P[A(i)]=1 (=) P[Schnitt aller A(i)]=1 - Hänger beim Beweis |
| 06.04.2010, 16:33 | xemle75ml2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| P[A(i)]=1 (=) P[Schnitt aller A(i)]=1 - Hänger beim Beweis Hallo. Hab diese Frage vor gut einer Woche bereits gestellt und bin bei erneutem Nachdenken auf ein neues Problem gestoßen,dass bis dahin nicht beantwortet war. Es geht um folgendes Problem. Es soll für eine abzählbare Indexmenge i gezeigt werden, dass aus P[A(i)]=1 für alle i, auch P[Schnitt aller A(i)]=1 gilt. Meine Ideen: Mein Problem ist nun folgendes. Betrachtet man eine überabzählbare Indexmenge i, so gilt diese Behauptung im allgemeinen nicht, ein passendes Gegenbeispiel hierzu wäre: Sei E=[0,1] und A(i):= [0,1]\i wobei i aus [0,1] sei. Dann gilt schließlich P[Schnitt aller A(i)]=0 wobei P[A(i)]=1 für alle i! Wie kann ich unter diesen Tatsachen jetzt also die Behauptung für eine abzählbare Indexmenge i beweisen? Mir fehlt einfach die zündende Idee wie ich einen Beweis allein für abzählbare Indexmengen herstelle. Mein Hauptproblem ist dabei zweifelsfrei zeigen zu können, dass es speziell für die abzählbare Indexmenge gilt,(Die Abzählbarkeit muss schließlich gewisse Eigenschaften mitbringen, welche im Beweis deutlich machen, dass diese Beweistechnik für eine überabzählbare Indexmenge nicht mehr funktioniert, wie das Gegenbeispiel ja zeigt) Hoffe, dass ich mein Problem irgendwie verständlich machen konnte. Ansonsten werde ich versuchen bei Lösungsvorschlägen mein Problem noch zu konkretisieren. Vielen Dank schonmal! |
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| 06.04.2010, 16:36 | xemle75ml | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Bei meinem Gegenbeispiel für die überabzählbare Indexmenge sei P zudem das Lebesgue-Maß auf [0,1], hatte ich noch vergessen, ist ja aber eigentlich auch offensichtlich. |
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| 06.04.2010, 16:37 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da dein Wahrscheinlichkeitsmaß P sigma-additiv ist, ist es stetig von oben. Deswegen reicht es sich auf endliche Indexmengen zu beschränken. Da könnte man das ganze beispielsweise durch die Siebformel erschlagen(mir fällt gerade nichts besseres ein 
) |
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| 06.04.2010, 17:20 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@xemle75ml2 Ziemlich unnötig, dass du dieselbe Frage nach einer Woche nochmal stellst: P[A(i)]=1 (=) P[Schnitt aller A(i)=1] - Hilfe beim Beweis Wenn du die Antworten wie
oder
nicht verstehst, dann frage doch nach, statt nochmal einen neuen Thread aufzumachen. 
Solche Geschütze muss man nicht auffahren, es genügt die aus der Sigma-Additivität leicht herleitbare "Sigma-Subadditivität" für beliebige (d.h. nicht notwendig disjunkte) Ereignisse bei höchstens abzählbarer Indexmenge . Das angewandt auf die Komplemente, d.h. also , erschlägt die Aufgabe unmittelbar. |
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| 06.04.2010, 21:30 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich bin schon froh wenn ich solche Aufgaben wenigstens lösen kann, eine so elegante und einfache Lösung wie von dir muss dann nicht auch noch sein 
(wobei man natürlich wegen Induktion nur die Siebformel für 2 Mengen brauchen würde
) |
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| 06.04.2010, 21:32 | papahuhn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
An Induktion habe ich in meiner ersten Antwort im anderen Thread auch gedacht, aber damit erschlägst du nur beliebige endliche Schnitte. |
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| 06.04.2010, 21:50 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Deswegen hab ich als zweites Geschütz ja noch stetig von oben benutzt |
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| 07.04.2010, 00:21 | papahuhn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ah ok, nice. Hab gerade die Definition nachgelesen... |
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