0,9 Periode = 1 Beweis

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Ana123 Auf diesen Beitrag antworten »
0,9 Periode = 1 Beweis
Ist sowas ein anerkannter Beweis?



Ich habe diese Zeile gerade in einem Analysis I-Buch für Ingenieure gefunden.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 0,9 Periode = 1 Beweis
Ich kenne ihn in leicht abgewandelter Form, aber wieso nicht?
 
 
Ana123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 0,9 Periode = 1 Beweis
Zitat:
Original von IfindU
Ich kenne ihn in leicht abgewandelter Form, aber wieso nicht?


Weil das zu simpel erscheint. Ich meine einmal eine dicke Schlagzeile in einer großen deutschen Wochenzeitung gelesen zu haben, dass eine Schülerin einmal einen Mathematikprofessor wegen dieses Sachverhalts angeschrieben haben soll und dieser das nicht so einfach hätte begründen können. Vielleicht finde ich ihn ja sogar noch.
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ana123
Schlagzeile in einer großen deutschen Wochenzeitung


Da hast du deine Antwort. Unendlichkeit ist halt kein Konzept, das viele Leute verstehen würden also bauen sich gern Mythen um sowas auf.
Am besten gefällt es mir persönlich mit geometrischer Reihe




Wenn der original Austausch in dem Artikel ist, wäre es vielleicht sogar interessant zu sehen, worum es denn ging.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 0,9 Periode = 1 Beweis
Zitat:
Original von Ana123



Ich würde noch einen Zwischenschritt einfügen:

mar00n Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich meine einmal eine dicke Schlagzeile in einer großen deutschen Wochenzeitung gelesen zu haben, dass eine Schülerin einmal einen Mathematikprofessor wegen dieses Sachverhalts angeschrieben haben soll und dieser das nicht so einfach hätte begründen können. Vielleicht finde ich ihn ja sogar noch.


Der Spiegel hat darüber berichtet.
Schülerin stellt klügste Mathefrage
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Die Überschrift ist ganz schön reißerisch dafür, dass der Professor das Problem eigentlich nur von einem didaktischen Standpunkt aus interessant fand. Das wird selbstverständlich erst einige Absätze nach der Überschrift klar. unglücklich
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
für die Zahlengelehrten ist ein Unendlichstel nichts anderes als Null

unglücklich

kA auf wessen Mist das gewachsen ist, jedenfalls ist der Artikel eine krasse Verunstaltung der Tatsachen. Wenn man den Artikel liest könnte man tatsächlich meinen, dass dies mathematisch eine ernste Schwierigkeit darstellt bzw. darstellte. Wie jester aber sagt ist das maximal ein didaktisches Problem: Erklär mal einer 12-jährigen Konvergenz von Folgen...
Shalec#Gast Auf diesen Beitrag antworten »

wäre denn eine andere form des beweises nicht auch möglich, von wegen äquivalenz
0,999..9 = 3*0,333..3 = 0,3333..3+0,333..3+0333..3
und es gilt: 0,33..3=1/3
und damit gilt ja auch (ich kürz jetz einfach mal 0,33..3 mit 0,3 ab..)
0,3+0,3+0,3 = 1/3 + 1/3 + 1/3
und damit ist ja gerade
= 3/3 = 1/1 = 1

oder wäre das kein angemessener beweis? smile
giles Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Shalec#Gast
oder wäre das kein angemessener beweis? smile


Nein, dazu müsstest du erst beweisen, dass

im Endeffekt hast du nur benutzt dass aber du hast es durch sinnlose Zwischenschritte verschleiert.


Solche Diskussionen gehören ja eigentlich eher zur Schulmathematik verwirrt
MacYdanim Auf diesen Beitrag antworten »

gilt nicht:
2 zahlen sind unterschiedlich wenn zwischen ihnen noch eine zahl liegt.
und zwischen 0,999.. und 1 liegt eben keine zahl
Urza Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Die Überschrift ist ganz schön reißerisch dafür, dass der Professor das Problem eigentlich nur von einem didaktischen Standpunkt aus interessant fand. Das wird selbstverständlich erst einige Absätze nach der Überschrift klar. unglücklich

Ja, gräßlicher Stil.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MacYdanim
gilt nicht:
2 zahlen sind unterschiedlich wenn zwischen ihnen noch eine zahl liegt.
und zwischen 0,999.. und 1 liegt eben keine zahl


Was allerdings zu beweisen wäre.

air
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 0,9 Periode = 1 Beweis


das erste Gleichheitszeichen ist die Darstellung der Zahlen zur Basis 10.
giles Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 0,9 Periode = 1 Beweis
Zitat:
Original von sergej88


das erste Gleichheitszeichen ist die Darstellung der Zahlen zur Basis 10.


Nein, das erste Gleichheitszeichen impliziert, dass keine reelle Zahl ist.

Das gleiche in richtig hatte ich aber auch schon oben geschrieben. verwirrt
sergej88 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, hab deinen Beitrag wohl übersehen iwie.

smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Zitat:
Original von MacYdanim
gilt nicht:
2 zahlen sind unterschiedlich wenn zwischen ihnen noch eine zahl liegt.
und zwischen 0,999.. und 1 liegt eben keine zahl


Was allerdings zu beweisen wäre.

air


man kann sogar soweit gehen und sagen, dass zwischen 0,999... und 1 unenedlich viele zahlen liegen müssten wenn 0,99999...<1 ist, nach archimedes.
Ana123 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
edit: den hatte wir in der 5. oder 6. klasse.
irgendwie irritiert mich jetzt, dass die schülerin einen preis für ihre angeblich so schlaue frage bekommt, so schlau finde ich die frage nicht, und so schwer zu beweisen ist sie auch nicht.....


Das war auch der Grund, warum ich den Thread erstellt habe. Der Artikel war es übrigens.
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ana123
Zitat:
Original von lgrizu
edit: den hatte wir in der 5. oder 6. klasse.
irgendwie irritiert mich jetzt, dass die schülerin einen preis für ihre angeblich so schlaue frage bekommt, so schlau finde ich die frage nicht, und so schwer zu beweisen ist sie auch nicht.....


Das war auch der Grund, warum ich den Thread erstellt habe. Der Artikel war es übrigens.


Na ja, es wurde ja auch hier schon gesagt. Der Prof. fand es nur didaktisch interessant, das formal sauber zu formulieren, auch ohne mathematische, tiefe Kenntnisse.

Und das mit dem "Ein Unendlichstes = 0" finde ich für einen Artikel, den Laien lesen, durchaus angebracht.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mr. Brightside
Und das mit dem "Ein Unendlichstes = 0" finde ich für einen Artikel, den Laien lesen, durchaus angebracht.

Aber damit begibt man sich schon auf die schiefe Bahn. Wenn 1 durch unendlich gleich Null ist, dann muß ja 1 = Null mal unendlich sein. Andererseits ist Null mal irgendwas immer Null. Und schon steht man vor den Scherben.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

gerade das ist ja das problem, deshalb finde ich den beweis
s=0.9999...
10*s=9.999999
10*s-s=9*s=9.999...-0.999...=9+0.999...-0.999.....=9
eigentlich voll in ordnung......
für schüler der 6. klasse zu verstehen.
und 1 unendlichstel ist nicht null, hier benötigt man dann wieder den grenzwertbegriff, der für schüler der 6. klasse wohl ein wenig heftig wäre...
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Na, ich weiss ja auch, dass das problematisch ist, aber wenn man Nicht-Mathematiker bittet, 1/n für riesige n (was auch immer das ist) zu berechnen, kommen doch viele auf die 0. Das ist natürlich falsch, aber auf eine gewisse Art und Weise eben doch nicht ganz daneben, weil es mir zeigt, dass sie intuitiv doch ein Gefühl für den Begriff des Grenzwertes haben. In diesem Rahmen halte ich deshalb die Formulierung des Artikels für angemessen (für die Leserschaft). Natürlich ist es nach wie vor falsch.
Bullet1000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, eigentlich sollte man sich viel eher fragen, warum die VEREINBARUNG sinnvoll ist, dass keine Neuner-perioden auftreten sollen.

So ähnlich hatten wir das in unseren Übungsaufgaben.

Gilt für alle , so ist





Es geht also um die Dezimalbruchdarstellung der ZAhl



Also ist die Dezimalbruchdarstellung von nicht eindeutig.

UNd deshalb die Forderung, dass x niemals rechter Endpunkt von ist.

EDIT von Calvin
Zeilenumbruch eingefügt, um horizontales Scrollen zu vermeiden
Wetterfritze Auf diesen Beitrag antworten »

Ist Periode 9 aber nicht eigentlich ein sinnloses mathematisches Axiom, wie "2 Parallelen schneiden sich im Unendlichen." ?

ich finde es falsch zu sagen, nur weil es keine Zahl zwischen Periode 9 und der Zahl selbst gibt zu argumentieren, dass dann die Zahlen gleich wären. Ich verstehe auch nicht, warum es nur wenige Kritiker hier dazu gibt. Okay Periode 9 ist nicht reell, aber deshalb ihrer Gleichheit zu unterstellen, ich weis nicht.
Gruese
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zu diesem Thema wurde schon alles gesagt, nur noch nicht von jedem. Jetzt weiß ich, daß jemand, der sich vielleicht frisch mit dieser Sache beschäftigt, dieses natürlich nicht wissen kann. So empfehle ich, einmal das hier durchzuarbeiten.
Man muß hier zwei Ebenen unterscheiden: eine philosophische und eine innermathematische, die man jedoch gar nicht ganz auseinanderhalten kann. In der Mathematik hat sich über Jahrtausende hinweg die Vorstellung eines Kontinuums verfestigt, das in jüngerer Zeit im System der reellen Zahlen seine Form gefunden hat. Wenn du nun anzweifelst, daß zwischen Null Komma Periode Neun und Eins keine weiteren Zahlen liegen, zweifelst du die reellen Zahlen als das Grundfundament der Mathematik an. Als Philosoph darfst du das. Nur was willst du an ihre Stelle setzen? Und wird das, was du an ihre Stelle setzen willst, widerspruchsfrei sein? Nun gut, von den reellen Zahlen weiß man es letztlich auch nicht. Aber sie haben sich bewährt, und die Mathematiker glauben fest an sie.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe auch: [Artikel] 0,999... = 1? (der Vollständigkeit halber)
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Manche Dinge werden einfach nie alt.

air
Roper Auf diesen Beitrag antworten »

Ein immer wieder schönes Thema, vor allen Dingen weil es auch für so schöne philosophische Diskussionen sorgt.

Zitat:
Original von Wetterfritze
ich finde es falsch zu sagen, nur weil es keine Zahl zwischen Periode 9 und der Zahl selbst gibt zu argumentieren, dass dann die Zahlen gleich wären. Ich verstehe auch nicht, warum es nur wenige Kritiker hier dazu gibt. Okay Periode 9 ist nicht reell, aber deshalb ihrer Gleichheit zu unterstellen, ich weis nicht.
Gruese

Der Informatiker würde wahrscheinlich sagen, dass und syntaktisch unterschiedlich aber semantisch äquivalent sind. Das heißt wir nutzen verschiedene Ausdrücke um die gleiche Bedeutung zu erzeugen. Es ist halt einfach Notation und unsere Notation ist nun mal nicht eindeutig. Genau so verhält es sich mit den Termen/Ausdrücken und . Beide sind syntaktisch unterschiedlich, "bedeuten" aber das selbe.

Womit wir neben der mathematischen und philosophischen Sichtweise noch eine Dritte hätten . Will sich vielleicht noch ein Psychologe zu Wort melden? Big Laugh
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es gibt sowas wie "Reibebäume" in der mathematischen Landschaft, wo die meisten achtlos daran vorbeigehen, aber dann doch einige von dem unwiderstehlichen Drang ergriffen werden, sich daran zu reiben... Die meisten Reibebäume sind in unzugänglichen Gegenden aufgestellt, wo die meisten gar nicht hinkommen, weil dabei zuviel an mathematischen Vorwissen vorausgesetzt wird (ein Beispiel wäre das Auswahlaxiom, das von mathematischen Konstruktivisten schlicht abgelehnt wird), im Falle der hier zur Diskussion stehenden Frage glaubt aber jeder mitreden zu können und daher ist das auch ein überaus beliebter Reibebaum in allen mathematischen Foren...

Man sollte auch gar nicht versuchen, diese Leute mit irgendwelchen mehr oder weniger plausiblen Argumenten davon überzeugen zu wollen, dass wirklich 0.999...(periodisch) =1 gilt, sondern man sollte verstehen, dass man ihnen damit ihren Reibebaum wegnimmt und vielleicht auch die Überzeugung, ein wichtiges Stück Mathematik ( im Gegensatz zu der großen Mehrzeahl der Ignoranten!) wirklich verstanden zu haben...

mfg
Der Psychologe
Wetterfritze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe erstmal sämtliche Threads zu diesem Thema hier gelesen, weil ich einfach nur für MICH wissen wollte, warum Periode 9 der Zahl entspricht. Da mich jedoch das Thema interessierte und LEIDER kein Beweis mich überzeugte, wollte ich dann doch meine Meinung hierzu schreiben.
Dass ich jetzt so unbeliebt empfangen werde, macht mich sehr stutzig, aber okay. Wollte hier niemandem auf die Nerven gehen!

Warum könnte man denn nicht sagen, dass 0,Periode9 genau die Zahl vor der 1 ist? Spricht dagegen denn irgendwas?
(Für MICH spiegelt sich darin eben die Existenz des Unendlichen: Indem es eben im Unendlichen doch genau eine Zahl folgernd auf die andere gibt. Aber das ist wirklich jetzt rein philosophisch.)
Grüße
Cordovan Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man gerne solche Zahlen hätte, wogegen man ja erstmal nichts sagen kann, muss man sich auf jeden Fall von einigen bekannten Regeln und Formeln verabschieden. Denn angenommen eine solche Zahl existiert, die "direkt vor" 1 kommt, was wäre dann ?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wetterfritze
Da mich jedoch das Thema interessierte und LEIDER kein Beweis mich überzeugte,


[Artikel] 0,999... = 1?

Wenn dich immer noch kein Beweis überzeugt, dann kann man dir mathematisch leider einfach nicht mehr weiterhelfen. Ich lade dich gerne dazu ein, Fehler in den Beweisen zu finden (sie überzeugen dich ja schließlich nicht, also müssen sie lückenhaft oder falsch sein), aber diese dann bitte auch benennen und nicht einfach "Nö" sagen.

Zitat:
Warum könnte man denn nicht sagen, dass 0,Periode9 genau die Zahl vor der 1 ist? Spricht dagegen denn irgendwas?


Ganz einfach weil die reellen Zahlen im Gegensatz zu den ganzen Zahlen nicht mehr diskret sind, sondern einen stetigen Zahlenraum darstellen. Inwiefern das eine Problematik ist, wurde im Post über mir ja schon skizziert.

air
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wetterfritze
Ich habe erstmal sämtliche Threads zu diesem Thema hier gelesen, weil ich einfach nur für MICH wissen wollte, warum Periode 9 der Zahl entspricht. Da mich jedoch das Thema interessierte und LEIDER kein Beweis mich überzeugte, wollte ich dann doch meine Meinung hierzu schreiben.

Wie hier schon mehrfach gesagt wurde, solltest du endlich damit herausrücken, was genau dich an den bestehenden Beweisen nicht überzeugt...

Zitat:
Original von Wetterfritze
Dass ich jetzt so unbeliebt empfangen werde, macht mich sehr stutzig, aber okay. Wollte hier niemandem auf die Nerven gehen!

Ne, es ist jetzt nicht die "dumme Frage", womit du auf die Nerven gehst, sondern deine fehlende Bereitschaft, auf Lösungsvorschläge einzugehen... Statt dessen kommst du mit Aussagen wie

Zitat:
Original von Wetterfritze
Warum könnte man denn nicht sagen, dass 0,Periode9 genau die Zahl vor der 1 ist? Spricht dagegen denn irgendwas?
(Für MICH spiegelt sich darin eben die Existenz des Unendlichen: Indem es eben im Unendlichen doch genau eine Zahl folgernd auf die andere gibt. Aber das ist wirklich jetzt rein philosophisch.)
Grüße

welche zeigen, dass du mit deinen "persönlichen" Vorstellungen über reelle Zahlen, nämlich dass die wie Perlen auf einer Perlenkette aufgereiht sind, Schiffbruch erleidest und dich dann noch darüber wunderst... geschockt

Edit: In der Sprache der Fachmathematik steckt dahinter der Trugschluss, dass die reellen Zahlen "abzählbar" wären und daher jede reelle Zahl bei dieser Abzählung einen "linken" und einen "rechten" Nachbar hätte... Wenn du dich wirklich informieren willst, dann lies doch einfach zum Stichwort 2.Cantorsches Diagonalverfahren nach, warum das nicht so ist... Dann hätte dieser Thread endlich auch etwas Positves hervorgebracht... Augenzwinkern
Roper Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte du willst ihm seinen "Reibebaum" lassen Big Laugh
Wetterfritze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader

Wenn dich immer noch kein Beweis überzeugt, dann kann man dir mathematisch leider einfach nicht mehr weiterhelfen. Ich lade dich gerne dazu ein, Fehler in den Beweisen zu finden (sie überzeugen dich ja schließlich nicht, also müssen sie lückenhaft oder falsch sein), aber diese dann bitte auch benennen und nicht einfach "Nö" sagen.

air


Vorab: Mal ganz im Ernst, ein paar von euch sind so sinnlos übertrieben arrogant und machen sich hier über neue User lustig, dass ich es kaum glauben kann... verwirrt

Zu deinem Beweis: Du machst ja eig auch nichts anderes als eine Grenzwertbetrachtung der geometrischen Reihe. Ist schöner verpackt als zu sagen, der Grenzwert von Periode9 = 1. Da stellt sich die Frage, ob du diese bei diesem Problem überhaupt anwenden darfst? Schließlich geht es ja um eine Zahl, die falls sie existiert, unendlich nahe bei 1 liegt.

Vielen Dank an Cantors zweites Diagonalargument, weil die Idee, dass diese Zahl der Nachbar von 1 wäre, falsch ist.

Grüße
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Vorab: Mal ganz im Ernst, ein paar von euch sind so sinnlos übertrieben arrogant und machen sich hier über neue User lustig, dass ich es kaum glauben kann... verwirrt


Vorab: Was hat das damit zu tun, dass du neu bist? Wo haben wir uns überhaupt über dich lustig gemacht? Hat irgendjemand gesagt "Haha, guck mal den Deppen an"? Ich denke nicht. Du wurdest lediglich gebeten, Fehler auch zu benennen, wenn du den Beweisen nicht traust. Das hat nichts mit Arroganz zu tun.

Kommen wir lieber mal zu wertvolleren Inhalten:

Zitat:
Du machst ja eig auch nichts anderes als eine Grenzwertbetrachtung der geometrischen Reihe.


Der Begriff "geometrische Reihe" beinhaltet den Grenzwert bereits.

Zitat:
Ist schöner verpackt als zu sagen, der Grenzwert von Periode9 = 1.


Das ergibt keinen Sinn. "Periode 9" enthält bereits den Grenzwert. Die Aussage lässt aber erkennen, dass du den Beweis in meinem Artikel entweder nicht verstehen willst oder kannst. Er beginnt nämlich damit, überhaupt erstmal festzulegen, wie man den Ausdruck "" eigentlich zu verstehen hat. Wenn nicht als Grenzwert dieser Summe – wie dann? Ja, das ist eine Frage an dich speziell. Sage doch bitte mal, was du unter "" verstehst; wie definierst du diesen Ausdruck?

Zitat:
Da stellt sich die Frage, ob du diese bei diesem Problem überhaupt anwenden darfst? Schließlich geht es ja um eine Zahl, die falls sie existiert, unendlich nahe bei 1 liegt.


Es ist mir ein absolutes Rätsel, was das eine mit dem anderen zu tun hat. Dass sie existiert, vorausgesetzt man definiert das so wie ich im Artikel, ist mit der Theorie geometrischer Reihen übrigens sofort klar. Und "unendlich nahe bei Eins" liegen ist eine Aussage, deren formale Bedeutung ebenfalls zu hinterfragen wäre – sie liegt im selben Sinne unendlich nahe bei Eins, wie die Eins unendlich nahe bei Eins liegt ... schließlich sind es die selben Zahlen.

Zitat:
Vielen Dank an Cantors zweites Diagonalargument, weil die Idee, dass diese Zahl der Nachbar von 1 wäre, falsch ist.


Genauso wie die Idee, dass reelle Zahlen überhaupt so etwas wie Nachbarn haben. Wie gesagt, das ist keine diskrete Menge.

air
Wetterfritze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:



Das ergibt keinen Sinn. "Periode 9" enthält bereits den Grenzwert. Die Aussage lässt aber erkennen, dass du den Beweis in meinem Artikel entweder nicht verstehen willst oder kannst. Er beginnt nämlich damit, überhaupt erstmal festzulegen, wie man den Ausdruck "" eigentlich zu verstehen hat. Wenn nicht als Grenzwert dieser Summe – wie dann? Ja, das ist eine Frage an dich speziell. Sage doch bitte mal, was du unter "" verstehst; wie definierst du diesen Ausdruck?


ich hätte ihn genauso dargestellt wie du. Als diese unendliche Summe. Nur die Vereinfachung durch die geometrische Reihe ist doch auch eine Grenzwertbetrachtung.


Zitat:

Es ist mir ein absolutes Rätsel, was das eine mit dem anderen zu tun hat. Dass sie existiert, vorausgesetzt man definiert das so wie ich im Artikel, ist mit der Theorie geometrischer Reihen übrigens sofort klar. Und "unendlich nahe bei Eins" liegen ist eine Aussage, deren formale Bedeutung ebenfalls zu hinterfragen wäre – sie liegt im selben Sinne unendlich nahe bei Eins, wie die Eins unendlich nahe bei Eins liegt ... schließlich sind es die selben Zahlen.

air


Naja zur 1 muss man 0 dazu addieren/abziehen um auf die 1 zu kommen. Bei der 0,Periode9 im Unendlichen eine 1. Das ist doch dann wohl ein Unterschied, oder nicht?

Andersherum würde es ja bedeuten, wenn es diesen Unterschied nicht gäbe, dass 0 und 0,Periode0...1 gleich sind. Ist dem so? falls ja, hast du mich überzeugt!
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehe mal ganz bewusst nur auf den letzten Teil ein, denn alles davor kannst du dir durch aufmerksam(er)es Lesen selbst beantworten:

Zitat:
Original von Wetterfritze
Andersherum würde es ja bedeuten, wenn es diesen Unterschied nicht gäbe, dass 0 und 0,Periode0...1 gleich sind. Ist dem so? falls ja, hast du mich überzeugt!


Mir stellt sich die Frage, was überhaupt für eine Zahl sein soll. Wie definierst du sie? Mach das ruhig als Reihe oder wie immer du möchtest, Hauptsache irgendwie formal. In meinen Augen gibt es diese Zahl (im Körper der reellen Zahlen) nicht.

air
lp-raum Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Ideen zu diesem lustigen Thema:

Wenn dann
Daher und
Es geht also äquivalent darum zu überlegen, warum es keine positiven reellen Zahlen gibt, die kleiner als alle positiven rationalen Zahlen sind.
Und das kann man auch ohne die Vollständigkeit von oder Überlegungen mit Folgen begründen, man braucht nur das archimedische Axiom. (Natürlich ist überhaupt von Anfang an als Folgengrenzwert definiert, dessen Existenz und Eindeutigkeit durch das Vollständigkeitsaxiom sichergestellt ist.. aber immerhin wird ein Schüler das wahrscheinlich nicht so sehen und vielleicht diesen Zugang leichter finden)

Also sobald jemand das archimedische Axiom "verstanden" hat, d.h. akzeptiert hat, dass es für jede reelle Zahl eine größere natürliche Zahl gibt, weiß er auch, dass es für jede positive reelle Zahl ein kleineres gibt und kann oben genannte Situation ausschließen. Wobei das archimedische Axiom wirklich nicht so schwer zu "verstehen"/akzeptieren sein sollte, das steckt ja irgendwie in der Idee von Zahlen von vorn herein mit drin.
lp-raum Auf diesen Beitrag antworten »

Berichtigung : "..Existenz und Eindeutigkeit" in dem Fall natürlich gerade nicht. Augenzwinkern
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