Integral über Kugel

25.03.2010, 12:57

tohuwabou

Integral über Kugel

Hallo,
ich hab eine Menge $\begin{eqnarray*} B:=\{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 : x²+y²+z²<1\} \end{eqnarray*}$ und eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y,z):=(3xy²,z²-2y,x³): \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ gegeben.

Nun soll ich das Integral
$\begin{eqnarray*} \int_B \! div f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ berechnen. Ich weiß nicht wie das geht.

Also $\begin{eqnarray*} div f = 3y²-2 \end{eqnarray*}$ und nu ? Wäre dankbar ,wenn mir jemand Tipps gibt. smile

25.03.2010, 13:33

saz

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Schon mal was von Kugelkoordinaten gehört? Augenzwinkern

25.03.2010, 13:36

Lampe16

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RE: Integral über Kugel
Bist Du sicher, das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Integrationsvariable ist? Der Bereich $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ umfasst ein Volumen, so dass ein Volumenintegral nahe und der Satz von Gauß in der Luft liegt.

25.03.2010, 14:06

Cel

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Ich denke, dass hier auf den Satz von Gauß abgezielt wird und das "dx" eben nur eine Schreibweise ist. Haben wir auch öfters so genutzt.

25.03.2010, 14:17

saz

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Zitat:

Original von Mr. Brightside
Ich denke, dass hier auf den Satz von Gauß abgezielt wird und das "dx" eben nur eine Schreibweise ist.

Aber im Grunde ist doch der Satz von Gauß hier doch vollkommen unnötig - wird der Spatz ja wiedermal mit der Kanone erschossen. Ein Kugelintegral über die obige Funktion (Divergenz) zu berechnen, sollte ja wirklich kein Problem sein...

25.03.2010, 14:22

Lampe16

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@saz & Mr. Brightside
Gauß hin oder her: $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als Raumkoordinate und $\begin{eqnarray*} {\rm d}x \end{eqnarray*}$ gleichzeitig als Volumenelemt ist mir zu wenig hygienisch.

25.03.2010, 14:24

tohuwabou

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ja, Anwendung vom Satz von Gauß ist schon richtig. Ich sollte eigentlich ein anderes Integral ausrechnen, hab es aber über den Satz von Gauß schon zu dem hier gemacht. Wie geh ich denn jetzt vor? Ps Ja das dx ist nur eine Schreibweise Augenzwinkern

25.03.2010, 14:27

saz

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Zitat:

Original von saz
Schon mal was von Kugelkoordinaten gehört? Augenzwinkern

Wie gesagt - damit kannst du das Integral berechnen. Wenn ihr den Satz von Gauß schon hattet, solltest du doch schon mal was von Kugelkoordinaten gehört haben? verwirrt

25.03.2010, 14:32

kev234

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Ich meine, dass es nicht auf den Satz von Gauß hinauslaufen wird. Denn wollte man den Satz von Gauss

$\begin{eqnarray*} \int_B \mathrm{div} f(x)d\mathcal L^n = \int_{\partial B} f(x) \nu_B(x)d\mathcal H^{n-1} \end{eqnarray*}$

anwenden, so müsste man auf der anderen Seite der Gleichung die äußere Einheitsnormale an B kennen. Da ist es doch leichter, straight-forward die Divergenz auszurechnen und dann mittels Kugelkoordinaten und Transformationsformel das Integral zu lösen.

Für Kugelkoordianten betrachte folgende Abbildung:

$\begin{eqnarray*} \Phi: (0, \infty) \times (-\pi, \pi) \times (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \to \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi(r, \theta_1, \theta_2) = \left ( \begin{matrix} r \cdot \cos \theta_1 \cos \theta_2\\ r \cdot \sin \theta_1 \cos \theta_2 \\ r \cdot \sin \theta_2 \end{matrix} \right ) \end{eqnarray*}$

Die Determinante $\begin{eqnarray*} \det D\Phi(r, \theta_1, \theta_2)=r^2 \cos \theta_2 \end{eqnarray*}$ benötigst du für die Transformationsformel. Diese gilt für jeden $\begin{eqnarray*} C^1- \end{eqnarray*}$ Diffeomorphismus $\begin{eqnarray*} U \to V \end{eqnarray*}$ und lautet:

$\begin{eqnarray*} \int _V f(y)dy=\int_U f(\Phi(x))dx \left |\det (D\Phi(x)) \right |dx \end{eqnarray*}$

25.03.2010, 15:17

tohuwabou

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Muss ich dann also das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \! 3((r*cos \Theta_1 *cos \Theta_2)²+ (r* sin \Theta_1 * cos \Theta_2)² + (r*sin \Theta_2)² -2) * r²* cos \Theta_2 \, d \Theta_2 d \Theta_1 dr \end{eqnarray*}$

berechnen?

25.03.2010, 15:26

saz

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Nein, wieso denn das? Der Integrand stimmt nicht. Es kommt doch (lt. deiner eigenen Rechnung) nur 3y² -2 vor ... während du ja jetzt sowas wie 3 (x²+y²+z²) -2 geschrieben hast...

25.03.2010, 15:41

tohuwabou

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Achso, ich muss $\begin{eqnarray*} div f \end{eqnarray*}$ weiterhin als Funktion von $\begin{eqnarray*} x, y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ betrachten auch wenn sie eigentlich nur noch von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abhängt.

Also nur das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \! (3(r* sin \Theta_1 * cos \Theta_2)² -2 )*r²*cos \Theta_2 \, d \Theta_2 d \Theta_1 dr \end{eqnarray*}$

25.03.2010, 15:43

saz

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Jupp.

25.03.2010, 16:08

tohuwabou

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Okidoki, vielen Danke an Alle , ich hab jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{2\pi}{3} \end{eqnarray*}$ ausgerechnet. Weiß nicht obs stimmen kann.

Gruß

25.03.2010, 16:14

kev234

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Nein, das richtige Ergebnis ist $\begin{eqnarray*} \frac{-28}{15} \pi \end{eqnarray*}$ .

27.03.2010, 13:18

tohuwabou

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Hätte man eigentlich auch die Wurzel aus der Gramschen Determinante über B integrieren können und wenn nein wieso nicht? Les hier nämlich gerade bei Integration von Funktionen über Mannigfaltigkeiten $\begin{eqnarray*} \int_F f \,dS:=\int_T f(\Phi(t))\sqrt{g(t)} \,dt \end{eqnarray*}$

30.03.2010, 18:54

tohuwabou

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Die Transformationsformel funktioniert ja nur bei einem Diffeomorphismus. Kann ich die Formel oben dann auf Funktionen anwenden bei denen $\begin{eqnarray*} D\Phi \end{eqnarray*}$ nicht quadratisch ist? Kommt das Gleiche bei beiden raus, wenn $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ Diffeomorphismus ist?

Würd mich sehr interessieren, weil mir nicht klar ist wo das herkommt. Also wann muss ich Transformationsformel und wann die Formel oben verwenden? Ist die Transformationsformel allgemeiner?

30.03.2010, 19:43

tohuwabou

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ah jo hab nochmal drüber nachgedacht .

Ist $\begin{eqnarray*} D\Phi \end{eqnarray*}$ quadratisch , kann man ja Transformationsformel anwenden mit $\begin{eqnarray*} |det D\Phi| \end{eqnarray*}$ . Sonst ist die gramsche Determinante ja als $\begin{eqnarray*} D\phi^T*D\phi \end{eqnarray*}$ definiert. Also ja im Prinzip $\begin{eqnarray*} det A = det A² =det (A^T *A)= det A^T * det A=det A*det A \end{eqnarray*}$ . Also sind die Formeln gleich für ein Diffeomorphismus $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ .

Ok dann hat sich das erledigt.

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