Oberfläche und Volumen eines Tetraeders... Tetraeder? |
| 06.04.2010, 11:16 | vandread | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Oberfläche und Volumen eines Tetraeders... Tetraeder? folgende aufgabe wurde mir gestellt: wie groß sind oberfläche und volumen eines tetraeders mit den eckpunkten A(0;0;0), B(1;0;0), C(0;1;0) und D(0;0;1) eigentlich eine einfach aufgabe, doch nach einer minute ist mir gleich was aufgefallen... das ist kein tetraeder?! ein tetraeder besteht doch aus vier gleichsetigen dreiecken... doch mit diesen punkten bekomme ich ein gleichseites dreieck mit den seitenlängen sqrt(2) und 3 gleichschänklige dreiecke mit der schänkellänge 1 und c ist sqrt(2)... das bedeutet ich kann da garnichts mit den tetraeder formeln rechnen... oberfläche ist einfach schließliche habe ich ja die seiten längen der dreicke... doch das volumen müsste ich ja über die pyramieden volumen formel rechnen (1/3 * G * h) das wird wiederrum bisschen tricky... meine frage ist aber garnicht wie sondern eher stimmt das den überhaupt? ist das wirklich kein tetraeder? |
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| 06.04.2010, 11:48 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Oberfläche und Volume eines Tetraeders... Tetraeder?
Das ist ein Tetraeder, weil der Körper durch vier Dreiecksflächen begrenzt ist - aber eben kein gleichseitiger Tetraeder. Für den unregelmäßigen Tetraeder, dessen 6 Kantenlängen bekannt sind, gibt es übrigens eine Volumenformel mit einer 5*5-Determinante; aber die brauchst Du hier wirklich nicht. |
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| 06.04.2010, 12:08 | vandread | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
erstmal zur oberfläche... hab hier erstmal den flächeninhalt von einem der gleichschänkligen dreiecken ausgerechnet und bin auf das hier gekommen: hier der flächeninhalt vom gleichsetitigen dreieck: und die oberflächen vom tetraeder beträgt dann... ich denke bzw hoffe ich habe nichts falsch gemacht oder mich verrechnet 
so jetzt zum volumen... oh okay wusste nicht das man das dan so unterscheiden kann dachte alles was nicht aus gleichseitigen dreiecken besteht ist einfache ine dreiseitige pyramiede... hm wie würdest du das den machen? mit der pyramieden formel? wenn ich das so machen würde dann hm... dan wäre das erste was mir einfällt den mittelpunkt von dem unterem dreiecke auszurechenen... dafür müsste ich dann ja 3 vektoren bilden jeweils immer die höhe... und deren schnittpunkt ist dann mein mittelpunkt... uff... ich glaub das ist zu kompliziert ^^ da gibt es doch sicher einen einfacheren weg oder? |
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| 06.04.2010, 13:32 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
proibiere das spatprodukt
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| 06.04.2010, 13:53 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Oberflächen-Berechnung ist o.k.. Für das Volumen hast Du die Lösung auch schon am Anfang angegeben.
Und das wär' dann auch schon alles. Das wichtigste an der Aufgabe war, dass Du Dir eine sorgfältige perspektivische Zeichnung mit kartesischen Achsen gemacht hast. |
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| 06.04.2010, 14:02 | vandread | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hehe danke für den tipp ^^ doch er kommt zu spät... :P ich habe bereits wie ich schon gesagt habe mir zwei gerade erstellt und deren schnittpunkt ausgerechnet im gleichseitigen dreieckt S(1/3 ; 1/3 ; 1/3) die gerade sind jeweils einfach die höhen gerade von zwei beliebigen seiten... dann habe ich einfach einen vektor von S nach A gemacht und dessen länge berechnet das ist die höhe von meinem tetraeder ^^ wenn ich das alles in die formel klatsche erhalte ich 1/6 als volumen... so mit dem spatprodukt... (warum bin ich nicht selber draufgekommen) gilt ja 1/6 * spatprodukt ist das volumen eines tetraeders 
da im spatprodukt 1 raus kommt und das mal 1/6 kommt da auch 1/6 raus ^^ danke! |
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