Lineare Unabhängigkeit von drei Vektoren |
| 03.04.2010, 17:30 | vandread | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Lineare Unabhängigkeit von drei Vektoren ich sitze gerade vor folgender aufgabe:
ich musste mich erstmal schlau machen was genau nochmal diese lineare unabhängigkeit bedeutet... leider war das nicht so einfach zu verstehen wie ich dachte bis ich dann diese seite hier gefunden habe: http://www.mathe-online.at/materialien/A...haengigkeit.htm aus der seite habe ich folgende entnommen: 1) zwei vektoren sind linear abhängig wenn sie parallel sind also kollinear... 2) drei vektoren aber sind linear abhängig wenn alle drei vektoren sich in einer ebene befinden also komplanar... jedoch verstehe ich nicht bzw kann nicht genau nachvolziehen warum drei vektoren die in einer ebene sind und nicht parallel sind linear unabhängig sind, dieses bild auf der seite mit mit den drei vektoren hat mich schon ganz verrückt gemacht... ich habe mich einfach entschlossen das so hinzunehmen... ok nun zu meinen "lösungen" behauptung zu teil 1 a: (1,0,1) b: (1,2,3) vektor a und vektor b sind nicht parallel und befinden sich nicht in einer ebene... also were zb der dritte vektor c: (0,0,0) (null vektor) ein vektor der dafür sorgt das alle drei vektoren linear unabhängig sind... den der null vektor ist zwar parallel zu a und parallel zu b aber da sind ja alle drei nicht in einer ebene befinden sind sie linear unabhängig... behauptung zu teil 2 a: (1,0,2) b: (3,0,6) vektor a und vektor b sind parallel also linear abhängig... sie befinden sich auch beide in der selben ebene (x-z ebene) so... schlau wie ich bin nehme ich jetzt einfach mal den vektor c: (0,1,0)... dieser vektor ist weder in der selben ebene wie die anderen noch ist er zu einem der beiden parallel... also müssten doch alle drei vektoren jetzt linear unabhängig sein... was aber zum teufel soll jetzt der satz am ende von wegen das es beim zweiten teil nicht gehen soll...??? --- habe ich das völlig falsch verstanden mit der linearen unabhängigkeit? kann mir vll jemand feedback zu meinen behauptungen geben ob die stimmen oder ob das totaler blödsinn ist? danke! |
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| 03.04.2010, 17:37 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nimm dir lieber als Kriterium für die lin. Unabhängigkeit: Drei Vektoren heißen linear unabhängig, wenn die Gleichung nur die triviale Lösung besitzt; das gilt natürlich auch für mehr oder weniger Vektoren, ist jetzt also schon auf deinen Fall zugeschliffen. Kommst du damit schon weiter? |
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| 04.04.2010, 19:38 | vandread | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke für die erklärung so macht das ganze schon mehr sinn finde ich... also dan koregiere ich mich jetzt mal... teil 1 ein möglicher vektor ist zb der (0,0,0) also nullvektor... oder damit das nicht so langweilig ist (1,0,6) oder für die extremen (pi,e,0) ^^ teil 2 bei teil zwei ist es nicht möglich da der zweite vektor ein vielfaches des ersten ist... dh egal welche dritten vektor ich nehme ich habe für diese"gleichung" imemr unendlich viele lösungen die ich erstellen könnte in dem ich für den dritten vektor einfach eine null davor stellen und dann eben die anderen beiden anpasse... --- stimmt das ? ^^ |
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| 04.04.2010, 20:33 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu 2) Bin ich mit einverstanden, du kannst ja aber sogar noch angeben, in welchem Verhaeltnis die Koeffizienten der ersten beiden Vektoren stehen muessen. Zu 1) Ueberleg da nochmal, guck dir vor allem deine behauptung mit dem nullvektor nochmal an; waere der wirklich lin. unabh.? |
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| 04.04.2010, 21:28 | vandread | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
teil 1 ah stimmt... da gebe es dan auch unendlich viele lösungen weil ich bei den anderen beiden 0 nehmen könnte und beim nullvektor irgendeine zahl ^^ da war ich wohl zu voreilig... danke! teil 2 3 zu 1 ^^ |
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| 04.04.2010, 22:56 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau, der Nullvektor ist sogar linear abhängig zu jedem anderen Vektor. Kannst du jetzt einen schönen Vektor angeben, der die geforderte lin. Unabh. erfüllt? Wie gehst du vor, um diesen Vektor zu bestimmen? Beim zweiten Teil: Das Verhältnis ist nicht ganz 3:1, da fehlt noch ein Vorzeichen 
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| 05.04.2010, 01:21 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
korrigiere |
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| 05.04.2010, 11:12 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und das dann wolltest du nicht korrigieren?
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| 06.04.2010, 11:10 | vandread | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
teil 2 gibt man bei verhältnissen auch vorzeichen an? na dann eben so... 3 zu -1 oder -3 zu 1 oder verstehe ich da jetzt was falsch? ^^ teil 1 puh ehm... ne richtige methode habe ich da jetzt nicht gefunden ich habe mir das irgendwie so gedacht... da ja mein vektor a bei y eine 0 hat und mein vektor b bei y eine 2, muss ja mein vektor c zwangsläufig damit sie linear abhängig sind dort 2 oder eben -2 haben... (oder ein vielfaches von zwei) also habe ich mir gedacht ich nehme jetzt einfach mal für y bei c die 0 so wenn ich da die 0 habe muss zwangsläufig mein vektor b mit 0 multipoziert werden... dh er fällt weg... wenn ich jetzt bei vektor c für x eine 1 nehme bedeutet das das vektor a und vekor c mit dem selben faktor multipliziert werden müssen damit sie wegfallen... um das zu unterbinden habe ich einfach für z bei c die 6 genommen... also c (1,0,6) stimmt das? gibts da einfachere methoden? ^^ |
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| 06.04.2010, 21:36 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das könnte auch einfach ein Schreibfehler gewesen sein. Beim Zweiten glaube ich allerdings nicht daran .. 
__________ Zu (1): Im Prinzip gibt es zu den beiden gegebenen Vektoren unendlich viele Vektoren , sodass alle drei Vektoren linear unabhängig sind. Dazu gehört nun auch dein Vektor (1; 0; 6). Um zu prüfen, ob wirklich lineare Unabhängigkeit vorliegt, musst du sicherstellen, dass das System tatsächlich nur die triviale Lösung (r; s; t) = (0; 0; 0) hat. Setze also somit -------------------------- Wie lautet nun das Lösungstripel? --------------------------------------------------------- Gemeinhin kann man so vorgehen, dass man das o.a. System für den allgemeinen Vektor ansetzt: ---------------------------- Damit dieses System nur die triviale Lösung hat, muss es unabhängig sein, d.h. bei Reduktion dürfen keine Nullzeilen entstehen. Anders gesagt, darf die Koeffizientendeterminante nicht zu Null werden. Nach Reduktion kommt somit: . Alle Vektoren , die diese Bedingung erfüllen, sind daher mit den anderen beiden gegebenen Vektoren linear unabhängig, also auch dein Vektor (1; 0; 6), aber auch (1; 1; 1), (4; 5; 6) oder (0; 0; 1), usw. Beispielsweise liegt jedoch bei lineare Abhängigkeit vor, denn dann ist mY+ |
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