Diagonalisierbarkeit |
| 30.03.2010, 17:36 | Leo20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Diagonalisierbarkeit Ich habe bereits bewiesen, daß AB=BA gilt, falls A und B simultan diagonalisiebar sind. Wie zeigt man nun aber (vorausgesetzt AB=BA gilt), daß wenn A und B diagonalisierbar sind, daß dann auch A+B diagonalisierbar ist? ..mir gehts vor allem darum, daß die Formalitäten stimmen ;-) Schönen Abend & besten Dank! P 
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| 30.03.2010, 17:41 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nehme doch einmal eine Matrix P mit und und schaue was bei der Konjugation mit P auf A+B rauskommt |
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| 30.03.2010, 23:10 | Leo20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was meinst du genau mit "Konjugation mit P auf A+B" |
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| 30.03.2010, 23:23 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| 30.03.2010, 23:39 | Leo20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also gilt eigentlich: D1+D2 = D2+D1 => B*A = P^{-1}*D2*P + P^{-1}*D1*P = P^{-1}*(D1+D2)*P = A + B Damit ist auch A+B diagonalisierbar. |
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| 30.03.2010, 23:41 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Warum sollte B*A = A+B sein, und was folgerst du aus D1+D2 = D2+D1? |
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| 30.03.2010, 23:54 | Leo20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das * sollte natürlich eigentlich nicht dort stehen.. D1+D2 = D2+D1 => B+A = P^{-1}*D2*P + P^{-1}*D1*P = P^{-1}*(D1+D2)*P = A + B hm, stimmt es so nicht? (was sollte anders (wie?) hier stehen?) |
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| 30.03.2010, 23:58 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Klar stimmt es, es ist aber miserabel aufgeschrieben! Strukturiere einmal den Beweis komplett so wie du ihn abgeben würdest |
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| 31.03.2010, 00:07 | Leo20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Seien A und B zwei unterschiedliche Matrizen mit derselben Transformation P. Dann gilt: P^{-1}*A*P = D1 und P^{-1}*B*P = D2. Da D1 und D2 Diagonalmatrizen sind (Voraussetzung), gilt: D1+D2 = D2+D1 => B+A = P^{-1}*D2*P + P^{-1}*D1*P = P^{-1}*(D1+D2)*P = A + B Also müssen die Endomorphismen miteinander kommutieren. So würde ich den Beweis abgeben... |
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| 31.03.2010, 00:09 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wofür brauchst du D1+D2 = D2+D1? Warum steht links B+A und rechts A+B? Was meinst du mit müssen kommutieren? Das muss man doch gar nicht zeigen dass ist doch Vorraussetzung |
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| 31.03.2010, 00:28 | Leo20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Kann ich das also weglassen?
Hab gedacht, das hebt ein wenig die simultane Diagonalisierbarkeit hervor.. Auch weglassen, in diesem Falle?
Stimmt, du hast Recht.. Sorry! |
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| 31.03.2010, 00:37 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Alles wofür du keine logische Begründung hast warum es dabei stehen sollte gehört auch nicht dazu 
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