Vollständige Induktion

27.03.2010, 14:24

*Moony*

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Vollständige Induktion

Hallo! Ich hab hier eine Induktion bei der ich einfach nicht weiter komme.

Summe (von k=1 bis n) 1/(2k-1)(2k+1) = n/2n+1

Mein Ansatz beim Beweis ist dann:

k/2k+1 + 1/(2k+1)(2k+3) = (k+1)/(2k+3)

und ich komm einfach nicht drauf, wie ich das umformen muss. Sonst krieg ich immer alle Induktionsaufgaben hin, nur die komischerweise nicht.

Schon mal danke für jede Hilfe!!

27.03.2010, 14:29

giles

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(2k+1)(2k-1)}=\frac{\frac{1}{2}}{2k-1}-\frac{\frac{1}{2}}{2k+1} \end{eqnarray*}$

-> Teleskopsumme

29.03.2010, 18:18

*Moony*

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Mal ganz ehrlich das hilft mir überhaupt nicht. Und wenn ich das richtig sehe, kommt da ja dann auf der rechten Seite null raus??? Was soll das denn bringen?
Man muss doch auf jeder Seite das gleiche rauskriegen bei der vollständigen Induktion.

29.03.2010, 18:25

saz

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Dein Fehler: Hier bringt dir deine Induktion nichts (oder ist sehr umständlich). Was giles dir vorgeschlagen hat, ist eine Partialbruchzerlegung vorzunehmen und dann entsprechend die Tatsache auszunutzen, dass du eine Teleskopsumme erhälst.

(Und es kommt nicht 0 raus! Beachte (2k-1) bzw. (2k+1) im Nenner...)

29.03.2010, 18:34

*Moony*

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Tja das war aber Klausuraufgabe im 1. Semester Biotechnologie. Und die Aufgabe war da, eine vollständige Induktion durchzuführen. Und so etwas wie Teleskopsumme habe ich noch nie im Leben gehört. Und sowas haben wir in Mathe auch nicht gemacht und der Prof erwartet dann auch nicht, dass man das so löst. Die Induktion soll angeblich total einfach sein. Man muss anscheinend nur was ausklammern oder so, aber ich komm halt nicht drauf.

29.03.2010, 18:38

Iorek

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Erstmal ist dein Beweisansatz falsch, k ist dein Summationsindex, da müsste n stehen.

Und dann führe doch mal die Induktion durch, IA und IV denke ich hast du gemacht, was genau machst du beim Induktionsschrit?

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29.03.2010, 18:53

*Moony*

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also ob da k oder n steht ist ja jetzt mal vom rechenweg her total wurst ^^

Also mann muss ja beweisen, dass die Aussage nicht nur für n=1 sondern auch die n= k+1 gilt. Da es ja eine Summe ist lass ich erstmal die linke seite so stehen und addiere den gleichen bruch (wobei statt k k+1 eingesetzt wird). AUf der rechten seite hab ich dann auch k+1 für n eingesetzt.
dann steht da erstmal:

1/[(2k-1)(2k+1)] + 1/[(2k+1)(2k+3)] = (k+1)/(2k+3)

Da ich ja schon bewiesen hab, dass es für n=1 stimmt ersetze ich 1/[(2k-1)(2k+1)] durch k/(2k+1) (also das, was bei der aufgabenstellung auf der rechten seite stand, wobei ich n durch k+1 ersetze).

und das ergibt dann meinen ansatz: k/(2k+1) + 1/[(2k+1)(2k+3)] = (k+1)/(2k+3)

Also so sind wir zumindestens immer in der VOrlesung vorgegangen. Aber vielleicht hab ich mich ja auch irgendwo vertan und komme deswegen nicht weiter

29.03.2010, 19:04

Iorek

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Erstmal ist es vom mathematischen Standpunkt her nicht egal, ob da jetzt k oder n steht, k hat keinen festen Wert, was willst du für k also einsetzen? Dadurch wird deine Rechnung falsch.

Machen wir es also richtig, mathematisch wie formal:

$\begin{eqnarray*} \text{Behauptung:}~\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(2k+1)(2k-1)}=\frac{n}{2n+1} \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Beweis per vollständiger Induktion über n}: \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{IA:}~n=1, \sum\limits_{k=1}^1 \frac{1}{(2k+1)(2k-1)}=\frac 13 = \frac 1{2+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{IV: Die Behauptung gelte für ein}~n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{IS:}~n\rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{(2k+1)(2k-1)}=\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(2k+1)(2k-1)}+\frac{1}{(2n+3)(2n+1)}\stackrel{\text{IV}}=\frac n{2n+1}+\frac{1}{(2n+3)(2n+1)} \end{eqnarray*}$

Das sind die beiden Brüche die du hast, jetzt fass die doch einfach mal zusammen.

29.03.2010, 19:28

*Moony*

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ja ok so weit war ich ja auch schon. Mal abgesehen davon, dass bei dir ein n statt einem k steht ist es eigentlich das gleiche. Aber ich weiß ja eben nicht, wie ich dann weitermachen soll. ALso ich hab jetzt mal versucht, die beiden brüche zusammenzufassen und auf einen gemeinsamen nenner zu bringen. aber vielleicht meintest du das ja auch nicht, weil da kommt mist raus, den man nicht gebrauchen kann ^^ jedenfalls beweist es nichts.

29.03.2010, 19:31

Iorek

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Nochmal: da muss das n stehen, nicht wie bei dir das k.

Und wer hat gesagt, dass der Beweis nach einem einzigen Schritt fertig ist? Wie entscheidest du, dass damit noch nichts bewiesen ist?

Fass die Brüche zusammen, dann kannst du mal gucken wie du den Zähler faktorisieren kannst.

29.03.2010, 19:35

*Moony*

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ja mir gehts ja auch gar nicht um das n oder das k. ich sag auch nicht, dass der beweis jetzt schon fertig ist. ich hab die brüche zusammengefasst nach der rechenregel a/b + c/d = (a*d + b*c) / b*d
und da kriegt ich nichts gescheites raus. da bleiben ja nur summen übrig im zähler und nenner und die kann man ja nicht rauskürzen oder so

29.03.2010, 19:38

Iorek

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Nimm doch einfach meinen Tipp an:

Zitat:

Fass die Brüche zusammen, dann kannst du mal gucken wie du den Zähler faktorisieren kannst.

Wenn du dann nicht weiterkommst schreib auch bitte dein neues Zwischenergebnis hin, ansonsten können wir da auch nichts verbessern.

29.03.2010, 19:42

*Moony*

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ja ok ich hab die zusammengefasst, mit der regel die ich geschrieben hab und dann hab ich raus: (6n^3 + 3n^2 + 11n +1) / (8n^3 + 20n^2 + 14n +3)

ich versteh ehrlich gesagt auch nicht, was du mit zähler faktorisieren meinst ^^

29.03.2010, 19:45

Iorek

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Den Nenner musst du nicht ausmultiplizieren, den kannst du direkt faktorisiert stehen lassen.

Faktorisieren ist das Zerlegen eines Produkts in lineare Faktoren.

Edit: Danke für den Einwand @saz, hab das irgendwie übersehen...

Überprüf also dahingehend nochmal deine Rechnung.

29.03.2010, 19:46

saz

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Wie kommst du denn dort auf ein Polynom dritten Grades? Du sollst

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{2n+1} + \frac{1}{(2n+1) \cdot (2n+3)} \end{eqnarray*}$

auf einen gemeinsamen Nenner bringen! Da offensichtlich in dem zweiten Bruch unten bereits der gleiche Faktor vorkommt, musst du den ersten Bruch nur mit (2n+3) erweitern... unglücklich

unglücklich

29.03.2010, 19:56

*Moony*

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also ich hab jetzt versucht den Faktor (2n+1) auszuklammern, weil der ja auch zweimal im nenner steht und ich ihn dann kürzen könnte. Denkst du ich bin da auf dem richtigen weg?

mom hab das mit dem erweitern noch nicht gemacht. danke das ist ein guter tipp

29.03.2010, 19:58

saz

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Du kannst ihn nicht kürzen, aber du kannst ihn ausklammern, ja. Und den Rest (in der Klammer) musst du jetzt auf einen gemeinsamen Nenner bringen...

Edit: Also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n+1} \cdot \left( \frac{1}{2n+3} + n \right) \end{eqnarray*}$

29.03.2010, 20:06

*Moony*

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aber wenn ich mit (2n+3) erweiter bekomme ich

[n(2n+3) +1] / [(2n+1)(2n+3)

da kann ich nichts ausklammern

29.03.2010, 20:07

Iorek

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Lös im Zähler mal die Klammer auf, den Nenner kannst du so stehen lassen.

29.03.2010, 20:10

*Moony*

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ja dann hätte ich ja $\begin{eqnarray*} 2n^2 + 3n +1 / (2n+1) (2n+3) \end{eqnarray*}$

und was hab ich jetzt davon? Big Laugh

Big Laugh

29.03.2010, 20:12

Iorek

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Jetzt kannst du den gesamten Zähler neu faktorisieren (bei dir fehlen übrigens Klammern).

Das konntest du davor nicht, weil die einzelne +1 gestört hat.

29.03.2010, 20:12

saz

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Versuch mal im Zähler (2n+1) auszuklammern...Also

$\begin{eqnarray*} (2n² + 3n+1) = (2n+1) \cdot (n + ?) \end{eqnarray*}$

29.03.2010, 20:17

*Moony*

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Ich merk grad, dass ich Ausklammern nicht so gut kann ^^

wäre es $\begin{eqnarray*} (2n+1) (n+2n^2) / (2n+1) (2n+3) \end{eqnarray*}$

danke übrigens, dass du so geduldig mit mir bist smile

smile

29.03.2010, 20:19

saz

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Nein. Schau mal: Dann würdest du im Zähler ein Polynom dritten Grades bekommen. An Stelle des ? muss einfach eine Zahl.

Wenn es dir hilft: Denk mal an das, was du beweisen möchtest...

29.03.2010, 20:29

*Moony*

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hm dann vielleicht eher $\begin{eqnarray*} (2n+1) (n +1) / (2n+1) (2n+3) \end{eqnarray*}$ dann könnte ich das kürzen und dann würde $\begin{eqnarray*} (n+1) / (2n+3) \end{eqnarray*}$ übrig bleiben

Aber das ist jetzt ehrlich gesagt geraten. ich bin langsam müde und steh beim ausklammern jetzt irgendwie aufm schlauch, ich bin nicht geübt im ausklammern mit zb einer klammer wie hier. :/

29.03.2010, 20:30

saz

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Ja, genau. Und jetzt kannst du (2n+1) kürzen und erhälst gerade das gewünschte Ergebnis.

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2n+3} \end{eqnarray*}$

Wenn du beim Ausklammern prüfen willst, ob es stimmt, kannst du ja zum Test einfach wieder Ausmultiplizieren.

29.03.2010, 20:31

*Moony*

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Ok danke

smile

kann du mir noch bitte kurz das ausklammern erklären?

29.03.2010, 20:33

saz

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Naja, es gilt ja gerade, dass

$\begin{eqnarray*} (n+1) \cdot (2n+1) = 2n^2 + n + 2n +1 = 2n^2 + 3n +1 \end{eqnarray*}$

Muss man eben ein Auge dafür bekommen - oder in dem Fall schauen, was man denn rauskommen müsste.

29.03.2010, 20:35

*Moony*

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Oh ja stimmt ^^ ok danke danke danke ^^ du hast mir sehr geholfen. eigentlich war das einzige was ich nicht gerafft hatte an der aufgabe, den einen bruch am anfang zu erweitern mit dem einen faktor was du vorgeschlagen hattest XD Und der rest ist ja dann nur rechentechnik. Oh man dann war die aufgabe echt nicht so schwer ^^ nochmal danke

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