Matrix mit unbekannten

05.04.2010, 18:41

Unrockstar

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Matrix mit unbekannten

Hallo ich schreibe am donnerstag meine nachschreibeklausur in mathe und hab folgendes problem
die aufgabe heißt:

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0\\ -t & 0 & 1-t \\0 & 1 & t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und b= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die frage heißt: wie muss t gewählt werden um a) keine lösung
b) eine eindeutige lösung zu bekommen?

mein lösungsansatz wäre ja gewesen "bilde ne Determinante von A und dann bestimme die nullstellen und so weiter"
ist aber leider keine quadratische matrix -.-
also läuft das ja alles auf umformung geraus
meine frage: welcher ausdruck muss am ende oder in einer zeile stehen damit man die lösung ablesen kann?oder wie würdet ihr diese matrix umformen?
oder gibt es noch andere lösungsvorschläge?
kann man eventuell daraus ne quadratische matrix machen um doch noch ne determinante bilden zu können?

05.04.2010, 18:46

Leopold

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Es geht wohl um $\begin{eqnarray*} Ax = b \end{eqnarray*}$ , wo $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine dreireihige Spalte ist. Vergleiche ein ganz ähnliches Problem.

05.04.2010, 18:52

Unrockstar

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ja gut ds geht da ja um lineare unabhängigkeit
gibt es denn eine möglichkeit aus dieser matrix eventuell eine quadratische zu machen?
was ich grade nicht verstehe ist welche ausdruck dort stehe muss um eine lösung ablesen zu können bzw um a eindeutig zu bestimmen
das fällt mir bei dieser matrix recht schwer

05.04.2010, 18:55

Unrockstar

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okay ich konnte daraus ablesen das quasi nur der letzt eintrag in einer spalte der matrix das a sein darf um dann eine lösung ablesen zu können

05.04.2010, 19:10

Unrockstar

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aber ich komm bei der umforumung schon ins stocken und weiß nicht weiter -.-

05.04.2010, 19:11

Leopold

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Jetzt fang einfach einmal an, das Gleichungssystem mit dem Gaußschen Algorithmus zu bearbeiten. Vermeide dabei Divisionen, bei denen durch Terme, die $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ enthalten, dividiert wird.

Zur Kontrolle: Bei $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t=- \frac{5}{2} \end{eqnarray*}$ ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar, ansonsten unlösbar.

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05.04.2010, 19:19

Unrockstar

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mmh damit kann ich wenig anfangen weil ich nicht weiß wi du das umgeformt hast -.-
aber danke dir trotzdem schon mal für die lösung
ich werds auch nochmal probieren

05.04.2010, 19:23

Leopold

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Zitat:

Original von Unrockstar
mmh damit kann ich wenig anfangen weil ich nicht weiß wi du das umgeformt hast

Zitat:

Original von Leopold
... mit dem Gaußschen Algorithmus ...

... wie in der Schule!

05.04.2010, 19:41

Unrockstar

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danke wie der funktioniert weiß ich
ich komme aber auf keine lösung ich verhädder mich andauernd irgendwo ich krieg das teil nicht auf stufenform -.-

05.04.2010, 19:48

Leopold

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Addiere das $\begin{eqnarray*} (-1) \end{eqnarray*}$ -fache der ersten Zeile zur zweiten und das $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ -fache der ersten zur dritten. Freundlicherweise enthält dann die dritte Zeile links kein $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ mehr. Und dann weiter ...

05.04.2010, 20:02

Unrockstar

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genau so hab ich angefangen

okay denke ich habs jetzt

sieht die matrix so aus?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & t & 2\\ 0 & 0 & 1 & 2+t \\ 0 & 0& 0& 2t^{2} + 5t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

05.04.2010, 20:06

Leopold

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So sieht sie aus.
Die Rechnung hast du jetzt (fast) hinter dir. Und wie argumentierst du jetzt weiter?

05.04.2010, 20:10

Unrockstar

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nun nehm ich die formel $\begin{eqnarray*} 2t^{2} + 5t \end{eqnarray*}$
teile diese durhc 2 damit ich auf die normalform komme $\begin{eqnarray*} t^{2} + \frac {5}{2} t \end{eqnarray*}$
benutze dann die pq formel und hab dann beide x für dieman eine eindeutige lösung erhält

richtig?

05.04.2010, 20:15

Leopold

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Erstens.
Dein Weg zur Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} 2t^2 + 5t = 0 \end{eqnarray*}$ ist der denkbar umständlichste. Im Vertrauen: Wer hier mit der pq-Formel ankommt, dem ist nicht mehr zu helfen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zweitens.
Und warum stimmt deine Folgerung? Argumentiere, begründe!

05.04.2010, 20:26

Unrockstar

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okay mir fällt auf das die pq formel hier wirklich mist ist^^
ich forme $\begin{eqnarray*} 2t^{2} + 5t \end{eqnarray*}$ einfach um zu
$\begin{eqnarray*} t * (2t+5) \end{eqnarray*}$
und kann dann endlich die lösung ablesen und zwar einmal darf t nicht 0 sein und nicht - $\begin{eqnarray*} \frac {5}{2} \end{eqnarray*}$ sein denn setzt man diese beiden zahlen für t ein kommt null heraus dies währe dann die eindeutige lösung
für alle anderen zahlen machn die ergebnisse keinen sinn?

05.04.2010, 20:32

Leopold

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Es geht um die Lösung des linearen Gleichungssystems (!!!) in Abhängigkeit vom Paramter $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Dazu mußt du Stellung nehmen.
Was du bisher dazu gesagt ist, ist - etwas böse ausgedrückt - unverständlich.

Wie sieht denn das LGS aus, wenn z.B. $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ ist? Schreibe es doch einfach einmal hin. Und wie ist es dann mit Lösungsvektoren $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ? Gibt es solche? Wenn ja, warum und wie viele? Wenn nein, warum nicht?

05.04.2010, 20:41

Unrockstar

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wenn $\begin{eqnarray*} t = 0 \end{eqnarray*}$ dann bekommt man $\begin{eqnarray*} x1=-1 , x2=2 , x3 =2 \end{eqnarray*}$

es ist also eindeutig lösbar falls $\begin{eqnarray*} t = 0 \end{eqnarray*}$

es gibt eindeutige lösungen weil durch $\begin{eqnarray*} t = 0 \end{eqnarray*}$ eine variable wegfällt und so keine abhängigkeit mehr besteht
bei $\begin{eqnarray*} t = \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac {5} {2} \end{eqnarray*}$ sieht das genauso aus

hoffe das war nun besser ich wüsste nicht was ich sonst schreiben sollte

05.04.2010, 20:53

Leopold

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Wenn $\begin{eqnarray*} t = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} t = - \frac{5}{2} \end{eqnarray*}$ ist, lautet die letzte Gleichung

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Sie wird von allen Tripeln $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray*}$ erfüllt und ist daher überflüssig. Das Gleichungssystem reduziert sich also auf die ersten drei Gleichungen. Die Determinante der linken Seite ist dann $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , also besteht eindeutige Lösbarkeit.

Wenn dagegen $\begin{eqnarray*} t \neq 0 , - \frac{5}{2} \end{eqnarray*}$ ist, lautet die letzte Gleichung

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 = c \end{eqnarray*}$ mit einem $\begin{eqnarray*} c \neq 0 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung ist für kein Tripel erfüllbar, das Gleichungssystem also unlösbar.

So hätte ich argumentiert.

05.04.2010, 21:13

Unrockstar

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mmh das verstehe ich nicht ganz weil t steht doch quasi für ein x dort
in deiner argumentation hast du alle x = o gesetzt wenn du für t = 0 eingesetzt hast

das verstehe ich nicht ganz
aber ich dane dir für deine hilfe ich muss leider los nun

verate mir noch eins und zwar kann man aus einer 3X4 matrix eine quadratische machen indem man beispielsweise den rest durch 1 auffüllt?
geht sowas?

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