0,9 Periode = 1 Beweis - Seite 2

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Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ein wunderschöner Beitrag, der den Finger genau in die Wunde legt: Eine reelle Zahl a, für welche gilt



für alle natürlichen Zahlen n >0 kann nur 0 sein, da man für a > 0 auf den Widerspruch na<1 für alle natürlichen Zahlen n käme...
lp-raum Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist mir nicht ganz klar, ob das mit dem "wunderschön" ironisch gemeint war. Ich würde jedenfalls noch einen Schritt weiterrechnen, zu für alle n, das ist finde ich noch anschaulicher falsch (da ich Archimedes in der Version "zu jeder reellen Zahl existiert eine größere natürliche Zahl" am anschaulichsten finde). Dass man Ungleichungen mit positiven Zahlen multiplizieren kann, muss man lediglich dafür wissen (und dass das Inverse einer positiven Zahl existiert und positiv ist).
 
 
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

muss ich, wenn ich so argumentieren will, nicht erst formal diverses zu grenzwerten beweisen?
Wetterfritze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Ich gehe mal ganz bewusst nur auf den letzten Teil ein, denn alles davor kannst du dir durch aufmerksam(er)es Lesen selbst beantworten:

Zitat:
Original von Wetterfritze
Andersherum würde es ja bedeuten, wenn es diesen Unterschied nicht gäbe, dass 0 und 0,Periode0...1 gleich sind. Ist dem so? falls ja, hast du mich überzeugt!


Mir stellt sich die Frage, was überhaupt für eine Zahl sein soll. Wie definierst du sie? Mach das ruhig als Reihe oder wie immer du möchtest, Hauptsache irgendwie formal. In meinen Augen gibt es diese Zahl (im Körper der reellen Zahlen) nicht.

air


Das ist für mich die Dezimalschreibweise einer infinitesimal kleinen Zahl.
Formale Schreibweise wird da schwer: Wie wärs mit 10^-unendlich?

Den Beweis von lp-raum habe ich nicht verstanden.

Grüße
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wetterfritze
Das ist für mich die Dezimalschreibweise einer infinitesimal kleinen Zahl.


Wenn das eine reelle Zahl sein soll, dann muss sie irgendwie ja auch formal darstellbar sein.

Zitat:
Formale Schreibweise wird da schwer: Wie wärs mit 10^-unendlich?


, insofern taugt das nichts. Und in den Ein-/Zweipunktkompaktifizierungen würde man diesen Ausdruck immer als exakt Null definieren, womit sich die Frage auch erübrigen würde. Allerdings wollen wir ja ausschließlich von den reellen Zahlen selbst sprechen.

Wie gesagt: Die "Zahl" existiert in den reellen Zahlen nicht. Das ist natürlich lediglich meine Stellungnahme und würdest du mir das einfach glauben, so könntest du auch glauben. Dann wiederum musst du diese angebliche Zahl aber irgendwie formal vernünftig hinschreiben können, so dass ersichtlich ist, dass es eine reelle Zahl ist. Und meine Aussage ist, dass es da eng für dich wird.

Mein Tipp wäre, dass du dir lp-raums Beweis nochmal gründlich anschaust. Das ist meines Erachtens nach eine Argumentation, der auch Laien wirklich zweifelsfrei überzeugen sollte, wenn man es verstanden hat. Wenn du noch Probleme damit hast, dann teile uns eben mit, an welcher Stelle, dann können wir noch elaborieren.

air
Wetterfritze Auf diesen Beitrag antworten »

stopp mal: Nur weil unendlich kein Element von R ist, muss 10^-unendlich noch lange nicht ebenfalls kein Element von unendlich sein.
bsp: i*i=-1, obwohl i nicht element von R ist.
Somit ist diese Schreibweise durchaus richtig.
Grüße
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Der Unterschied ist aber, dass die Multiplikation in den komplexen Zahlen definiert ist (praktischerweise ist ja ). Die Potenz im Reellen ist jedoch nur für, wer hätte es gedacht, reelle Zahlen definiert. Du darfst eine entspr. Definition natürlich gerne nachliefern – aber solange sie nicht vorliegt, ist es eben keine reelle Zahl.

air
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich etwas Langeweile habe, führe ich lp-raums Argument nochmal etwas ausführlicher aus. Vielleicht überzeugt es dich ja:

(1) Angenommen, , dann gilt .

(2) Offenbar gilt außerdem für alle , ist also größer als jede endliche Anzahl von Nachkomme-Neunen. Soweit einverstanden?

(3) Nun, was ist denn die Differenz zwischen 1 und einer solchen Zahl mit nur endlich vielen Nachkomma-Neunen? Wenn es n solche 9en sind, dann ist die Differenz . Das ist nun wirklich nichts anderes als ausrechnen.

(4) Nun gilt wegen (3) dann aber , also für alle .

(5) Die Ungleichung aus (4) ist äquivalent zu für alle .

(6) Das Archimedische Axiom besagt, dass es irgendeine Zahl geben muss mit . Und dass wir ein mit finden, sollte nun wirklich klar sein. Das widerspricht dann aber eben gerade der Aussage in (5).

Ich habe die einzelnen Schritte jetzt mal schön mit Nummern versehen, dass man sich ggf. darüber unterhalten kann. Aber bitte erst in Ruhe durchlesen und durch den Kopf gehen lassen. Augenzwinkern

Anmerkung zu (6):
(i) Es ist zwar kein Muss, aber die reellen Zahlen werden oft mit Hilfe des Archimedischen Axioms axiomatisch definiert – es gibt also wirklich keinen Grund, daran zu zweifeln, dass dieses Axiom keine Gültigkeit besäße (selbst wenn sie anders eingeführt werden, lässt sich die Gültigkeit nachweisen).
(ii) Das Axiom ist in dieser Situation auch wirklich anwendbar, da wir in (1) schon gesehen haben. Außer natürlich, du zweifelst das an ... dann würdest du aber behaupten und das wiederum bezweifle ich.

air
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Wetterfritze,

infinitesimal kleine Zahlen sind durchaus denkbar, allerdings nicht im Körper der reellen Zahlen. Schau mal bei Wikipedia nach "hyperreellen Zahlen".
Es gibt eine positive hyperreelle Zahl , die kleiner ist als jedes , und wäre dann in etwa Dein Verständnis von . In dieser Situation stimmt übrigens Dein Einwand, dass man den Limes nicht bilden kann. Der Kern des Problems ist nämlich das Supremums-Axiom der reellen Zahlen.

Die axiomatische Definition der reellen Zahlen besteht aus einigen FO-Axiomen und einem Second-Order-Axiom, dem Supremumsaxiom. Lässt man das weg, hat man ein reines FO-Axiomsystem, welches viele verschiedene Modelle besitzt. Die reellen Zahlen sind ein Modell, und ebenso die hyperreellen. Wo ist also das Problem? Ohne das Supremums-Axiom funktionieren viele Dinge nicht. Die übliche Definition des Limes wäre nicht eindeutig. passt z.B. auf 0, auf . Damit wäre auch 0.999... als unendliche Reihe nicht eindeutig, denn sie passt zu 1 genauso wie zu . Das Supremums-Axiom sagt aber: Es gibt nur eine solche (reelle) Zahl (das Supremum). Die reellen Zahlen sind das *einzige* Modell dieses erweiterten Axiomensystems, und damit ist gestorben.

Gruß
Wetterfritze Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Papahuhn!
bin zufrieden und hab es jetzt verstanden. =) Warum nicht gleich jemand geschrieben hat, dass dieser Gedanke durchaus seinen Sinn hat!

@Airblader: Auch dir der Dank, dass du immer geantwortet hast. Ich verstehe den Beweis und da unendlich natürlich in der Zahlenmenge von N fehlt, hat er auch mit Sicherheit seine Gültigkeit. Jedoch ich glaube dass die hyperreellen Zahlen diese Frage beantworten nach der ich gesucht habe.

Nochmal vielen Dank und Lob an das Forum, aber bitte in Zukunft bei anderen Usern etwas netter sein!
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wetterfritze
Danke Papahuhn!
bin zufrieden und hab es jetzt verstanden. =) Warum nicht gleich jemand geschrieben hat, dass dieser Gedanke durchaus seinen Sinn hat!

Und da sage noch jemand, die hyperreellen Zahlen seien für nichts gut!... Big Laugh

Ich wäre ja gern mit dieser Tür ins Haus gefallen, aber ich muss zugeben, für mich ist das leider alles terra incognita... unglücklich
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