0,9 Periode = 1 Beweis - Seite 2

25.04.2012, 08:47

Mystic

Ja, ein wunderschöner Beitrag, der den Finger genau in die Wunde legt: Eine reelle Zahl a, für welche gilt

$\begin{eqnarray*} 0 \le a < \frac 1n \end{eqnarray*}$

für alle natürlichen Zahlen n >0 kann nur 0 sein, da man für a > 0 auf den Widerspruch na<1 für alle natürlichen Zahlen n käme...

25.04.2012, 11:49

lp-raum

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Jetzt ist mir nicht ganz klar, ob das mit dem "wunderschön" ironisch gemeint war. Ich würde jedenfalls noch einen Schritt weiterrechnen, zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}>n \end{eqnarray*}$ für alle n, das ist finde ich noch anschaulicher falsch (da ich Archimedes in der Version "zu jeder reellen Zahl existiert eine größere natürliche Zahl" am anschaulichsten finde). Dass man Ungleichungen mit positiven Zahlen multiplizieren kann, muss man lediglich dafür wissen (und dass das Inverse einer positiven Zahl existiert und positiv ist).

25.04.2012, 12:02

Nubler

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muss ich, wenn ich so argumentieren will, nicht erst formal diverses zu grenzwerten beweisen?

01.05.2012, 18:09

Wetterfritze

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Zitat:

Original von Airblader
Ich gehe mal ganz bewusst nur auf den letzten Teil ein, denn alles davor kannst du dir durch aufmerksam(er)es Lesen selbst beantworten:

Zitat:

Original von Wetterfritze
Andersherum würde es ja bedeuten, wenn es diesen Unterschied nicht gäbe, dass 0 und 0,Periode0...1 gleich sind. Ist dem so? falls ja, hast du mich überzeugt!

Mir stellt sich die Frage, was $\begin{eqnarray*} 0,\overline{0}1 \end{eqnarray*}$ überhaupt für eine Zahl sein soll. Wie definierst du sie? Mach das ruhig als Reihe oder wie immer du möchtest, Hauptsache irgendwie formal. In meinen Augen gibt es diese Zahl (im Körper der reellen Zahlen) nicht.

air

Das ist für mich die Dezimalschreibweise einer infinitesimal kleinen Zahl.
Formale Schreibweise wird da schwer: Wie wärs mit 10^-unendlich?

Den Beweis von lp-raum habe ich nicht verstanden.

Grüße

01.05.2012, 20:31

Airblader

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Zitat:

Original von Wetterfritze
Das ist für mich die Dezimalschreibweise einer infinitesimal kleinen Zahl.

Wenn das eine reelle Zahl sein soll, dann muss sie irgendwie ja auch formal darstellbar sein.

Zitat:

Formale Schreibweise wird da schwer: Wie wärs mit 10^-unendlich?

$\begin{eqnarray*} \infty \notin \mathbb R \end{eqnarray*}$ , insofern taugt das nichts. Und in den Ein-/Zweipunktkompaktifizierungen würde man diesen Ausdruck immer als exakt Null definieren, womit sich die Frage auch erübrigen würde. Allerdings wollen wir ja ausschließlich von den reellen Zahlen selbst sprechen.

Wie gesagt: Die "Zahl" $\begin{eqnarray*} 0,\overline{0}1 \end{eqnarray*}$ existiert in den reellen Zahlen nicht. Das ist natürlich lediglich meine Stellungnahme und würdest du mir das einfach glauben, so könntest du auch $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} = 1 \end{eqnarray*}$ glauben. Dann wiederum musst du diese angebliche Zahl aber irgendwie formal vernünftig hinschreiben können, so dass ersichtlich ist, dass es eine reelle Zahl ist. Und meine Aussage ist, dass es da eng für dich wird.

Mein Tipp wäre, dass du dir lp-raums Beweis nochmal gründlich anschaust. Das ist meines Erachtens nach eine Argumentation, der auch Laien wirklich zweifelsfrei überzeugen sollte, wenn man es verstanden hat. Wenn du noch Probleme damit hast, dann teile uns eben mit, an welcher Stelle, dann können wir noch elaborieren.

air

02.05.2012, 21:21

Wetterfritze

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stopp mal: Nur weil unendlich kein Element von R ist, muss 10^-unendlich noch lange nicht ebenfalls kein Element von unendlich sein.
bsp: i*i=-1, obwohl i nicht element von R ist.
Somit ist diese Schreibweise durchaus richtig.
Grüße

02.05.2012, 21:48

Airblader

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Der Unterschied ist aber, dass die Multiplikation in den komplexen Zahlen definiert ist (praktischerweise ist ja $\begin{eqnarray*} \mathbb C \cong \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ). Die Potenz im Reellen ist jedoch nur für, wer hätte es gedacht, reelle Zahlen definiert. Du darfst eine entspr. Definition natürlich gerne nachliefern – aber solange sie nicht vorliegt, ist es eben keine reelle Zahl.

air

02.05.2012, 22:17

Airblader

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Da ich etwas Langeweile habe, führe ich lp-raums Argument nochmal etwas ausführlicher aus. Vielleicht überzeugt es dich ja:

(1) Angenommen, $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} \neq 1 \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} d := 1 - 0,\overline{9} > 0 \end{eqnarray*}$ .

(2) Offenbar gilt außerdem $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} > 0,\underbrace{9 \ldots 9}_{n\text{-mal}} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} \end{eqnarray*}$ ist also größer als jede endliche Anzahl von Nachkomme-Neunen. Soweit einverstanden?

(3) Nun, was ist denn die Differenz zwischen 1 und einer solchen Zahl mit nur endlich vielen Nachkomma-Neunen? Wenn es n solche 9en sind, dann ist die Differenz $\begin{eqnarray*} 1 - 0,\underbrace{9 \ldots 9}_{n\text{-mal}} = \frac{1}{10^n} \end{eqnarray*}$ . Das ist nun wirklich nichts anderes als ausrechnen.

(4) Nun gilt wegen (3) dann aber $\begin{eqnarray*} d = 1 - 0,\overline{9} < 1 - 0,\underbrace{9 \ldots 9}_{n\text{-mal}} = \frac{1}{10^n} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} d < \frac{1}{10^n} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

(5) Die Ungleichung aus (4) ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} d \cdot 10^n < 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

(6) Das Archimedische Axiom besagt, dass es irgendeine Zahl $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ geben muss mit $\begin{eqnarray*} d \cdot k > 1 \end{eqnarray*}$ . Und dass wir ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 10^n > k \end{eqnarray*}$ finden, sollte nun wirklich klar sein. Das widerspricht dann aber eben gerade der Aussage in (5).

Ich habe die einzelnen Schritte jetzt mal schön mit Nummern versehen, dass man sich ggf. darüber unterhalten kann. Aber bitte erst in Ruhe durchlesen und durch den Kopf gehen lassen. Augenzwinkern

Anmerkung zu (6):
(i) Es ist zwar kein Muss, aber die reellen Zahlen werden oft mit Hilfe des Archimedischen Axioms axiomatisch definiert – es gibt also wirklich keinen Grund, daran zu zweifeln, dass dieses Axiom keine Gültigkeit besäße (selbst wenn sie anders eingeführt werden, lässt sich die Gültigkeit nachweisen).
(ii) Das Axiom ist in dieser Situation auch wirklich anwendbar, da wir in (1) schon $\begin{eqnarray*} d > 0 \end{eqnarray*}$ gesehen haben. Außer natürlich, du zweifelst das an ... dann würdest du aber $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} > 1 \end{eqnarray*}$ behaupten und das wiederum bezweifle ich.

air

03.05.2012, 00:30

papahuhn

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Wetterfritze,

infinitesimal kleine Zahlen sind durchaus denkbar, allerdings nicht im Körper der reellen Zahlen. Schau mal bei Wikipedia nach "hyperreellen Zahlen".
Es gibt eine positive hyperreelle Zahl $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ , die kleiner ist als jedes $\begin{eqnarray*} \frac 1 n \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} 1-\varepsilon \neq 1 \end{eqnarray*}$ wäre dann in etwa Dein Verständnis von $\begin{eqnarray*} 0.\overline 9 \end{eqnarray*}$ . In dieser Situation stimmt übrigens Dein Einwand, dass man den Limes nicht bilden kann. Der Kern des Problems ist nämlich das Supremums-Axiom der reellen Zahlen.

Die axiomatische Definition der reellen Zahlen besteht aus einigen FO-Axiomen und einem Second-Order-Axiom, dem Supremumsaxiom. Lässt man das weg, hat man ein reines FO-Axiomsystem, welches viele verschiedene Modelle besitzt. Die reellen Zahlen sind ein Modell, und ebenso die hyperreellen. Wo ist also das Problem? Ohne das Supremums-Axiom funktionieren viele Dinge nicht. Die übliche Definition des Limes wäre nicht eindeutig. $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac 1 n \end{eqnarray*}$ passt z.B. auf 0, auf $\begin{eqnarray*} \epsilon, 2\epsilon, \frac 1 2 \epsilon, ... \end{eqnarray*}$ . Damit wäre auch 0.999... als unendliche Reihe nicht eindeutig, denn sie passt zu 1 genauso wie zu $\begin{eqnarray*} 1 - \varepsilon \end{eqnarray*}$ . Das Supremums-Axiom sagt aber: Es gibt nur eine solche (reelle) Zahl (das Supremum). Die reellen Zahlen sind das *einzige* Modell dieses erweiterten Axiomensystems, und damit ist $\begin{eqnarray*} 0.999... < 1 \end{eqnarray*}$ gestorben.

Gruß

03.05.2012, 13:00

Wetterfritze

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Danke Papahuhn!
bin zufrieden und hab es jetzt verstanden. =) Warum nicht gleich jemand geschrieben hat, dass dieser Gedanke durchaus seinen Sinn hat!

@Airblader: Auch dir der Dank, dass du immer geantwortet hast. Ich verstehe den Beweis und da unendlich natürlich in der Zahlenmenge von N fehlt, hat er auch mit Sicherheit seine Gültigkeit. Jedoch ich glaube dass die hyperreellen Zahlen diese Frage beantworten nach der ich gesucht habe.

Nochmal vielen Dank und Lob an das Forum, aber bitte in Zukunft bei anderen Usern etwas netter sein!

03.05.2012, 19:18

Mystic

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Zitat:

Original von Wetterfritze
Danke Papahuhn!
bin zufrieden und hab es jetzt verstanden. =) Warum nicht gleich jemand geschrieben hat, dass dieser Gedanke durchaus seinen Sinn hat!

Und da sage noch jemand, die hyperreellen Zahlen seien für nichts gut!... Big Laugh

Ich wäre ja gern mit dieser Tür ins Haus gefallen, aber ich muss zugeben, für mich ist das leider alles terra incognita... unglücklich

22.05.2022, 00:02

Mirus

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RE: 0,9 Periode = 1 Beweis
1 / 9 = 0. 1 Periode /// × 9 ist gleich 1 = 0. 9 Periode

2 / 9 = 0. 2 Periode /// × 9 ist gleich 2 = 1. 9 Periode

3 / 9 = 0. 3 Periode /// × 9 ist gleich 3 = 2. 9 Periode

8 / 9 = 0. 8 Periode /// × 9 ist gleich 8 = 7. 9 Periode

998.999 999 9 / 999 = 0.9 Periode ???

998.999 999 9 ist etwas kleiner als 999

Und somit ist 998 . 999 999 9 / 999
etwas kleiner als 999 / 999 = 1 = 0.9 Periode.

Allerdings ist 998. 9 Periode / 999 ist gleich 999 / 999 = 1 = 0.9 Periode.

2.7 × 3. 666 = 9. 899

2.7 × 3. 666 666 = 9. 899 999

2.7 × 3. 666 666 666 = 9. 899 999 999

2.7 × 3. 666 666 666.. ... = 9. 9 = ??? ???

27 / 10 × 11 / 3 = 297 / 30 = 9. 9

2.7 × 0. 777 = 2. 099

2.7 × 0. 777 777 = 2. 099 999

2.7 × 0. 777 777 777 = 2. 099 999 999

2.7 × 0. 777 777 777 ... = 2. 1 = ??? ???

27 / 10 × 7 / 9 = 189 / 90 = 2. 1

0 .6 × 0. 666 = 0. 3999

0. 6 × 0. 666 666 = 0. 3999 999

0. 6 × 0. 666 666 666 = 0. 399 999 999

0. 6 × 0. 666 666 666 ... = 0. 4 = ??? ???

6 / 10 × 6 / 9 = 36 / 90 = 0.4

3. 6 × 0. 277 = 0. 999

3. 6 × 0. 277 777 = 0. 999 999

3. 6 × 0. 277 777 777 = 0. 999 999 999

3. 6 × 0. 277 777 777 ... = 1 = ??? ???

18 / 5 × 5 / 18 = 90 / 90 = 1

27272727 / (3/11) = 999 999 99

2727272727 / (3/11) = 9999 999 999

272727272727 / (3/11) = 999 999 999 999

2727272727 ... / (3/11) = 10 = ??? ???

( 30 / 11 ) / ( 3 / 11 ) = 330 / 33 = 10

10 / 11 + 1 / 11 = 11 / 11 = 1

1 / 3 + 1 / 3 + 1 / 3 = 3 / 3 = 1

1 / 9 × 9 = 9 / 9 = 1

8 / 9 + ( 8 × 1 / 81 ) = 80 / 81 8 / 9 + ( 9 × 1 / 81 ) = 1. 0

1 /6 + 5 / 12 + 3 / 4 = 1. 333 Periode

36 / 3636 = 1 / 101 = 27 / 2727 = 18 / 1818 = 54 / 5454 = 0. 0099 Periode

9 / 9. 9 + 9 / 99 = 1

10 / 81 - 113717421 / 111 111 111 =

- 899 999 999 / 999 999 999 =

- 0. 899 999 999 Periode

0. 9 Periode lässt sich im Kettenbruch sehr schön darstellen.

( 1 / ( 1 + 1 / ( 8999 ... ))) = ( 1 / ( 1 + / ( 111 ... ))) =

( 1 / ( 1 + (( 1 / ( 1 / 9 × 100 000 ... ))))) = 0. 999 Periode

0. 9 Periode

3. 6 ( 5 √ ( 1 / 9 × 10 ... ) ) = 0. 999 Periode

( 10^9 ... - 1 ) / 10^9 = 0. 999 Periode

Es gibt keine Zahl die größer ist als 0.9 Periode demnach gibt es keine Differenz zwischen 0.9 Periode und 1.

Dass heißt 0.9 Periode kann nicht kleiner sein als 1 ergo muss es gleich 1 sein.

Nach meinem Wissen ist Bruch die genauste Art eine gebrochene, rationale Zahl, auch periodische Zahlen darzustellen.

28.05.2022, 15:53

densch

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Ich werfe jetzt einfach auch mal meine Meinung mit ein, auch wnen die vermutlich shcon in abgewandelter Form vorkam:
An grenzwertbetrachtung kommt man nicht vorbei denn die Schreibweise 0,Periode9 impliziert schon einen Grenzwert.

Man muss sich halt nur mal die SUmme der partialsummen angucken:
1-Summe i=1 bis 1 von (9*10^(-i))=1-0,9=0,1=10^(-1)

gehen wir jetzt hin und ziehen auf beiden Seiten 9*10^(-2) ab, kommen wir auf

linke Seite 1-Summe i=1 bis 1 von (9*10^(-i)) -9*10^(-2)
in die summe reinziehen liefert:
1-Summe i=1 bis 2 von (9*10^(-i))

rechte seite liefert:
10^(-1)-9*10^(-2)
=10*10^(-2)-9*10^-2=1*10^(-2)=10^(-2)

nun kann man, statt von 1 zu 2 zu gehen, das auch allgemein für n mittels induktion beweisen dass gilt:
1-Summe i=1 bis n von (9*10^(-i)) = 10^(-n)

nun die berühmte grenzwert betrachtung:
für n gegen unendlich lbleibt die 1 unverändert.
Aus Summe i=1 bis n von (9*10^(-i))
wird Summe i=1 bis unendlich von (9*10^(-i))
was wir gerade 0,Periode9 definieren.
Natürlich müsste man erst mal beweisen dass dieser Grenzwert per se exisitert, das setzen wir jetzt heir einfach mal voraus.
und aus 10^(-n)=1/(10^n)
wird lim ->unendlich von (10^(-n))= lim ->unendlich von (1/(10^n))
Salopp gesprochen geht n gegen unendlich, 10^n also auch gegen unendlich und damit 1/10^n gegen null.

heißt da steht dann
1-0,Periode9=0
und umgestellt
1=0,Periode9

Kann sich ja auch jeder in einer exeltabelle oder so ausrechnen.
mit 1 anfangen.
und dann 0,9, dann 0,09, dann 0,009, usw abziehen.

Was rauskommt wird immer kleiner aber immer >0.
Mathematisch: Die Folge ist streng monoton fallend und aber stets >0, also Grenzwert=0.

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