeben..

25.03.2010, 19:56

Iorek

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Wie kommst du denn dann jetzt auf $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}{\vline (1+\frac{1}{n+1})^{2n} \vline} \end{eqnarray*}$ ?

25.03.2010, 20:00

Shalec

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ich hatte dort das quotientenkriterium angewendet..
hab ja keinen richtigen ansatz gehabt, also hab ichs einfach mal damit probiert und kam dann durch umformungen auf dieses ergebnis. hatte die herleitung davon recht ausführlich gepostet gehabt..

ist die aufgabe nun wirklich sooo einfach? :O

Zusammenfassung

25.03.2010, 20:07

Iorek

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Das Quotientenkriterium ist doch nur für Reihen gedacht Oo

Du hast da eine Folge stehen, keine Reihe, und du sollst einfach nur den Grenzwert dieser Folge bestimmen, falls er existiert!

25.03.2010, 20:12

Shalec

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Zitat:

Original von Iorek
Das Quotientenkriterium ist doch nur für Reihen gedacht Oo

Du hast da eine Folge stehen, keine Reihe, und du sollst einfach nur den Grenzwert dieser Folge bestimmen, falls er existiert!

ja stimmt.. aber ein grenzwert existiert..
naja, jedenfalls hab ich jetzt gelernt, das kriterium richtig anzuwenden..^^
danke für die hilfe, an alle smile

smile

naja, ich schreib morgen nochmal eine nachklausur..hab beim letztenmal nur wenig zeit gehabt zum lernen und hätte sie fast bestanden (2 punkte zu wenig...hab vergessen 2 blätter mit abzugeben)

naja...^^

liebe grüße

25.03.2010, 20:14

Iorek

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Ja, der Grenzwert existiert, du berechnest den aber nicht über das Quotientenkriterium, sondern formst dir deinen Term einfach um.

Was bekommst du denn als Ergebnis raus, und vor allem, wie kommst du daran?

25.03.2010, 20:19

Shalec

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$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}{\vline (1+\frac{1}{n})^{2n} \vline}=\lim\limits_{n\to\infty}{\vline (1+\frac{1}{n})^{n}\cdot (1+\frac{1}{n})^{n} \vline} = \underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}{\vline (1+\frac{1}{n})^{n}\vline}}_{=e^1} \cdot \lim\limits_{n\to\infty}{\vline (1+\frac{1}{n})^{n}\vline}=e^1 \cdot e^1 = e^{1+1} = e^2 \end{eqnarray*}$

richtig? o.o

25.03.2010, 20:22

Iorek

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Joa, so könnte man es machen, es geht aber noch einfacher mit Verwendung der Potenzgesetze, aber passt so.

25.03.2010, 20:46

Shalec

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Zitat:

Original von Iorek
Joa, so könnte man es machen, es geht aber noch einfacher mit Verwendung der Potenzgesetze, aber passt so.

gut, dankeschön^^

25.03.2010, 20:59

Shalec#Gast

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noch eine letzte Frage, wie kann ich mit so einer aufgabe umgehen?

sei $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Reihe, der $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to \infty}{a_n}=a \end{eqnarray*}$ , zeigen sie, dass auch für $\begin{eqnarray*} x_n=sup\{a_k : \forall k \geq n\}\\ \lim\limits_{n \to \infty}{x_n}=a \end{eqnarray*}$ gilt.

25.03.2010, 21:20

Shalec

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ich würde jetzt rein verbal argumentieren..

x_n ist die menge der supremums von a_n (also alle werte, die größer als der lim von a_n sind (richtig?!)), dann ist, wenn a die obere schranke von a_n ist, a die untere schranke von x_n

aber das ist wieder zu ... oberflächlich?!

naja, liebe grüße und hoffe, dass mir da noch jemand helfen kann smile

smile

25.03.2010, 21:37

giles

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Der Plural heißt Suprema.

Überlege dir, dass

$\begin{eqnarray*} \sup_{k\geq n} a_k \geq \sup_{k\geq n+1} a_k \end{eqnarray*}$

25.03.2010, 21:57

Shalec

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Zitat:

Original von giles
Der Plural heißt Suprema.

Überlege dir, dass

$\begin{eqnarray*} \sup_{k\geq n} a_k \geq \sup_{k\geq n+1} a_k \end{eqnarray*}$

achja, stimmt..latein..man lässt sich zu schnell dazu verleiten dinge zu sagen/schreiben die egtl. falsch sind^^..

$\begin{eqnarray*} \sup_{k\geq n} a_k \geq \sup_{k\geq n+1} a_k \end{eqnarray*}$

bringt mir grad irgendwie nicht den gewünschten einfall :x

aber trotzdem danke smile

smile

25.03.2010, 22:01

giles

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$\begin{eqnarray*} x_n=\sup_{k\geq n} a_k \geq \sup_{k\geq n+1} a_k=x_{n+1} \end{eqnarray*}$

damit ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_n = \inf_{n\in \mathbb{N}}\sup_{k\geq n} a_k \end{eqnarray*}$

Mache dich mal an deinem Skript schlau, was ihr über monotone und beschränkte Folgen wisst.

25.03.2010, 22:27

Shalec

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hier mal der auszug aus unserem skript zu monotone/beschränkte folgen

ist das nicht - was du da geschrieben hast - genau das, was ich verbal sagte, nur halt mathematisch?

da x(n) (> oder =) x(n+1) --> monoton fallende Folge, damit lim x(n) = inf (sup a(k))

stimmt. aber bis hierhin sah das für mich noch nicht für die lösung aus, ist es ja auch noch nicht.

ich bin jetzt total müde *_* ich werd heute noch den zettel zuende schreiben, den ich mit in die klausur nehmen darf und dann schlafen gehen, klausur ist ja zum glück erst morgen nachmittag um 16 uhr :x...
hab also noch durchaus bis 14 uhr zeit mich weiter vorzubereiten smile

smile

25.03.2010, 22:48

giles

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Ist ja auch keine Lösung...

In deiner verbalen Erklärung ist das Wort monoton nicht gefallen, also kann das wohl kaum das gleiche sein. Außerdem ist deine Erklärung nicht wirklich sinnig: $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist nicht die obere Schranke von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und deine Folgerung das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die obere Schranke von $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ist, bleibt völlig unbegründet.
Zurück zur Aufgabe:
In deinem Skriptauszug steht alles was du jetzt noch zur Lösung brauchst.

26.03.2010, 08:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von Shalec
Meinge Frage dazu ist jetzt: Wenn man das kriterium an einem Bruch anwendet, macht man das dann so:
$\begin{eqnarray*} gegeben\ ist:\ \frac{n^7}{n!}\\ Quotientenkriterum: \frac{\frac{n^{7+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^7}{n!}} \end{eqnarray*}$

Mal abgesehen davon, daß das Quotientenkriterum falsch angewendet wurde, ist das Thema noch nicht abschließend geklärt.

26.03.2010, 09:33

Shalec#Gast

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Shalec
Meinge Frage dazu ist jetzt: Wenn man das kriterium an einem Bruch anwendet, macht man das dann so:
$\begin{eqnarray*} gegeben\ ist:\ \frac{n^7}{n!}\\ Quotientenkriterum: \frac{\frac{n^{7+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^7}{n!}} \end{eqnarray*}$

Mal abgesehen davon, daß das Quotientenkriterum falsch angewendet wurde, ist das Thema noch nicht abschließend geklärt.

darauf wurde ich schon hingewiesen, hab den fehler auch schon in einem folgepost korrigiert.

Zitat:

In deinem Skriptauszug steht alles was du jetzt noch zur Lösung brauchst.

gut, dann bearbeite ich das jetzt noch smile

smile

danke ^^

26.03.2010, 11:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von Shalec#Gast
darauf wurde ich schon hingewiesen, hab den fehler auch schon in einem folgepost korrigiert.

OK, das hatte ich in dem Wust übersehen. Allerdings ist hier:

Zitat:

Original von Shalec
@aufgabe zuvor,
oh...ok, da ist ein fehler dann berechne ich das nochmal neu..

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^{7}\cdot n!}{(n+1)!\cdot n^7} = (\frac{n+1}{n})^7\cdot \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R=\lim\limits_{n \to \infty}{\vline (\frac{n+1}{n})^7\cdot \frac{1}{n+1}\vline}=\lim\limits_{n\to\infty}{\vline (\frac{n+1}{n})^7\vline}\cdot \underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}{\vline \frac{1}{n+1}\vline}}_{=0}=0 \end{eqnarray*}$

... eine Ungenauigkeit. Besser ist:

$\begin{eqnarray*} R = \lim\limits_{n \to \infty}{\vline (\frac{n+1}{n})^7\cdot \frac{1}{n+1}\vline} = \underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}{\vline (\frac{n+1}{n})^7\vline}}_{=1} \cdot \underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}{\vline \frac{1}{n+1}\vline}}_{=0} = 0 \end{eqnarray*}$

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