Galois Gruppe einer Gleichung

25.03.2010, 23:32

Seren

Auf diesen Beitrag antworten »

Galois Gruppe einer Gleichung

Hi folks,
Ich schreibe bald eine Algebra Klausur und bin mit manchen Themen noch nicht im Einklang.Und weil eben in dieser Klausur Körpererweiterungen und Zerfällungskörper Thema sind, brauch ich auch Galoistheorie.

Ich verstehe noch nicht so genau den Zusammenhang zwischen Galois Gruppen und dem Grad einer Körpererweiterung. Der Hauptsatz der Galoistheorie ist mir bekannt, nur kann ich ihn an einer Gleichung nicht anwenden..

Ich wünschte, wenn mir jemand Denkanstöße gibt, wie ich eine Galois Gruppe ermittle und die Anzahl der Automorphismen bestimme.

Wenn ich mir z.b. $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 - 2 \end{eqnarray*}$ in Q anschaue:
Der Zerfällungskörper ist: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt2] \end{eqnarray*}$ , da in diesem das Polynom in $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2-2=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2) \end{eqnarray*}$ übergeht.
Der Grad der Körpererweiterung ist 2, da $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ über Q irreduzibel ist und somit der höchste Exponent den Grad der Körpererweiterung beschreibt.

Jetzt wüsste ich gerne, wie ich das mit der Galois Gruppe hätte machen können.

Ich hoffe es kann mir jemand weiterhelfen.

lg Seren

26.03.2010, 00:05

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Anzahl der Homomorphismen ist doch gerade der Körpergrad. Und so unglaublich viele Gruppen der Ordnung 2 gibt es auch nicht(genau eine Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

26.03.2010, 11:48

Seren

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist, dass ich nicht weiß, um welche Automorphismen es sich handelt. Sind das die von Nullstelle zu Nullstelle? Also der, der $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} -\sqrt2 \end{eqnarray*}$ abbildet und andersherum?

und da $\begin{eqnarray*} Gal(L/K) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} L:=\mathbb{Q}[\sqrt2] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K=\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ isomorph ist zu $\begin{eqnarray*} S_2 \end{eqnarray*}$ und diese $\begin{eqnarray*} 2! = 2 \end{eqnarray*}$ Elemente hat, ist der Grad der Körpererweiterung 2?
Kann das jemand absegnen oder sagen wo was falsch ist?

lg Seren

26.03.2010, 12:05

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die Abbildung die du erwähnt hast und die Identität sind die beiden Automorphismen.

Deine Argumentation dannach ist aber genau falschrum, du kennst doch bereits den Körpererweiterungsgrad und folgerst dann etwas über die Galoisgruppe.

26.03.2010, 16:14

Seren

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man nicht durch die Elemente der Galois Gruppe den Grad der Körpererweiterung bestimmen? Ich dachte das man mit dem einen das andere bestimmen kann ..

26.03.2010, 16:19

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Und woher weißt du dass du alle Elemente der Galoisgruppe bestimmt hast?

Anzeige

26.03.2010, 16:23

Seren

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Elemente der Galoisgruppe sind die Automorphismen der Nullstellenpermutationen ( wenn man das so sagen kann)
d.h. $\begin{eqnarray*} Gal(L/K)={ Id, \phi} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \phi:\mathbb{Q}[\sqrt2]\to\mathbb{Q}[\sqrt2] ; \sqrt2->-\sqrt2 \end{eqnarray*}$ und somit: # $\begin{eqnarray*} Gal(L/K) = 2 =>[L:K]=2 \end{eqnarray*}$

Sag mir bitte, wo die Argumentation fehlschlägt.

lg Pavel

26.03.2010, 16:32

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

In diesem einfachen Fall weißt du aber doch bereits den Körpergrad und benutzt diesem implizit dadurch dass du die Anzahl der Nullstellen kennst.

26.03.2010, 16:43

Seren

Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen ich wüsste die Nullstellen, dann ich doch immernoch nichts über den Grad der Körpererweiterung sagen, weil man z.b. nicht alle Nullstellen untereinander permutieren kann.
Z.B. gibt es keine Abbildung, die $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \sqrt3 \end{eqnarray*}$ schickt, oder?
Und wenn ich eh den Grad der Körpererweiterung bestimmen muss, um die Elemente der Galois Gruppe zu kennen, wozu brauche ich das dann? Ich will ja grade über die Galois Gruppe den Grad bestimmen. Gibts eine andere, evtl. leichtere Variante?

26.03.2010, 16:47

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Mach es doch so wie es dir am leichtesten fällt. Meiner Meinung nach musst du zuerst den Körper L genau kennen. Deine Interpretation ist dass du sagt L ist Zerfällungskörper eines Polynoms, dann die Galoisgruppe bestimmst und dann den Grad.

Aber ohne den Körper L zu kennen sehe ich nicht wie du die Galoisgruppe bestimmen willst.

26.03.2010, 18:12

Seren

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, ich fühle mich mit diesem Thema kaum vertraut.

Ich bräuchte ne Art Schema nach dem ich verfahre um die nötigen Sachen rauszufinden.

Sagen wir ich habe eine Körpererweiterung gegeben und soll dazu den Grad der KE ausrechnen. Ich bestimme das MiPo der zugehörigen algebraischen Erweiterungselemente und hier schon die erste frage:
Nehmen wir an: $\begin{eqnarray*} L:=\mathbb{Q}[\sqrt2,\sqrt3] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K:=\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und ich soll den Grad der KE bestimmen.
Ich weiß, dass das Mipo von $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_1(x)=x^2-2 \end{eqnarray*}$ und das von $\begin{eqnarray*} \sqrt3 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_2(x)=x^2-3 \end{eqnarray*}$ . Daraus kann ich aber noch nicht schließen, dass der Grad 2+2=4 ist, oder?
Ich kann auch nicht die einzelnen MiPos aneinander multiplizieren, weil das im Allgemeinen nicht mehr irreduzibel ist. Weiter weiß ich, dass die Erweiterung nicht galoisch ist, da #Gal(L/K)=4 nicht isommorph is zu einer Untergruppe von $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ .
Ich bräuchte ein allgemeines Schema, wie man mit solchen Sachen umgeht.

lg Seren

26.03.2010, 18:37

juergen007

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Galois Gruppe einer Gleichung
"
Der Grad der Körpererweiterung ist 2, da $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ über Q irreduzibel ist und somit der höchste Exponent den Grad der Körpererweiterung beschreibt.
"
Das stimmt so nicht ganz siehe x^3-2 welchen Grad hat der Zerfällungskörper L?
Galoisgruppe?
es gibt Abbildungen Q(sqrt(2)) nach Q(sqrt(3)) aber keine linearen
Sonst ok Augenzwinkern

Augenzwinkern

J

26.03.2010, 18:53

Seren

Auf diesen Beitrag antworten »

für $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3-2 \end{eqnarray*}$ lautet der ZK: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[2^\frac{1}{3},e^\frac{2\pi i}{3}] \end{eqnarray*}$
Die Erweiterung ist nicht normal, da in $\begin{eqnarray*} L:=\mathbb{Q}[2^\frac{1}{3}] \end{eqnarray*}$ nicht alle Nullstellen enthalten sind(z.b. die komplexen nicht)
=> KE nicht galoisch.

26.03.2010, 21:13

juergen007

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Seren
für $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3-2 \end{eqnarray*}$ lautet der ZK: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[2^\frac{1}{3},e^\frac{2\pi i}{3}] \end{eqnarray*}$
Die Erweiterung ist nicht normal, da in $\begin{eqnarray*} L:=\mathbb{Q}[2^\frac{1}{3}] \end{eqnarray*}$ nicht alle Nullstellen enthalten sind(z.b. die komplexen nicht)
=> KE nicht galoisch.

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[2^\frac{1}{3},e^\frac{2\pi i}{3}] \end{eqnarray*}$
ist durchaus normal.
Der zwischenkörper $\begin{eqnarray*} L:=\mathbb{Q}[2^\frac{1}{3}] \end{eqnarray*}$ ist nicht normal das wird ja auch nicht verlangt.

26.03.2010, 21:48

Seren

Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, überlesen.

Wie die Galois Gruppe davon aussieht weiß ich nicht.
Ich probiers mal: $\begin{eqnarray*} Gal(L/K)=\{Id,\phi_1,\phi_2,\phi_3\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \phi_1:NS_1->NS_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \phi_2:NS_2->NS_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi_3:NS_3->NS_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} NS_i \end{eqnarray*}$ den Nullstellen von f .. sind 4 Elemente. Kommt irgendwie nicht hin. Wo ist mein Fehler?

lg

27.03.2010, 09:38

juergen007

Auf diesen Beitrag antworten »

Galois
siehe mal unter
http://de.wikipedia.org/wiki/Galoisgruppe
ganz gut erklärt dies beispiel
JB

28.03.2010, 17:58

Seren

Auf diesen Beitrag antworten »

Um zu deinem Bsp zurückzukehren:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3-2 \end{eqnarray*}$ , der ZK ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2},\zeta_3] \end{eqnarray*}$ . Die Erweiterung ist galoisch, da sie separabel ist, wegen char( $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ )=0 und sie ist normal, da L:=ZK der Zerfällungskörper der Erweiterung ist und f(x) darin in Linearfaktoren zerfällt.

Die Galoisgruppe enthält 6 Abbildungen: $\begin{eqnarray*} Gal(L/K)=\{ Id,\tau,\sigma,\sigma^2,\tau\sigma,\sigma^2\tau\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \tau:\sqrt[3]{2} \to \sqrt[3]{2}\zeta_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma = \zeta_3 -> \zeta_3^2 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \sigma^3=Id,\tau^2=Id \end{eqnarray*}$

damit besitzt die Galois Gruppe 6 Elemente und isomorph zu der Diedergruppe $\begin{eqnarray*} D_3 \end{eqnarray*}$ , da die Galois Gruppe nicht zyklisch ist und somit nicht isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Die Basiselemente sind: $\begin{eqnarray*} \{1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\zeta_3,\sqrt[3]{2}\zeta_3^2,\zeta_3,\zeta_3^2\} \end{eqnarray*}$

Der durch $\begin{eqnarray*} <\sigma> \end{eqnarray*}$ erzeugte Zwischenkörper ist nach Berechnung $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\zeta_3] \end{eqnarray*}$ , der durch $\begin{eqnarray*} <\tau> \end{eqnarray*}$ erzeugte ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}] \end{eqnarray*}$ und der durch $\begin{eqnarray*} <\tau\sigma> \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2},\zeta_3] \end{eqnarray*}$

Wäre nett, wenn jemand mal drübergehen würde und mir sagen, ob das richtig ist.

lg Seren

28.03.2010, 18:11

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Serender durch $\begin{eqnarray*} <\tau> \end{eqnarray*}$ erzeugte ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}] \end{eqnarray*}$ und der durch $\begin{eqnarray*} <\tau\sigma> \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2},\zeta_3] \end{eqnarray*}$

Begründung jeweils?

28.03.2010, 19:01

Seren

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe auf die Basiselemente die jeweiligen Automorphismen angewandt und geschaut, welche Elemente sich daraus ergeben und was ich zu Q adjungieren muss, damit das in meinem Körper liegt.

28.03.2010, 19:07

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst mit erzeugte Körper aber schon die Fixkörper oder?

28.03.2010, 23:46

Seren

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau.

Sonst alles konform?

29.03.2010, 00:35

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, dann ist alles meiner Meinung nach falsch.

29.03.2010, 00:59

Seren

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja die erzeugten Körper sind halt dir Zwischenkörper, die durch die Automorphismen entstehen.

29.03.2010, 08:06

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht mal das passt imo, aber gesucht sind doch Elemente die gleich bleiben unter diesen Automorphismen. Diese bilden einen Körper. Schau mal genau ob die Elemente deiner Körper unter diesen Untergruppen wirklich elementweise gleich bleiben

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »