Eigenvektoren bestimmen

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05.04.2010, 17:52	ehca87	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektoren bestimmen Hallo, ich habe Probleme bei der Berechnung von Eigenvektoren. Hoffe es kann mir jmd. weiterhelfen. Das hier ist die ursprüngliche Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Eigenwerte habe ich folgendermaßen berechnet: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} (1-\lambda ) & 2 & 3 \\ 2 & (3-\lambda ) & 1 \\ 3 & 2 & (1-\lambda ) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ davon die Determinante -> $\begin{eqnarray} -\lambda^ 3 + 5\lambda^ 2 + 8\lambda -12 \end{eqnarray}$ durch ausprobieren: $\begin{eqnarray} \lambda _{1}= -2 \end{eqnarray}$ dann Polynomdivision: $\begin{eqnarray} (-\lambda^3 + 5\lambda^ 2 + 8\lambda -12) /(\lambda + 2)=-\lambda^2 + 7\lambda - 6 \end{eqnarray}$ mit "Mitternachtsformel" --> $\begin{eqnarray} \lambda _{2}= 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda _{3}= 6 \end{eqnarray}$ Die Eigenwerte sind somit -2; 1; 6 Denke das is i.o. so Jetzt zu den Eigenvektoren, bin bisher wie folgt vorgegangen: für $\begin{eqnarray} \lambda _{1}= -2 \end{eqnarray}$ : oben eingesetzt -> $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ III - I ; II - 2/3 I; 1/3* I; II / 11/3 -> $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{3} & 1 \\ 0 & 1 & - \frac{3}{11} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ so...und jetzt weiß ich nicht weiter. Könnte mir bitte jemand erklären wie ich vorgehen muss/ wie ich wo, was herauslesen kann. Mein Skript bringt mich nicht weiter. Danke Thomas
05.04.2010, 17:55	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Rechnung jetzt nicht kontrolliert, aber dir geht es ja scheinbar auch mehr ums Vorgehen: Wenn die Matrix A den Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ hat, dann sind all diejenigen Vektoren v Eigenvektoren, für die $\begin{eqnarray} (A-\lambda E)v = 0 \end{eqnarray}$ gilt. Du musst also letztgenanntes LGS lösen, womit du ja gewissermaßen bereits begonnen hast (scheinbar ohne zu wissen, warum?). air
05.04.2010, 18:08	ehca87	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, danke...bis hierhin bin ich gekommen in dem ich einfach nach dem Schema bisheriger Aufgaben gearbeitet habe...die Eigenwertberechnung geht auch ganz gut mittlerweile ...Frage genauer formuliert: wie löse ich dann ein solches GLS? $\begin{eqnarray} (A-\lambda E)v = 0 \end{eqnarray}$ hab ich hier auch stehen aber ich steh irgendwie auf dem Schlauch wie das dann genau ausehen soll
05.04.2010, 18:10	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (A - \lambda E) \end{eqnarray}$ ist einfach nur die Matrix, die du doch schon angegeben hast (nach dem "oben eingesetzt ->" für den Eigenwert -2). Wie du ein LGS der Form Bx=0 löst sollte doch bekannt sein, oder? air
05.04.2010, 18:13	ehca87	Auf diesen Beitrag antworten »
oha, ok ...aber wie gehts jetzt weiter? nein das weiß ich nicht mehr leider, ist schon 2-3 jährchen her
05.04.2010, 18:23	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Im größten Notfall das LGS einfach in die Schulschreibweise zurückübersetzen: $\begin{eqnarray} 1\cdot v_1 + \frac23 v_2 + v_3 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0\cdot v_1 + 1\cdot v_2 - \frac{3}{11}v_3 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0\cdot v_1 + 0\cdot v_2 + 0\cdot v_3 = 0 \end{eqnarray}$ Wie du siehst, ist die letzte Gleichung für alle möglichen Belegungen erfüllt. Du kannst also z.B. v_3 als Parameter frei wählen. Setze z.B. v_3=t und löse nun damit die zweite Gleichung nach v_2. Zuletzt löst du mit der ersten Gleichung auch noch nach v_1. Der Vektor (v1 / v2 / v3) hängt dann von t ab und beschreibt alle Eigenvektoren (Achtung: (0/0/0) ist nie ein Eigenvektor). air (Hinweis: Man kann es durchaus auch anders machen .. aber der Weg ist aus der Schule wahrsch. erstmal etwas bekannter und man sieht viel eher, wie man das LGS eigentlich gerade löst) P.S.: Habe es mal durch einen Solver gejagt .. die Eigenwerte stimmen soweit auch. Nur als "Feedback". Auch die Matrix, soweit du sie bereits umgeformt hattest, führt zum richtigen Ergebnis.
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05.04.2010, 18:50	ehca87	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar danke hat mir geholfen! wenn du nix zu tun haben solltest, würde mich aber dennoch intressieren wie das anders geht.
05.04.2010, 19:05	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt die Möglichkeit, oben links einen Block zu erzeugen, der eine Einheitsmatrix darstellt. Die Spalten, die rechts daneben sind, kann man dann nehmen, jeden Wert mit (-1) multiplizieren und dann die Diagonale fortsetzend Einträge mit Einsen ersetzen. Die Spalten spannen dann den Kern (bzw. hier den Eigenraum) auf. Das klingt nun wahnsinnig kompliziert ... es ist aber auch schwer, das mal "eben so" zu sagen, v.a. mit den Möglichkeiten, die auftreten. An diesem Beispiel ginge es so: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & \frac23 & 1 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{11} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wir multiplizieren Zeile 2 mit 2/3 und subtrahieren es von Zeile 1: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{13}{11} \\ 0 & 1 & -\frac{3}{11} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie du siehst, ist nun oben links eine 2x2 - Einheitsmatrix, "mehr" geht auch nicht mehr. Jetzt multplizieren wir im dritten Spaltenvektor jeden Eintrag mit (-1). Außerdem ersetzen wir den letzten Eintrag danach mit einer Eins ("die Diagonale der Einheitsmatrix fortsetzend"). Wir erhalten: $\begin{eqnarray} v_0 = \frac{1}{11}\begin{pmatrix} -13 \\ 3 \\ 11 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Alle Vielfachen von v_0 (außer der Nullvektor) sind dann auch Eigenvektoren. Aufgrund des Faktors können wir die 1/11 vorne auch ignorieren und erhalten den Eigenraum $\begin{eqnarray} V_{-2}(f_A) = \left\{t \cdot \begin{pmatrix} -13 \\ 3 \\ 11 \end{pmatrix} ~\|~ 0 \neq t \in \mathbb R\right\} \end{eqnarray}$ Genauer kannst du dir das z.B. hier nachlesen (Seite 87, 6.2-7 Kochrezept). Ist wegen der ganzen Variablen etc. allerdings erstmal sehr verwirrend. Nicht durcheinanderbringen lassen, so schwer ist das "Rezept" wirklich nicht. Vllt. gibts das irgendwo einfacher, ich kenne halt keine andere Quelle. air Edit: Noch als Hinweis ... in diesem Beispiel ist das Vorgehen recht langweilig. Aber wenn es um einen Kern geht, der Dimension 2 oder so hat, dann ist es eigentlich schon sehr praktisch. Man spart sich v.a. dieses "Zurückübersetzen" und dergleichen.
05.04.2010, 20:43	ehca87	Auf diesen Beitrag antworten »
super danke!
05.04.2010, 21:24	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern Ich habe das "Kochrezept" übrigens auch erstmal ein paar Wochen absichtlich überlesen, weils mir zu doof war. Tja ... die 5 Minuten, die das Verstehen letztlich gebraucht hat, hätte ich gleich investieren sollen. Ich finde die Methode sehr chic! air

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