dim vom orthogonalen komplement

26.03.2010, 16:50	kata	Auf diesen Beitrag antworten »
dim vom orthogonalen komplement Meine Frage: hallo!! ich hätte da mal eine frage zu einer aufgabe: und zwar: gegeben: u_1=(2,1,0,1) u_2=(-1,-2,-3,1) u_3=(4,-1,-6,5)aus dem Vektorraum U und man soll nun die dimension des orthogonalen Komplements von U bestimmen. Meine Ideen: ich hab dafür die Matrix A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & -3 & 1 \\ 4 & -1 & -6 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ auf zeilenstufenform gebracht.das sieht dann so aus(wenn ich mich nicht verrechnet hab): A´= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ da hab ich dann rausbekommen,dass der vektor v= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ den Raum vom orthogonalen komlement von U aufspannt und dass damit die dim= 1 ist.. kann ich das so machen oder ist das falsch?und stimmt das,dass die dim dann 1 ist oder hab ich was falsch gemacht? schon mal vielen dank für jede hilfe!
26.03.2010, 23:22	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Vektor v hast Du korrekt bestimmt. Ob Du aber richtig gerechnet hast kann man nur an deiner Rechnung sehen (dabei gehts ja nur um mögliche weitere linear unabhängige Lösungen)
27.03.2010, 00:24	Kata	Auf diesen Beitrag antworten »
ok,danke schonmal für deine mühe! was eigentlich mein problem war,ist,dass ich nicht genau wusste,ob ich das vom prinzip her richtig verstanden hab... stimmt das nun so,dass ich dann für die dimension des orthogonalen komplements von U 1 rausbekomme,wenn keine weiteren linear unabhängigen vektoren außer v rausbekomme?
27.03.2010, 09:14	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dein weg ist völlig richtig. Wenn $\begin{eqnarray} \langle v,u_1 \rangle = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \langle v,u_2 \rangle = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \langle v,u_3 \rangle = 0 \end{eqnarray}$ dann folgt trivialer Weise $\begin{eqnarray} \langle \lambda v, \mu_1u_1 + \mu_2 u_2 + \mu_3 u_3\rangle = 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \lambda,\mu_i \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Und das wiederum bedeutet $\begin{eqnarray} \mathop{span}(v) \subset \mathop{span}(\{u_1,u_2,u_3\})^\perp \end{eqnarray}$ Die Gleichheit folgt wenn es keine weitere , zu v linear unabhängige Lösung gibt. edit: Viel wichtiger ist aber, ob denn überhaupt $\begin{eqnarray} \mathop{span}(\{u_1,u_2,u_3\}) = U \end{eqnarray}$ gilt, das hast Du ja gar nicht erwähnt.
27.03.2010, 12:12	Kata	Auf diesen Beitrag antworten »
ok,supi,vielen dank für deine hilfe! hmm,aber da hast du natürlich recht,dass ich Span(u_1,u_2,u_3) = U noch überprüfen sollte,auch wenns nicht direkt in der aufgabe steht..eigentlich ziemlich dämlich,das direkt anzunehmen da muss ich doch eigentlich nur überprüfen,ob die 3 vektoren linear unabhänig sind,oder?also,ich hab raus,dass sie es sind... aber mal angenommen,sie wären es nicht..hätte ich als A dann einfach eine 3x3-Matrix (also,müsste ich einen vektor dann einfach weglassen) und würde genauso vorgehen oder müsste ich dann etwas ändern?
27.03.2010, 14:24	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest genauso vorgehen. Wenn die Vektoren linear abhängig wären würden einfach mehr Nullzeillen in der Treppennormalform auftauchen.
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27.03.2010, 14:45	Kata	Auf diesen Beitrag antworten »
klasse..dann hab ich alles verstanden!! nochmal vielen dank!

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