Kann (2^a-3^b) für andere Werte als a=2 und b=1 gleich 1 werden?

05.04.2010, 21:02	PeterH	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann (2^a-3^b) für andere Werte als a=2 und b=1 gleich 1 werden? Meine Frage: Hallo alle miteinander! In einem anderen Forum habe ich die (bisher ungelöste) Frage gefunden, ob die Gleichung 2^a-3^b = 1 auch für andere natürliche Werte als a=2 und b=1 gelten kann (unter "natürlich" ordne ich nicht die Zahl 0 ein, mit der ein zweites Ergebnis möglich wäre mit a=1 und b=0). Ich vermute eher nein, hätte aber doch gerne eine mathematische Bestätigung. Kann mir jemand weiterhelfen? Ich wäre über jede Art von Hilfe dankbar. Mit freundlichen Grüßen, Peter Meine Ideen: Nur ein Ansatz, leider noch immer keine Lösung. Auch weiß ich nicht, ob dies überhaupt sinnvoll ist. Ich forme mal um: 2^a - 3^b = 1 <=> 2^a - 1 = 3^b (2^a - 1^a)/(2 - 1) = 2^a - 1 = 2^(a-1) + 2^(a-2) + 2^(a-3) + 2^(a-4) + ... + 2^1 + 2^0 = 2^(a-1) + 2^(a-2) + 2^(a-3) + 2^(a-4) + ... + 3 Für geradzahlige a ließe sich jetzt immer aus zwei auseinanderfolgenden Summanden ausklammern: = 2^(a - 2)3 + 2^(a-4)3+ ... + 2^0*3 = = 3[2^(a - 2)+2^(a-4)+ ... + 2^0] Nun bin ich aber noch nicht viel schlauer, denn ich kann immer noch nicht erkennen, ob der zweite Faktor (es handelt sich hier um eine endliche geometrische Reihe mit q = 4) eine reine 3-er Potenz werden kann. Durch (q-1), also in diesem Falle (4 - 1) = 3 ist er auf jeden Fall teilbar. Aber kann der zweite Faktor dann eine reine 3-er Potenz sein?
05.04.2010, 22:05	MLRS	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kann (2^a-3^b) für andere Werte als a=2 und b=1 gleich 1 werden? Hi, das ist ein Spezialfall der Catalanschen Vermutung, ...welche unglaublich schwer zu beweisen ist hab mir deinen Ansatz nicht genau angesehen, hab dafür eine andere Lösung $\begin{eqnarray} 2^a=3^b+1 \end{eqnarray}$ Die Fälle a=1,2,3 werden einzeln untersucht: a=2 liefert eine Lösung Es sei also a>3 Dann ist die linke Seite durch 8 teilbar - es muss also auch $\begin{eqnarray} 3^b+1 \end{eqnarray}$ durch 8 teilbar sein. Untersucht auf Teilbarkeit durch 8 liefern 3-er Potenzen aber nur die Reste $\begin{eqnarray} 3,1,3,... \end{eqnarray}$ un diese +1 ergeben nie 0 bzw. 8
06.04.2010, 00:09	MLRS	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kann (2^a-3^b) für andere Werte als a=2 und b=1 gleich 1 werden? Gibts noch einen Kommentar zur Lösung? Hab mich doch so angestrengt
06.04.2010, 09:46	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Kommentare: 1. zu deinem Beweis. 2. Übe dich etwas in Geduld - schließlich sind erst wenige Stunden vergangen. Wenn sich PeterH nach einer Woche nicht meldet, dann ist auch noch Zeit, sich zu beschweren.
06.04.2010, 10:01	PeterH	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kann (2^a-3^b) für andere Werte als a=2 und b=1 gleich 1 werden? Tschuldigung aber ich war schon ins Bett gegangen. Klar gibt es einen Kommentar. Ich muss sagen, dass ich nicht gedacht hätte, dass es so einfach geht (jaja hört man eine gute Idee fragt man sich immer, warum man nicht selbst drauf gekommen ist). Auf jeden Fall zweifle ich nicht daran, dass es irgendeinen Fehler in deiner Lösung geben könnte. Vielen Dank also. Mit freundlichen Grüßen, Peter
06.04.2010, 18:12	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kann (2^a-3^b) für andere Werte als a=2 und b=1 gleich 1 werden? Ein weniger komplexer Spezialfall als die Catalansche Vermutung ist die Verallgemeinerung auf Primzahlen als Basis: Die Gleichung $\begin{eqnarray} p^a-q^b=1 \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} p,q \end{eqnarray}$ prim und $\begin{eqnarray} a,b>1 \end{eqnarray}$ besitzt einzig die Lösung $\begin{eqnarray} 3^2-2^3=1 \end{eqnarray}$ Dieses Ergebnis habe ich während meiner Diplomarbeit mal in einem Paper gefunden, welches dazu einen Artikel von Crescenzo von '75 zitiert hat. Damals habe ich das nicht nachverfolgen können und einfach so analog übernommen. Heute konnte ich nachschauen und natürlich hat Crescenzo eine völlig andere Gleichung behandelt und das obige Resultat wird ohne Beweis nur nebenbei erwähnt - bemerkt wird einzig, dass es nicht weiter schwer sei. So entstehen dann mathematische Wahrheiten. (Den Beweis habe ich jetzt aber selbst noch mal gemacht - sicher ist sicher!) Gruß, Reksilat. _____________ Nachtrag 2012: Ich weiß nicht mehr, ob ich mich oben nur missverständlich ausgedrückt habe oder mir der Durchblick fehlte, aber der Artikel von Crescenzo (Advances in Mathematics 17, 25-29 (1975) ) beweist die obige Behauptung nebenbei mit. Nur ist der Beweis eben ganz schon lang und wenn man nur die Catalansche Vermutung für Primzahlbasen beweisen will, geht das auch kürzer. Da mir das Problem vor kurzem noch mal untergekommen ist, hänge ich meinen Beweis an. Kommentare sind erwünscht. Gruß, Reksilat. [attach]24626[/attach]
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