formel iterativ lösbar?

07.04.2010, 16:29

Heinz0815

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formel iterativ lösbar?

Hallo ich möchte eine physikalische Aufgabe lösen und stehe nun vor einem mathematischem Problem, wo ich nicht weiterkomme:

Es geht im prizip um diese formel:

A_a/A* = 1/Ma_a x [1+ (kappa-1)/(kappa+1)x(Ma_a^2-1)]^((kappa+1)/(2*(kappa-1)))

das Verhältnis A_a/A* = 1,54, kappa = 1,4

ich möchte nun die Größe Ma_a ausrechnen! Allerdings komme ich da überhaupt nicht weiter! kann man bzw. muss man da iterativ vorgehen? wenn ja wie sieht das vorgehen aus...

danke für eure hilfe vorab!

07.04.2010, 16:33

Airblader

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Das zu entziffern ist mir nun echt zu mühevoll. Wenn du möchtest, das wir das lesen können, dann verwende bitte den Formeleditor.
Dein Kappa bekommst du da einfach mit \kappa.

Ganz prinzipiell kannst du alles auf eine Seite bringen, dies als Funktion in der gesuchten Variable sehen und ein Näherungsverfahren deiner Wahl darauf losjagen. Notfalls auch per Computer. Für die Physik sollte das ja genügen.

air
P.S.: Das 'x' als Multiplikationssymbol zu verwenden ist denkbar ungeschickt. Besser ist ein '*'.

07.04.2010, 20:09

Heinz0815

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ok,

das ist nachvollziehbar. also hier ein versuch!

$\begin{eqnarray*} \frac{A_a}{A^*}= \frac{1}{Ma_a}\cdot\left[1+\left(\frac{\kappa-1}{\kappa+1}\right)\cdot\left(Ma_a^2- 1\right) \right]^\frac{\kappa+1}{2\cdot (\kappa-1)} \end{eqnarray*}$

ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen! ich verzeweifle nämlich schon an der gleichung...

grüße

07.04.2010, 20:37

Airblader

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Viel besser Freude

Freude

Wenn ich da grob drüberschaue, sieht es schlecht aus, das 'exakt' zu lösen. Zumindest Maple schafft auf die Schnelle auch nichts.

Edit: Wobei, vermutlich ist es sogar möglich, wenn man sich anschaut, dass der Exponent schlicht und ergreifend 3 ist. Aber wahrsch. genügt dir auch eine Näherung (?)
Wenn nicht, versuche es mal mit den konkreten Werten umzuformen, dann müsste Ma_a einmal so und einmal als dritte Wurzel vorkommen, was sich per Substitution in den Griff bekommen lassen würde.
Aber bevor ich das nun ausprobiere frage ich erstmal, ob du sowas überhaupt bräuchtest.

Am Besten also definierst du

$\begin{eqnarray*} f(Ma_a) = \frac{1}{Ma_a} \cdot \left[1 + \left(\frac{\kappa -1}{\kappa+1}\right) \cdot (Ma_a^2-1)\right]^{\frac{\kappa+1}{2(\kappa-1)}} - \frac{A_a}{A*} \end{eqnarray*}$

als Funktion in Ma_a, setzt entspr. deine Zahlenwerte ein und kommst auf

$\begin{eqnarray*} f(Ma_a) = \frac{1}{Ma_a} \cdot \left[1 + \frac16 \cdot (Ma_a^2 - 1)\right]^3 - 1.54 \end{eqnarray*}$

Dein Problem ist damit äquivalent dazu, dass $\begin{eqnarray*} f(Ma_a) = 0 \end{eqnarray*}$ ist, wir haben also ein Nullstellenproblem.
Für die Physik, wie gesagt, dürfte eine gute Näherungslösung also mehr als ausreichend sein. Hier findest du eine Liste bekannter Näherungsverfahren.

Natürlich gibt es auch viel mathematische Software wie Maple o.ä., die Nullstellen berechnen (und sich insgeheim dieser Techniken bedienen). Ich weiß ja nicht, ob für dich lediglich das Ergebnis interessant ist, oder du auch explizit einen Weg benötigst.

Die zwei reellen Lösungen in einer Näherung gebe ich dir gerne noch an:

$\begin{eqnarray*} Ma_{a,1} \approx 0.4162 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ma_{a,2} \approx 1.8876 \end{eqnarray*}$

air
.. der jetzt aber nochmal kurz überprüft, ob er sich auch nicht vertippt hat in Maple.

Edit: @ alle Moderatoren ... ich habe eine Lösung direkt mit angegeben, für den Fall, dass der Threadersteller nur einen numerischen Wert benötigt. Sollte er das wirklich händisch lösen müssen, wäre das ja nicht mehr als eine Kontrollhilfe.

07.04.2010, 20:55

Airblader

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So, bevor es zu unübersichtlich wird, lieber ein Doppelpost:

Ich habe es eben kurz durchgerechnet. Mit der Methode, die ich kleingeschrieben angesprochen habe, kommst du auf

$\begin{eqnarray*} z^6 - 6\sqrt[3]{1.54}\cdot z + 5 = 0 \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} Ma_a = z^3 \end{eqnarray*}$ substituiert wurde.
Die Gleichung ist analytisch aber definitiv nicht lösbar, du brauchst also Näherungsverfahren (s.o.).

air

07.04.2010, 21:35

Heinz0815

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Hallo Airblader,

das sieht schon mal gut aus! allerdings kann ich das noch nicht ganz nachvollziehen..
Eine Näherungslösung reicht definitv aus! Könntest du mir evtl. weiterhelfen, wie der Weg mit einer solchen Näherungslösung aussieht, um dann letztendich die beiden Ergebnisse zu erhalten!? Was wären die beiden Lösungen bei einem Verhältnis von 3,09 anstatt 1,54 (viellcieht kan man das schnell in maple eingeben; sorry ich selbst kenne mich leider nicht mit dem tool aus.). natürlich würde ich gerne es auch selbst per rechenweg nachvollziehen..

wäre super, wenn du mir weiterhelfen könntest! besten dank vorab!

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07.04.2010, 21:44

Airblader

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Hi,

oben findest du ja eine Liste mit Näherungsverfahren. Sehr bekannt sind v.a. das Newtonverfahren und die Regula falsi.

Auf eine un-umgeformte Version des Problems Newton anzuwenden wäre ein echter Hammer und purer Stress.
Schnappe dir lieber die Gleichung

$\begin{eqnarray*} z^6 - 6\sqrt[3]{\frac{A_a}{A*}}\cdot z + 5 = 0 \end{eqnarray*}$

die ich oben schon gepostet habe (habe nur die 1.54 wieder "zurückersetzt"). Die lässt sich auch sehr leicht ableiten und Werte berechnen. So kannst du das Newtonverfahren gut anwenden.
Am Ende hast du eine Lösung für z, die du dann resubstituieren kannst.

Das Ganze lässt sich mit entspr. Software natürlich, wie gesagt, auch direkt am Computer machen. Per Hand ist es immer etwas nervig, aber manchmal eben auch verlangt (mussten wir auf einem Übungsblatt mal machen *seufz*).

Solange dein Kappa nicht variiert bekommst du diese schöne Gleichung in z oben. Ändert sich Kappa, so muss man schauen, ob man ähnlich schön umformen kann, oder ob man eben bei der Ausgangsgleichung bleiben muss.

Du kannst ja einfach mal versuchen, auf diese Gleichung selbst zu kommen. Bringe einfach Ma_a auf die andere Seite und ziehe die dritte Wurzel. Dann substituierst du Ma_a = z^3 und formst diese Gleichung etwas weiter um, bis du die Normalform für Polynome erreicht hast.

Edit: Für 3.09 als Verhältnis erhält man $\begin{eqnarray*} Ma_{a,1} \approx 0.1914 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Ma_{a,2} \approx 2.6686 \end{eqnarray*}$ , wenn ich mich nun nicht vertan habe.

air

07.04.2010, 21:51

Heinz0815

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super airblade!

ich setz mich auch direkt dran um es nachzuvollziehen. glaube ich gern, dass es sehr stressig ist ds newtonverfahren hierauf anzuwenden...

bin gespannt was mappleggleich liefert!

danke schon mal!

07.04.2010, 21:56

Airblader

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Zitat:

Original von Heinz0815
super airblade!

Das 'r' im Namen ist mir schon sehr wichtig, denn der Fehler wird desöfteren gemacht ... Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

ich setz mich auch direkt dran um es nachzuvollziehen.

Das ist die richtige Einstellung, und nach der ganzen Tipparbeit meinerseits wollte ich genau das hören Freude

Freude

Eine recht gute Skizze des Ganzen hast du ja in den 2-3 Posts von mir. Sollten Fragen auftauchen, musst du sie einfach stellen.

air

07.04.2010, 23:10

Heinz0815

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sorry airblader!

werde es mir merken! ich bin grad dabei auf die gleichung (mit hilfe von substitution) zu kommen. allerdings komme ich noch nicht so recht auf dein ergebnis! mein kopf muss glaube ich mal abkühlen...

bzgl. der numerischen lösung bleibt nur zu sagen, dass das ergebnis für die überschallmachzahl genau richtig ist! ich erhalte genau die richtigen lösungen!! super!!!

jetzt muss ich nur die sache mit der substitution nachvollziehen können und dann bin ich zufrieden!

07.04.2010, 23:11

Airblader

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Schreibe einfach mal, was du so gemacht hast und wie weit du kommst. Das bekommen wir schon hin, so schwer ist es nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Aber nur, damit du nichts Sinnloses versuchst ... Starten können wir nur von hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{A_a}{A*} = \frac{1}{Ma_a} \cdot \left[1 + \frac16 \cdot (Ma_a^2 - 1)\right]^3 \end{eqnarray*}$

air

07.04.2010, 23:30

Heinz0815

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hey airblader,

ok, ich bin auf die lösung nun auch gekommen. als nächstes werde ich nun mal probieren die iteration per newton durchzuführen (händisch.....). das werde ich allerdings auf morgenfrüh verschieben. vielen, vielen dank nochmal!

grüße

07.04.2010, 23:36

Airblader

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Gern geschehen und viel Erfolg. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

08.04.2010, 16:17

Heinz0815

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Hallo,

ich bin nun schon eine ganze Weile dabei die Nullstellen mittels Newtonverfahren auszurechnen. Leider komme ich nicht auf die richtigen Ergebnisse (Mapel hat definitv die richtigen Ergebnisse geliefert!)

Nach Substitution erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} z^6- 6\cdot \sqrt[3]{\frac{A_a}{A*} } \cdot z+ 5 \end{eqnarray*}$

Ich möchte dabei als Näherungsverfahren Newton anwenden:

$\begin{eqnarray*} x_i= x_n- \left[\frac{f(x)}{f'(x)}\right] \end{eqnarray*}$

nun habe ich folgende Funktionen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=z^6- 6\cdot \sqrt[3]{\frac{A_a}{A*} } \cdot z+ 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=6\cdot z^5-6\cdot \sqrt[3]{\frac{A_a}{A*} } \end{eqnarray*}$

als Nächerung habe ich einen Wert von 1,37??? erhalten! Das kann aber irgendwie ja nicht sein. Startwert hatte ich einfach mal irgendeinen Wert genommen (x0=2).

Wo liegt mein Gedankenfehler? Die richtigen Lösungen sind Ma_1 = 0,1914 und Ma_2 = 2,6686.

Ganz blöde Frage noch: wieviel Lösungen könnte man überhaupt mit obiger Gleichung erhalten (sorry für die Frage, aber ich hab gerade ein Brett vorm Kopf..)

Danke vorab!

08.04.2010, 16:39

Airblader

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Bedenke: Du hast eine Näherung für z bestimmt. Du musst natürlich noch re-substituieren! Ich schätze, hier liegt der Fehler. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du kannst theoretisch alle Nullstellen finden. Welche du erwischst hängt schlicht vom Startwert ab. Du brauchst eben einen möglichst guten Startwert und schaust am besten den Graphen an, um zu sehen, wo sie ungefähr liegen (und wieviele es sind).

Zur Resubstitution: Wir haben Ma_a = z³ substituiert, also musst du das Ergebnis noch hoch 3 nehmen um effektiv auf dein Ma_a zu kommen.

air

Edit: Im Übrigen meintest du f(z) und f'(z) ... so als Anmerkung für den Formalismus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und auch deine Newtonformel ist formal so nicht richtig. Aber lassen wir das für den Moment mal.

08.04.2010, 20:30

Heinz0815

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hi airblader,

ja bzgl. des Formalismus hast du natürlich recht. ich müsste im prinzip den variablenbuchstaben x durch den buchstaben z ersetzen. MIt deiner Vermutung hast du recht. Stimmt, sobald ich das Ergebnis hoch 3 rechne,passt der wert für Ma_a. danke!

Ein weiteres Problem besteht in dem Startwert! Ich weiss anhand der Gleichung f(z) ;-) nicht, wie ich den startwert wählen soll. In diesem Fall wußte ich eben ungefähr welches ergebnis ich erwarte, von daher konnte ich einfach probieren!

Aber wie sollte man da am besten vorgehen,um einen sinnvollen startwert zu wählen? sollte ich die funktion f(z) wirklich mit hilfe verschiedener z-zahlenwerte einfach mal aufzeichnen!? komme ich also um eine grafische darstellung nicht herum, um einen sinnvollen startwert zu wählen!?

08.04.2010, 20:45

Airblader

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Hi,

es spricht ja nichts dagegen, sich die Funktion einfach mal anzuschauen. Du brauchst einfach nur einen sehr groben Verlauf.

Eine Alternative wäre, sich mit ganz groben analytischen Mitteln ein Bild zu machen. Aber das spare ich mir, denn das wäre mit Kanonen auf Spatzen geschossen.
Hier spricht ja nichts dagegen, sich die Funktion ganz grob anzuschauen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

08.04.2010, 21:00

Heinz0815

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hey,

also ich habe mir die funktion mal in excel geplottet und siehe da, es ist nachvollziehbar wie der startwert gewählt werden sollte!

perfekt, ich glaube jetzt habe ich es wieder verstanden. es ist einfach schon sehr lange her, als ich das letzte mal au ein näherungsverfahren wie newton angewiesen war!

besten dank air!

08.04.2010, 21:06

Airblader

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Zitat:

Original von Heinz0815
besten dank air!

Sehr gerne Freude

Freude

air

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