Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit Funktion

07.04.2010, 17:35

nube28

Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit Funktion

Hallo

Ich habe gerade Problem mit folgender Aufgabe:

Ich soll überprüfen, ob folgender Endomorphismus mit $\begin{eqnarray*} \psi^2 = \psi \end{eqnarray*}$
diagonalisierbar ist und soll zudem die Eigenwerte bestimmen.
Ich weiß wie man das bei einer Matrix macht, aber wie macht man das bei einer Funktion?

07.04.2010, 17:44

jester.

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RE: Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit Funktion

Zitat:

Original von nube28
Ich weiß wie man das bei einer Matrix macht, aber wie macht man das bei einer Funktion?

Den Zusammenhang zwischen Matrizen und Endomorphismen solltest du dir klarmachen.

Aus $\begin{eqnarray*} \psi^2=\psi \end{eqnarray*}$ kannst du dir das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ herleiten, das dir deine beiden Fragen beantworten sollte.

07.04.2010, 17:54

nube28

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RE: Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit Funktion
Das Minimalpolynom hatten wir in der Vorlesung noch nicht. Das bekommen wir erst viel später.
Kann man das dann auch noch anders lösen?

07.04.2010, 18:24

jester.

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Ist $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ ein Endomorphismus des Vektorraums $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} V=\ker\psi\oplus\operatorname{Bild}\psi \end{eqnarray*}$ .
Überlege dir zudem, dass jeder Vektor $\begin{eqnarray*} v\in V \setminus\ker\psi \end{eqnarray*}$ einen Eigenvektor zum Eigenwert 1 erzeugt (mit Hilfe der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \psi^2=\psi \end{eqnarray*}$ ).
Damit sollte man ausreichend begründen können, dass $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ diagonalisierbar ist und welche Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ hat.

08.04.2010, 11:13

nube28

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Die Eigenwerte sind 1 und 0, aber wie zeige ich, Diagonalisierbarkeit.

LG

08.04.2010, 11:16

jester.

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Wie ich bereits sagte, zeige, dass $\begin{eqnarray*} V=E_\psi(0)\oplus E_\psi (1) \end{eqnarray*}$ (dabei steht $\begin{eqnarray*} E_\psi(x) \end{eqnarray*}$ für den Eigenraum zum Eigenwert x). Zeige also insbesondere $\begin{eqnarray*} \operatorname{Bild}(\psi)=E_\psi(1) \end{eqnarray*}$ .

09.04.2010, 10:46

nube28

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Hallo

Das ist erst Aufgaben teil d bei mir und den habe ich schon gemacht, aber diagonalisierbarkeit kommt bevor ich die eigenwerte bestimmen soll und das beweisen soll. Das heißt ich muss, dass irgendwie ohne eigenwerte bzw. obiges machen. Geht das irgendwie?

09.04.2010, 10:56

jester.

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Da fällt mir nichts ein. Aber was hindert dich denn daran, die Eigenschaft aus Aufgabe (d) für deine Aufgabe zu nutzen?

10.04.2010, 10:56

nube28

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weil ich bereits für den beweis in aufgabe d) die eigenschaft der diagonalisierbarkeit genutzt habe

10.04.2010, 17:24

jester.

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Stell doch mal bitte die gesamte Aufgabe ein und erkläre kurz, was du wie begründet hast; das wird sonst etwas unübersichtlich.

Wie gesagt, um die Diagonalisierbarkeit zu zeigen, habe ich dir bereits zwei Vorschläge gemacht, etwas anderes fällt mir im Moment auch nicht ein. Möglicherweise wirst du anders vorgehen müssen, als du es dir ursprünglich überlegt hast.

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