Fixpunkte

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Der Lustige Peter Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunkte
Hallo liebe Leut,

Bei mir steht eine Klausur in Algebra an und ich bin grade dabei, mich vorzubereiten. Dabei hätte ich eine Frage zu einer Aufgabe, bzw. der damit verwandten Materie.
Also:
Zitat:
Aufgabentext
Eine Gruppe der Ordnung 55 operiere auf einer Menge M mit 18 Elementen. Zeigen Sie, dass die Gruppe auf M mindestens 2 Fixpunkte hat

Die Lösung, wie wir es besprochen haben, schaut so aus:
,
Untergruppen von G habe die Ordnung 1, 5, 11 oder 55
(Satz von Lagrange)
Bahnen von G auf M haben die Länge 1, 5, 11, 55
(Bahnensatz)
Eine Bahn der Länge 55 ist auf M nicht möglich
Möglichkeiten
18 Bahnen der Länge 1 = 18 Fixpunkte
1 Bahn der Länge 5 + 13 Bahnen der Länge 1 = 13 Fixpunkte
2 Bahnen der Länge 5 + 8 Bahnen der Länge 1 = 8 Fixpunkte
3 Bahnen der Länge 5 + 3 Bahnen der Länge 1 = 3 Fixpunkte
1 Bahn der Länge 11 + 7 Bahnen der Länge 1 = 7 Fixpunkte
1 Bahn der Länge 11 + 1 Bahn der Länge 5 + 2 Bahnen der Länge 1 = 2 Fixpunkte
Ergo: Mindestens 2 Fixpunkte
qed
Meine Frage dazu ist eher theoretischerer Natur Augenzwinkern
Der Bahnensatz hört sich in unserem Skript so an:
Zitat:
Die endliche Gruppe G operiere transitiv auf der Menge M. Dann gilt für die Ordnung G, die Ordnung einer jeden Standgruppe in G, und die Anzahl der |M| Elemente von |M|:

Was hat die Standgruppe mit den Bahnen zu tun? Ist die Standgruppe gleich den Bahnen, oder was sagt mir der Bahnensatz für diese Aufgabe?

Liebe Grüße und Vielen Dank,
Peter
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Operiert G nicht transitiv auf M so zerfällt M in Äquivalenzklassen von Objekten bezüglich der Operation. Auf jeder dieser Äquivalenzklassen(Bahnen also Augenzwinkern ) operiert G transitiv und so kommst du auf den Bahnensatz den du in der Aufgabe benutzt hast.
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